高一数学131-1函数单调性的概念

理论迁移
例1 如图是定义在闭区间
y
[-5，6]上的函数y f (x)
的图象，根据图象说出
y f (x)的单调区间，以 及在每一单调区间上，
-3
-5
o1 3
x 6
函数 y f (x)是增函数还
是减函数.
例2 物理学中的玻意耳定律Pk (k为正常数)
V
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性 证明.
x 1 , x 2 的值，若当 x 1 < x 2 时，都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ,
则称函数 f ( x ) 在区间D上是增函数.
知识探究（二）考察下列两来自函数:（1） f (x) x ； (2) f(x)x2(x0)
y
y
f ( x1) f (x2) y f (x)
o
x
o
则称函数 f ( x ) 在区间D上是减函数.
思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量 x 1 , x 2 的值，若当 x1 x2 时，都有
f(x1)f(x2) ,则函数 f ( x ) 在区间D上是增函数还是 减函数？
思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函
数或减函数，则称函数f ( x )在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数 f ( x ) 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？ 函数 f(x)(x1)2的单调区间如何？
1.3.1 单调性与最大（小）值 第一课时 函数单调性的概念
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的 记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了以下一些数据：
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个
t 忆完 钟后 钟后 小时 后 后 后 月后
毕
后
记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)
例3 试确定函数 f ( x) x 1在区间 (0, )
上的单调性.
x
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性.
作业： P32 练习：1，2，3，4.
我们如何用数学观点进行解释？
知识探究（一）
考察下列两个函数:
（1） f (x) x ； (2) f(x)x2(x0)
y
y
o
x
o
x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何
共同特征？
思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变 化情况如何？
思考3:如图为函数 f ( x ) 在定义域Iy 内某个区间D上的图象，对于该区
以上数据表明，记忆量y是时间
y
100
间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这
80
60
些数据描绘出了著名的“艾宾浩
40
20
斯遗忘曲线”,如图.
o1 2 3 t
思考1:当时间间隔t逐渐增
y
大你能看出对应的函数值y
有什么变化趋势？通过这个
100 80
试验，你打算以后如何对待 60
40
刚学过的知识?
20
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” o 1 2 3 t 从左至右是逐渐下降的，对此，
x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？
思考2:我们把具有上述特点的 y 函数称为减函数，那么怎样定
y f (x)
义“函数 f ( x ) 在区间D上是减
f ( x1) f ( x2 )
函数”？
o x1
x2
x
f (x)
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
x 1 , x 2 的值，若当 x 1 < x 2 时，都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) ,
间时，上x1 任 意x与2 两个f 自( x 1的变) 大量f小x(1x和关2 ) x系2，如当何？o
y f (x)
f (x2)
f ( x1)
x1
x2 x
思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，
那么怎样定义“函数f ( x ) 在区间D上是增函数”？
f (x)
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量