高等数学,清华大学出版社资料52页PPT
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高等数学PPT(电子高专)
y = f [ϕ(x)]
因变量 内部函数
外部函数
初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及 有限次的复合所构成并且可以用一个式子表示的 函数，称为初等函数. 初等函数. 初等函数
y 如 y = ln(sin 2x) + x2， = e
arctan x
+ cos x 等都是初等函数，
而 y = x 不是初等函数。
背景12函数的极限121函数的极限的概念函数的极限122单侧极限123数列的极限124无穷大与无穷小125函数极限的运算第一节函数及其图形一案例二概念和公式的引出三进一步练习121函数极限的概念一一案例将一盆80房间里水的温度将逐渐降低随着时间的推移水温会越来越接近室温20案例1水温的变化趋势在某一自然保护区中生长的一群野生动物其群体数量会逐渐增长但随着时间的推移由于自然环境保护区内各种资源的限制这一动物群体不可能无限地增大它应达到某一饱和案例2自然保护区中动物数量的变化规律状态如右图所示
1 t ≥ 0 u(t) = 0 t < 0
练习5 个人所得税 个人所得税] 练习 [个人所得税 我国于1993年10月31日发布的《中华人民共和国 个人所得税法》规定月收入超过800元为应纳税所得 额（表中仅保留了原表中前2级的税率）．
级 数 1 2 全 月 应 纳 税 所 得 额 不超过500元部分 不超过500元部分 500 超过500元至2000元部分 超过500元至2000元部分 500元至2000 税 率 (％) 5 10
0 f (x) = A
−π ≤ x < 0 0 ≤ x <π
二、 概念和公式的引出 分段函数 在不同的定义域上用不同的函数表达式 表示的函数称为分段函数 分段函数． 分段函数
清华微积分(高等数学)课件第五讲导数与微分(一)35页PPT
lxi m 0f(xx0)f(x0)
由有极限函数与无穷小 量的关系知
f(xx0)f(x0)o(1)
f ( x 0 ) f ( x 0 ) x o (x )
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 A ( x 0 微 ) f ( x 0 )
24.04.2020
16
[证] (2) 设函 f(x 数 )在x 点 0可微
f ( x 0 ) A ( x 0 ) x o (x ) (x 0 )
f(x0)lxi m 0f(xx0)
limA(x0)xo(x)
x0
x
A(x0)
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 f ( x 导 0 ) A ( x 0 )
24.04.2020
17
定理2：若函 f在 x 0 数 可 ,则 导 f在 x 0连 .
f 在x0 左 可 导
右导数
lx i0 m f(x0x x )f(x0)f (x0)
f 在x0 右 可 导
定理： 函数f 在点 x0可导f 在x0的
左、右导数都存等在 ,即且相
24.04.2020 f(x0)存在f(x0) f(x01)1
3. 导函数定义：
• 若函f在 数开(区 a, b)间 上处处
[证] f在 x0可 导 lx i0m x yf(x0)
y f ( x 0 ) x ( x ) x
第五讲 导数与微分（一）
一、引言
二、导数定义与性质
三、函数的微分 四、可导、可微与连续的关系 五、基本导数（微分）公式
24.04.2020
1
一、引言
两个典型背景示例
[例1] 运动物体的瞬时速度
设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 xx(t) 求在时刻 t 0的瞬时速度.
由有极限函数与无穷小 量的关系知
f(xx0)f(x0)o(1)
f ( x 0 ) f ( x 0 ) x o (x )
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 A ( x 0 微 ) f ( x 0 )
24.04.2020
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[证] (2) 设函 f(x 数 )在x 点 0可微
f ( x 0 ) A ( x 0 ) x o (x ) (x 0 )
f(x0)lxi m 0f(xx0)
limA(x0)xo(x)
x0
x
A(x0)
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 f ( x 导 0 ) A ( x 0 )
24.04.2020
17
定理2：若函 f在 x 0 数 可 ,则 导 f在 x 0连 .
f 在x0 左 可 导
右导数
lx i0 m f(x0x x )f(x0)f (x0)
f 在x0 右 可 导
定理： 函数f 在点 x0可导f 在x0的
左、右导数都存等在 ,即且相
24.04.2020 f(x0)存在f(x0) f(x01)1
3. 导函数定义：
• 若函f在 数开(区 a, b)间 上处处
[证] f在 x0可 导 lx i0m x yf(x0)
y f ( x 0 ) x ( x ) x
第五讲 导数与微分（一）
一、引言
二、导数定义与性质
三、函数的微分 四、可导、可微与连续的关系 五、基本导数（微分）公式
24.04.2020
1
一、引言
两个典型背景示例
[例1] 运动物体的瞬时速度
设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 xx(t) 求在时刻 t 0的瞬时速度.
