3.3二阶系统的动态性能(上)解析

s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]

s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t

1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 cos nt
t 0
图3.13 ζ=0时二阶系统的 单位阶跃响应曲线
响应曲线为等幅振荡曲线，称为无阻尼状态。
2. 欠阻尼（ 0<ζ<1 ）状态
ents 1
2
sin(d ts )
Y(t)
1 1 1 2
可见，写出调节时间的表达式是困难 的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之 内。包络线为
1
e n t 1 2
Δ =5
1
1
e nt 1
2
1
e n t 1 2
2
0
1
1 1
100%
将t p 代入 d
%
e
n
e nt 1 2
n
sin(d t )
t t p
100%
e
n
d
1 2
sin(d
) 100% d
n 1 2

1 2
n 1 2
2
sin 100%
d tr K ( K 1 ， 2， 3......)
弧度制计算
d tr
2 1 tr ( arctg ) 2 d n 1
tP处有极值，故该处导数值为0 e nt dy (t ) [1 sin(d t )] tp 0 2 1 dt e nt e nt n sin(d t P ) d cos(d t P ) 0 2 2 1 1
t 0
y(t ) 1 ent (1 nt )
t 0
1、响应具有非周期性，没有振荡和超调， 其响应曲线如图所示。
图3.17 ζ=1时二阶系统的 2、该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应。 单位阶跃响应曲线
dy (t ) dt
3、动态性能指标为：
t 0
0
Δ 2 Δ 5
2 n 1 Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2n s n s n 1 1 s s n (s n )2
上式取拉氏反变换，得出输出的表达式
图3.16 ζ=1时特征根
y(t ) 1 e
nt
nte
nt
1 ent (1 nt )
系统特征根为一对不等的负实根，见图3.18
图3.18 ζ>1时特征根
令
1 1 T1 s1 n n 2 1
1 1 T2 s2 n n 2 1
其输出量的拉普拉斯变换
2 2 n n 1 1 Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2n s n s (s s1 )(s s2 ) s 2 n 1 a3 a1 a2 1 1 s s 1 1 ( s )( s ) s s T1 T2 T1 T2 1 1 1 1 1 T 1 T 1 s 2 1 1 s 1 s T1 T2 T2 T1
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉普拉斯变换式为
2 n 1 Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2n s n s
闭环特征方程
2 s 2 2n s n 0
其特征根即为闭环传递函数的极点为
sin(d t )
t 0
根据上升时间的定义,当t=tr时，y(tr)=1
y (tr ) 1
e
1
sin(d tr ) 1
e ntr 1
2
sin(d tr ) 0
sin(d tr ) 0
∵上升时间tr是y(t)第一次达到稳态时间
t 0
y (t ) 1
ent 1
2
sin(d t )
t 0
e nt 1 2

(1)衰减的正弦振荡曲线,振幅按
d
指数衰减,振荡频率为 ，称为阻尼
自然振荡频率；
(2)

越小，振荡越强；
图3.14 0<ζ<1时特征根
(3) 阻尼角 只与阻尼系数有关。
3.3 二阶系统的动态性能
凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶 系统。在控制工程中的许多系统都是二阶系统， 如电学系统、力学系统等。即使是高阶系统， 在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成 二阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动 控制系统分析中有非常重要的地位。
3.3.1 二阶系统的数学模型 1、数学模型的标准式
图3.3.1 标准化的二阶系统
2、学习过的二阶系统的数学模型
1 1/ ( LC ) 2 2 LCs RCs 1 s Rs / L 1/ ( LC )
n 1/ ( LC )
1 R/L R LC 2 1/ ( LC ) 2L
1 1 m f k ms 2 fs k 2 s s m m k f n , m 2 mk
ts t'
s
t
由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包 络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时， 1 Y(t) 调整过程结束。 1 当t=t’s时，有：
( arctg
1 2

)

sin 1 2

e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1 2 100%
% e
1 2
100%
上式表明，超调量σ％仅是阻尼比ζ的函数，与自然频率ωn无关。
图3.21 σ％ 和ζ的关系
（4）调节时间ts
据定义
y() 1
y(ts ) y() y()
闭环特征方程 特征根
s 2n s 0
2 2 n
( s1,2 n n 2 1)
s1,2 n jn 1 2
n jd
d n 1 2
阻尼自然振荡频率
系统有一对共轭复根，见图3.14．
图3.14 0<ζ<1时特征根
1

0

nt
6 8 10 12
0
2
4
图3.20 二阶系统在单位阶跃作用下的响应曲线
3.3.3 典型二阶系统的动态性能指标 1. 欠阻尼二阶系统的动态性能指标
当0<ζ<1时,二阶系统的单位阶跃响应为
y (t ) 1
（1）上升时间tr
n tr 2
ent 1 2
s1,2 n n 2 1
闭环极点的性质决定了二阶系统在单位阶跃信号下响应的不同性质。
1.无阻尼（ζ=0）状态时
闭环特征方程 特征根
2 s 2 2n s n 0
s1,2 jn
图3.12 ζ=0时特征根
系统有一对共轭纯虚根，见图3.12 其输出量的拉普拉斯变换
tg (d t P )
1 2

tg
d t p K (K 1 ， 2， 3......)
峰值对应振荡第一个周期内极大值
tP d n 1 2
（3）超调量σ% 当t=tP时,y(t)有最大值
据定义 %
y(t p ) y () y()
（2）峰值时间tP
t t p
0
n
e nt 1
2
sin(d t P ) n 1
2
e nt 1
2
cos(d t P ) 0
sin(d t P ) 1 2 cos(d t P ) 0
sin(d t P ) 1 2 cos(d tP )
n t 2
d n 1 2
令
( 1 2 cos d t sin d t )