数学建模 最佳订购策略

考试题目：最佳订购策略

某公司计划在武汉市三环内的沃尔玛超市营销旗下某种品牌的商品（如高档电子产品），这些超市分别是：

1.武汉宗关西汇分店（4.1）

2.南湖城市广场店（

3.2）

3.武汉徐东大街分店（5.0）

5.光谷坐标城店（4.0）

6.武汉奥山店（3.7）

7.汉阳钟家村店（3.5）

8.汉阳店（2.3）

9.菱角湖万达店（2.1）

各店具体位置如上图，也可在武汉市电子地图上进行搜索给出。上述店名后所附数字是该商品每个销售周期的预估平均需求件数。

由于大量商品在各店存贮造成的库存量造成资金积压严重，而每周期如果缺货又引起销售机会的损失，并且频繁进货造成浪费，公司要求制订各店的订购策略，这种策略要求给出每周期末检查商品库存量，当库存降为0 或是少于一定件数时上报订购件数，公司在下一周期前组织从厂家调货送到各店。

如果各店每批次进货费用 100 元，每售出一件商品相对进货价收益 700元，但在一个周期内不能售出时每件贮存费用 100 元，不计当周期内已售出的商品的贮存费用。

（1）为使每一周期利润最大，各店的订购策略应当如何制订？

（2）在以上订购策略下，失去销售机会的可能性有多大？

（3）如果在以上策略下，各店允许就近调货，每次调货费用为 100 元，则公司每周期的利润会增加多少？

（4）对于该商品在武汉市三环线内各店的订购与销售策略，结合你的模型，写一篇给公司总经理的不超过 800 字的建议书。

摘要

本文研究的内容是基于沃尔玛超市在武汉分布的8家超市进行订购策略的分析，分析的主要问题在于如何确定[s,S]策略,常规方法是假设为离散系统在进行建模，本文假设的条件是超市的销量为连续的，但是在求解的过程中由于实际的数据是一个离散的变量，所以在用MATLAB进行求解实际上是求离散值。在该问题中对于概率密度函数的积分求解，巧妙的采用了分布函数来进行求解，通过拉格朗日插值发求解泊松分布函数的的目标离散值。在求失去销售机会的问题中，没有采用传统的马氏链方法，而是采用了MATLAB进行仿真的方法，产生一系列的随机数来模拟实际过程中的销售量，这并没有违背实际的问题，在一个非线性和随机问题中，这反而更加合理，通过对随机数的分析从而得到问题的答案。对调货问题采用的是分组调货，进行最大限度的调货方法，求得符合条件的调货模式。文中最后结合模型对该公司提出了对于调货的一些建议，即浮动仓库调货模式。

关键字：MATLAB仿真；泊松分布函数；拉格朗日插值法；浮动仓库调货

一、为使每一周期利润最大，各店的订购策略应当如何制订？

1.1模型假设

每家超市每个周期内卖出的此类商品的数量为随机变量，而不同的购买者来购买商品是独立不受相互影响的，对于每个周期内的实际需求量服从泊松分布。设某个地方的超市一个周期的销售量为t，销售量为t时的概率密度为P(t)。则有公式：

（1）

1.是在一段特定时间/空间内事件发生的平均值.

2.e 是自然常数 2.71828...

3.k 是件在这一段发生的次数

4.P是该事件在这一段时间/空间发生的概率

使用条件：

1.在两个相同大小/长度的时间/空间内, 一个事件的发生的概率是相同的.

2.事件发生于不发生是相互独立的\不受其他事件的发生或者不发生影响.

假设每次各店每批次进货费用元, 每件商品售出利润为，在一个周期内不能售出时每件贮存费用元，每个周期的商品贮存量为Q。

1.2建模与求解

1.2.1库存量为0

模型假设如下：

1.如需要补货，补货可以在下一周开售前可以立刻完成；

2.每个月的随机销售量t为连续变量；

3.库存量为0

采用最大获利原则进行建模求解。

（1）当每个周期内的销售量小于贮存量时

即有，此时有

销售金额为,因为库存而损失的费用为

此时获取的销售额期望值为：

（2）

（2）当每个周期内的销售量大于贮存量时即有，此时有:

销售金额为

此时获取的销售额期望值为：

基于以上两种情况，进货成本为,最终的总利润期望值为:

根据需求，出现最大利润时，即函数的值为最大值。函数可以变形为：函数对Q求导有：

对于t 服从泊松分布，由概率分布规律可知：

由此可得到：

由概率分布规律知：（3）（4）（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

现令

则有：

（12）

则有：

（13）设函数的驻点为,已知时，由于为一个介于区间（0,1）之间的参数，固可以由上式确定。另外可以从关系式得到驻点与进货运费无关，因为在每一个周期内为固定值，是可以忽略的。

1.2.1库存量不为0

1.如需要补货，补货可以在下一周开售前可以立刻完成；

2.每个月的随机销售量t为连续变量；

3.库存量不为0

4.库存量为,订货量为Q

在此种模式下，采用[s,S]策略。对比1.2.1可以得到S=Q+。由1.2.1可以知道，在此种情况下，获得最大利润时的周期初的贮存量为,驻点由以下公式确定，剩下来待求的参数为s。

（14）

(1)时

订货的条件周期初始下贮存量将会达到S,同时满足

关系由图可以表示为下图：

a.当每个周期内的销售量小于贮存量时

销售金额为,因为库存而损失的费用为

此时获取的销售额期望值为：

b.当每个周期内的销售量大于贮存量时

销售金额为

此时获取的销售额期望值为：

基于以上两种情况，进货费用为,最终的总利润期望值为:

（2）时

a.当每个周期内的销售量小于贮存量时

销售金额为,因为库存而损失的费用为

此时获取的销售额期望值为：

b. 当每个周期内的销售量大于贮存量时

销售金额为

此时获取的销售额期望值为：

基于以上两种情况，最终的总利润期望值为: （15）（16）（17）（18）（19）