2019年-高等数学,清华大学出版社-PPT精选文档
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无限增大时, x n 是否无限接近于某一 问题: 当 n 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
n 1 ( 1 ) 当 n 无限增大时 ,x 1 无限接近 1 . n n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.Βιβλιοθήκη x 1(1) nn1
1 1 n n
其中 : 每一个或任给的 ; :至少有一个或存在 .
几何解释:
a
2
a
x
x 2 x 1 x N 1
a xN 2 x 3
当 n N 时 , 所有的点 x 都落在 ( a ,a ) 内 , n 只有有限个 ( 至多只有 N 个 ) 落在其外 .
3 . 改变数列的有限项不影 响数列的收敛性和 值 .
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
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正六边形的面积 A 1 正十二边形的面积 A 2
R
n 1 正6 2 形的面积 A n
A , A , A , , A , S 1 2 3 n
2、截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X 2 2; 2 2
lim q 0 , 其中 q 1 . 例3 证明 n
n
n 则 lim q lim 0 0 ; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n
n 0 q , n ln q ln , 若 0 q 1 , x n
ln n , ln q
称为数列 .其中 x n 称为通项 (一般项 ).数列 (1)记
高等数学完整版详细 ppt课件
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函 数 f(x)连 续 ,若f(x0)f(x0)则 称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
清华微积分(高等数学)课件第十六讲定积分
k1
n
limf( 0k1
k)
xkC (ba)
即 bf(x )d xb C d x C (b a )
a
a
03.01.2021
编辑ppt
10
[例2] 证 明 Diric函 hle数 t
1 D(x)0
xx为 为有 无理 理在 数 数 [0, 1]上 不 可 积
[证] 任[0 给 , 1]的 一 个 xk n k 划 0 分
2
一、两个典型例子 y [例1] 曲边形的面积问题
曲边梯形 y f(x)
oa
03.01.2021
x x i 1 i
i
编辑ppt
x
3
d
(1) 细分:
在[a, b]区间任意插入分点:
a x 0 x 1 x i 1 x i x n b
将 [ a ,b ]分 n 个 成 [ 子 x k 1 ,x k ]区 (k 1 ,2 , 间 ,n )
a x0 x1 xk1 xk xn b 记 第k 个 小 区 间[ xk1 , xk ] (k 1,, n) 的
长 度 为 xk xk xk1 ; 任 取k [ xk1 , xk ],
n
构 造和 式:
k 1
f
( k
)xk ,
记
max
1 k n
xk
,
03.01.2021
编辑ppt
7
n
如 果
和
式 极 l i m 限
0 k1
f (k)xk
存
在 ,则
称f 在[a, b]上 可 ,积 记f R[a, b];并 且
称 此 极 限 值 f(x为 )在[a, b]上 的 定 积 . 分
学高数一定要看的-清华大学高等数学教材PPT资料20页
q2[x (1 )1 ]33x q2[x (1 )33(x1 )23(x1 )1 ]3x
要 q 2 (3 x 4 ) x整 (x 除 1 )2 ,dq e 2 g 1 , 设 q 2 (a x b )( ,3 x 4 )a ( x b ) x 3 a (x 1 )2 .
第三讲 唯一析因定理； C[X]与R[X]； 多项式的根—有理根；线性空间
1
P 633
GA03
f(x)(x3m 1 )(x3n 1 )x(x3p 1 )x2 1xx2
1 .f 2 ( x ) q 1 ( x 1 ) 2 2 x q 2 ( x 2 ) 3 3 x
pmax(ni ,mi ) i
i1
称为最小公倍式 .
c F
6
§2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理: 任一非常数复系数多项 式在复数域中总有一根.
若degf n, f (X)有根 aC由零点定
f (Xa)f1(X) 其中 degf1 n1, 以此续行f， (X)知 恰有 n个复数. 根
定理.3.3的证明
出现。若是其,根则也是根。
设f(x)anxn a1xa0
f()ann a1a00
则f()ann a1a0 ann a1a00.
8
又 (X)x()x2()x R [X]
在 R 上不 可 有约，
定理2：实系数多项 f (X式 )(degf 1)
定理6：F[X]是唯一析因整. 环
即任一非常数多项f 式F[X] 均可表为一些
不可约的多项式的乘f积p1 p2ps. 且若不计常数倍pi及的次序，是唯一的。
proo:f(i)先证分解（析因） 在的 性存 。
若f 不可约，则f 取 p1 即可。
要 q 2 (3 x 4 ) x整 (x 除 1 )2 ,dq e 2 g 1 , 设 q 2 (a x b )( ,3 x 4 )a ( x b ) x 3 a (x 1 )2 .
第三讲 唯一析因定理； C[X]与R[X]； 多项式的根—有理根；线性空间
1
P 633
GA03
f(x)(x3m 1 )(x3n 1 )x(x3p 1 )x2 1xx2
1 .f 2 ( x ) q 1 ( x 1 ) 2 2 x q 2 ( x 2 ) 3 3 x
pmax(ni ,mi ) i
i1
称为最小公倍式 .
c F
6
§2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理: 任一非常数复系数多项 式在复数域中总有一根.
