基本不等式第一课时公开课PPT课件
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ICM 2002
International Congress of Mathematicians
Bejing
.
August 20-28,2002
赵爽弦图
4
D
G
F
A
a
H
E
a2 b2
b
B
C a2+b2> 2 a b
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
.
5
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
HE
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 如何证明?
.
6
思考：你能给出不等式 a2b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2b22ab(ab)2 当ab时 (ab)2 0 当ab时 (ab)2 0 所以(ab)2≥0 所 以 a2b2≥ 2ab.当且仅当a=b 时等号成立
2、已知a、b、c 为两两不相等的实
数，求证 a 2 b 2 c2a b b c ac
.
16
小结：
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
a=b
.
17
.
18
.
7
新课探究
D
G
F
A
Ha E
b
ab
B
如果a＞0，b＞0我们用
a 、 b ，代替上式中a、 b 可得 ab2 ab,
C 这个不等式又如何 证明？
.
8
从不等式的性质推导基本不等式
ab a b 2
我们一起来分析一下：
要证 a b ab
2
（1）
只要证 a+b 2 a b
（2）
要证（2），只要证 a+b-2 a b 0 （3）
要证（3），只要证（ a - b）2 2 0
（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，
（4）中的等号成立。.
9
通常我们把上式写作：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫 做基本不等式.
在数学中，我们把 a b 叫做正数a，b的算术平均数
2
ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式(一)
ab a b 2
武汉睿升学校
.
1Hale Waihona Puke Baidu
欣 情景设置
赏 体 会
丰 富 自 我
.
2
ICM2002会标
.
如图，这是在北 京召开的第24届 国际数学家大会 会标．会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗 使它看上去象一 个风车，代表中 国人民热情好客。
3
赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所 组成，你能找出一些相等关系或不等关 系吗？
从数列的角度来看： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
2、正用、逆用，注意成立的条件 ⑴ a、 b是两个正数.
⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立
3、变形用
ab a b 2 ab2 ab
2 .
13
例1:
1.已知 a,b,c都是正 , 数 求证 (ab)(bc)(ca)8ab.c
证明:
ab2 ab0,
bc2 bc0,
ca2 ac0,
(a b )b ( c )c ( a ) 8ab bc c a 8 a.bc
.
14
2.已x知 ,yR,求y证 x2. xy
证明: x, yR
y , x R, xy
yx 2 y x 2 x y xy
.
15
变式训练:
1、已知a>0,b>0,求证 (ab)(1a.b1)4
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所 以 B C D C DC A C
所 以 D C 2B C A C a b
.
11
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
.
10
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
D a OC b B
E
A
aa bb ①如何用a, b表示OD? OD=___2_2__
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
D a OC b B
E
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD 演示
a b≥ 2
ab
几何意义：半径不小于弦长的一半
.
12
剖析公式应用
1、 基本不等式可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
International Congress of Mathematicians
Bejing
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August 20-28,2002
赵爽弦图
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D
G
F
A
a
H
E
a2 b2
b
B
C a2+b2> 2 a b
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
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D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
HE
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 如何证明?
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思考：你能给出不等式 a2b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2b22ab(ab)2 当ab时 (ab)2 0 当ab时 (ab)2 0 所以(ab)2≥0 所 以 a2b2≥ 2ab.当且仅当a=b 时等号成立
2、已知a、b、c 为两两不相等的实
数，求证 a 2 b 2 c2a b b c ac
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小结：
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
a=b
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新课探究
D
G
F
A
Ha E
b
ab
B
如果a＞0，b＞0我们用
a 、 b ，代替上式中a、 b 可得 ab2 ab,
C 这个不等式又如何 证明？
.
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从不等式的性质推导基本不等式
ab a b 2
我们一起来分析一下：
要证 a b ab
2
（1）
只要证 a+b 2 a b
（2）
要证（2），只要证 a+b-2 a b 0 （3）
要证（3），只要证（ a - b）2 2 0
（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，
（4）中的等号成立。.
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通常我们把上式写作：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫 做基本不等式.
在数学中，我们把 a b 叫做正数a，b的算术平均数
2
ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式(一)
ab a b 2
武汉睿升学校
.
1Hale Waihona Puke Baidu
欣 情景设置
赏 体 会
丰 富 自 我
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ICM2002会标
.
如图，这是在北 京召开的第24届 国际数学家大会 会标．会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗 使它看上去象一 个风车，代表中 国人民热情好客。
3
赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所 组成，你能找出一些相等关系或不等关 系吗？
从数列的角度来看： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
2、正用、逆用，注意成立的条件 ⑴ a、 b是两个正数.
⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立
3、变形用
ab a b 2 ab2 ab
2 .
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例1:
1.已知 a,b,c都是正 , 数 求证 (ab)(bc)(ca)8ab.c
证明:
ab2 ab0,
bc2 bc0,
ca2 ac0,
(a b )b ( c )c ( a ) 8ab bc c a 8 a.bc
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2.已x知 ,yR,求y证 x2. xy
证明: x, yR
y , x R, xy
yx 2 y x 2 x y xy
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变式训练:
1、已知a>0,b>0,求证 (ab)(1a.b1)4
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所 以 B C D C DC A C
所 以 D C 2B C A C a b
.
11
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
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你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
D a OC b B
E
A
aa bb ①如何用a, b表示OD? OD=___2_2__
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
D a OC b B
E
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD 演示
a b≥ 2
ab
几何意义：半径不小于弦长的一半
.
12
剖析公式应用
1、 基本不等式可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.