基本不等式第一课时公开课PPT课件
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2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)
必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式(第一课时) PPT
(当且仅当 x=y= S 时, “=”成立).
4
2
口诀：“和定积最大”
注意：使用条件： “一正，二定，三相等”
练习：
1、当x>0时，x 1 的最 小 值为 2 ，此时x= 1 . x
变式：当x<0时，x 1 的最 大 值为 -2 ，此时x= -1 . x
若为负数，则添负号变正. 2、已知 x+y=4(x>0,y>0)，求 xy 的最值. 4
a b 称为a、b的算术平均数，
2
ab 称为a、b的几何平均数.
注意：1．公式适用范围：a>0,b>0
2．文字表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.
变形公式：
(1)ab a2 b2 (a R, b R) (当且仅当a=b时取“=”) 2
(2)a b 2 ab(a 0,b 0) (当且仅当a=b时取取“=”)
3、已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明
此时x,y的值．
(当x=6,y=4时,最小值为48)
提升应用
1.下列函数中，y的最小值为4的是( C )
A、y
x
4 x
C、y 3x 4 3x
2.判断正误：
B、y
sin
x
4 sin
x
(0
x
)
D、y
sin
x
4 cos
x
(0
x
2
(3)ab ( a b )2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”) 2
(4)( a +b )2 a2 +b2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”)
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式公开课课件
三角函数值的比较
三角函数的最值
三角恒等式的证明
04
基本不等式的推广
柯西不等式
总结词 详细描述
均值不等式
总结词 详细描述
贝努利不等式
总结词
详细描述
贝努利不等式表明对于任何正整数n和 正实数x，都有(x+1/x)^n >= x^n + n*x^(n-1)/n。这个不等式在证明其他 不等式和解决优化问题时非常有用。
对于任何正数a、b，有$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$。
性质
不等式的传递性 不等式的加法性质 不等式的乘法性质
分类
严格不等式与非严格不等式
1
单调性
2
可比与不可比
3
02
基本不等式的证明方法
代数证法
代数证法是通过代数运算和代数 恒等式来证明基本不等式的方法。
常用的代数恒等式包括平方差公 式、完全平方公式、均值不等式
等。
代数证法通常需要经过一系列的 推导和变换，最终得出基本不等
式的结论。
几何证法
几何证法是通过几何图形和几 何性质来证明基本不等式的方法。
常用的几何图形包括三角形、 矩形、圆等。
几何证法通常利用几何图形的 性质和面积、周长等计算来证 明基本不等式。
Hale Waihona Puke 函数证法反证法反证法是通过假设相反的结论来证明 基本不等式的方法。
反证法需要严密的逻辑推理和推理能 力，是数学证明中常用的一种方法。
反证法通常先假设基本不等式不成立， 然后推导出矛盾，从而证明基本不等 式成立。
03
基本不等式的应用
在代数中的应用
01
02
代数式简化
人教版高中数学必修一《基本不等式》PPT课件
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式(x－2y)＋x－12y≥2 成立的前提条件为(
)
A．x≥2y
B．x>2y
C．x≤2y
D．x<2y
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab 均成立．( √ )
(2)若 a>0，b>0 且 a≠b，则 a＋b>2 ab.( √ )
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.( √ ) (4)a，b 同号时，ba＋ab≥2.( √ )
PPT课件：/kejian/
语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
人教版高中数学必修1《基本不等式》第1课时PPT课件
当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式 .
∀ a > 0,b > 0， ab ≤
高中数学
一、温故知新-新知形成
分析法
分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证
明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，
把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条
件、定理、定义、公理）为止.
高中数学
四、画龙点睛－关键之处
例2 已知x,y都是正数，求证：
（１）如果积等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
x+ y
证明：因为x,y都是正数，所以 2 ≥
x+ y
≥
所以
2
P ， 当且仅当x=y时，上式等号成立． 于是，当x=y时，和
x+y有最小值 2 P ；
高中数学
xy ．
四、画龙点睛－关键之处
高中数学
一、温故知新-新知特征
问题2
由
，
即由
⟹
，
根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不
等式反向,这里，根据前面的知识，我们可以知道⑤是④成立的充
分条件；
显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立.
高中数学
一、温故知新-新知特征
分析法的证明格式
由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的
要证②，只要证
要证③，只要证
要证④，只要证
高中数学
≤
+
，
2 ≤ + .
2 − − ≤0.
2
− − ≤0 .
2
− ≥0 .
2
①
②
∀ a > 0,b > 0， ab ≤
高中数学
一、温故知新-新知形成
分析法
分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证
明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，
把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条
件、定理、定义、公理）为止.
高中数学
四、画龙点睛－关键之处
例2 已知x,y都是正数，求证：
（１）如果积等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
x+ y
证明：因为x,y都是正数，所以 2 ≥
x+ y
≥
所以
2
P ， 当且仅当x=y时，上式等号成立． 于是，当x=y时，和
x+y有最小值 2 P ；
高中数学
xy ．
四、画龙点睛－关键之处
高中数学
一、温故知新-新知特征
问题2
由
，
即由
⟹
，
根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不
等式反向,这里，根据前面的知识，我们可以知道⑤是④成立的充
分条件；
显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立.
高中数学
一、温故知新-新知特征
分析法的证明格式
由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的
要证②，只要证
要证③，只要证
要证④，只要证
高中数学
≤
+
，
2 ≤ + .
2 − − ≤0.
2
− − ≤0 .
2
− ≥0 .
2
①
②
1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)
解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．
《基本不等式》公开课教学PPT课件【高中数学】
是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂
A
直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
a O C b B
ab
①如何用a, b表示OD? OD=______
2
E
②如何用a, b表示CD?
CD=______ab
③OD与CD的大小关系怎样?
ab
≥ ab
2
≥
OD_____CD
＞
几何意义：半径不小于弦长的一半
都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重
2 + 2
要工具.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤
，
2
+ 2
ab≤（ ） .
2
课程讲解
我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函
数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的
一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数
课程讲解
填表比较：
2
a b ≥ 2 ab
ab
≥ ab
2适用范围
文字叙述
“=”成立条
件
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不
小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
注意:从不同角度认识基本不等式
a=b
课程讲解
例1
1
已知x>0，求x＋ 的最小值.
1
1
1
分析：求x＋ 的最小值，就是要求一个y0（=x0＋ ），使∀x>0，都有x＋ ≥y.观
可得到什么结论？
课程讲解
问题一
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a , b,
A
直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
a O C b B
ab
①如何用a, b表示OD? OD=______
2
E
②如何用a, b表示CD?
CD=______ab
③OD与CD的大小关系怎样?
ab
≥ ab
2
≥
OD_____CD
＞
几何意义：半径不小于弦长的一半
都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重
2 + 2
要工具.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤
，
2
+ 2
ab≤（ ） .
2
课程讲解
我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函
数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的
一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数
课程讲解
填表比较：
2
a b ≥ 2 ab
ab
≥ ab
2适用范围
文字叙述
“=”成立条
件
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不
小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
注意:从不同角度认识基本不等式
a=b
课程讲解
例1
1
已知x>0，求x＋ 的最小值.
1
1
1
分析：求x＋ 的最小值，就是要求一个y0（=x0＋ ），使∀x>0，都有x＋ ≥y.观
可得到什么结论？
课程讲解
问题一
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a , b,
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.
7
新课探究
D
G
F
A
Ha E
b
ab
B
如果a＞0，b＞0我们用
a 、 b ，代替上式中a、 b 可得 ab2 ab,
C 这个不等式又如何 证明？
.
8
从不等式的性质推导基本不等式
ab a b 2
我们一起来分析一下：
要证 a b ab
2
（1）
只要证 a+b 2 a b
（2）
要证（2），只要证 a+b-2 a b 0 （3）
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 如何证明?
.
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考：你能给出不等式 a2b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2b22ab(ab)2 当ab时 (ab)2 0 当ab时 (ab)2 0 所以(ab)2≥0 所 以 a2b2≥ 2ab.当且仅当a=b 时等号成立
bc2 bc0,
ca2 ac0,
(a b )b ( c )c ( a ) 8ab bc c a 8 a.bc
.
14
2.已x知 ,yR,求y证 x2. xy
证明: x, yR
y , x R, xy
yx 2 y x 2 x y xy
.
15
变式训练:
1、已知a>0,b>0,求证 (ab)(1a.b1)4
基本不等式(一)
ab a b 2
武汉睿升学校
.
1
欣 情景设置
赏 体 会
丰 富 自 我
.
2
ICM2002会标
.
如图，这是在北 京召开的第24届 国际数学家大会 会标．会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗 使它看上去象一 个风车，代表中 国人民热情好客。
3
赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所 组成，你能找出一些相等关系或不等关 系吗？
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
.
10
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
D a OC b B
E
从数列的角度来看： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
2、正用、逆用，注意成立的条件 ⑴ a、 b是两个正数.
⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立
3、变形用
ab a b 2 ab2 ab
2 .
13
例1:
1.已知 a,b,c都是正 , 数 求证 (ab)(bc)(ca)8ab.c
证明:
ab2 ab0,
2、已知a、b、c 为两两不相等的实
数，求证 a 2 b 2 c2a b b c ac
.
16
小结：
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a=b
a=b
.
17
.
18
ICM 2002
International Congress of Mathematicians
Bejing
.
August 20-28,2002
赵爽弦图
4
D
G
F
A
a
H
E
a2 b2
b
B
C a2+b2> 2 a b
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
.
5
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
HE
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
Rt△ACD∽Rt△DCB， 所 以 B C D C DC A C
所 以 D C 2B C A C a b
.
11
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
aa bb ①如何用a, b表示OD? OD=___2_2__
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
D a OC b B
E
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD 演示
a b≥ 2
ab
几何意义：半径不小于弦长的一半
.
12
剖析公式应用
1、 基本不等式可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
要证（3），只要证（ a - b）2 2 0
（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，
（4）中的等号成立。.
9
通常我们把上式写作：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫 做基本不等式.
在数学中，我们把 a b 叫做正数a，b的算术平均数
2
ab 叫做正数a，b的几何平均数。