若degf n, f (X)有根 aC由零点定
f (Xa)f1(X) 其中 degf1 n1, 以此续行f， (X)知 恰有 n个复数. 根
定理.3.3的证明
出现。若是其,根则也是根。
设f(x)anxn a1xa0
f()ann a1a00
则f()ann a1a0 ann a1a00.
8
又 (X)x()x2()x R [X]
在 R 上不 可 有约，
定理2：实系数多项 f (X式 )(degf 1)
定理6：F[X]是唯一析因整. 环
即任一非常数多项f 式F[X] 均可表为一些
不可约的多项式的乘f积p1 p2ps. 且若不计常数倍pi及的次序，是唯一的。
proo:f(i)先证分解（析因） 在的 性存 。
若f 不可约，则f 取 p1 即可。
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解
原式
lim a cos ax sinbx x0 bcos bx sinax
cos bx lim x0 cos ax
1.
第27页/共175页
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin3x lim sin6x
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
第10页/共175页
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
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05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
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【最新整理，下载后即可编辑】目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (5)7、双曲函数及反双曲函数 (6)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (10)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N。
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学_清华大学出版社
1 1 x 故 f ( x) . ( x 0) x
2
习题 1.1
7（3）、8（2）、10、13、18、19
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
D : [1,1] 例如， y 1 x 2 1 例如， y D : ( 1,1) 2 1 x 1 例如， y 1 x 2 D : [1,0) (0,1] x
注意：函数表达式形式 相同，但定义域不同， 则表示不 同的函数.
o
I
x
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 f ( x1 ) f ( x 2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
例：y - x 2 , x (0， ( x ) f ( x )
称 f ( x )为奇函数;
奇函数的图像关于原点 对称.
y
y f ( x)
f ( x)
-x
f ( x )
例：y sin x , x ( ,)
o
x
x
奇函数
4．函数的周期性:
正 设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l , 使得对任意x D, x l D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立. 则称 f ( x ) 是以 l 为周期的周期函数.
通常所说的周期是指满足上式的最小正数 .
3l 2
l 2
l 2
3l 2
1 例1 设 D ( x ) 0
xQ xQ
,
7 求D( ), D(1 2 ).并讨论D( x )的性质. 5
清华微积分(高等数学)第七讲 导数与微分(三)PPT课件
函数f(x)的(n1)阶导函数 x的 在导,数
称为函f数 (x)在x的n阶导,数 记作
f(n)(x),
或y(n)(x),
或dny dxn
即 f(n )(x )lim f(n 1 )(xx )f(n 1 )(x)
16.08.2020
x 0
x
21
二阶导数的物理意义
变速直线运动s ：s(t) 一阶导数：
即 ybx 2b a
16.08.2020
10
6. 对数微分法
求 幂 指 f(x) 函 u(x)数 v(x) 的 导
方法一:
f(x)ev(x)lnu(x)
再应用复合函数微分法（链式法则）
方法二: 利用对数微分法
[lnf(x)] f(x) f(x)
f(x ) f(x )[f( lx ) n ]
16.08.2020
或 f(x0x)f(x0)f(x0)x
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)
当x0 0时,有
f(x)f(0)f(0)x
16.08.2020
16
例 求co6s 012的近似值
[解] co6s0 12cos(12 )3 60180cos(12 )3 10800
令f(x)cox,s
x03
16.08.2020
内旋轮线
a
2
2
2
隐函数x方 3程 y3 ： a3,a0
16.08.2020
6
(2) 参数方程求导法
设函数y f (x)由参数方程：
确定
x (t)
y
(t)
0 0
1
2
设(t),(t)都存,且 在(t)0,
x(t)存在可导的t反 函 1(x)数 .
高等数学清华大学出版社ppt教程8-3li
证 如果函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 可微分 可微分,
P ′( x0 + ∆x , y0 + ∆y ) ∈ P 的某个邻域
f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = A ∆ x + B ∆ y + o( ρ )
问题
对于一元函数， 对于一元函数，函数在某点可导表明函数在 这一点连续； 这一点连续； 对于多元函数，是否也能由某种性质保证函数 对于多元函数， 的连续性？ 的连续性？
8.3 全微分 8.3.1全微分的定义与计算 8.3.1全微分的定义与计算
一元函数微分学中, ) − f ( x0 ) ≈ f x ( x0 )∆ x
( x , x )→ ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
1 x3 1 不存在. cos = lim x sin − , 不存在 3 x →0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
不连续. 所以 f x ( x , y )在( 0,0)不连续 不连续. 同理可证 f y ( x , y ) 在( 0,0)不连续
= f x ( x 0 + θ 1 ∆ x , y0 + ∆ y ) ∆ x
(0 < θ 1 < 1)
= ( f x ( x0 , y0 ) + ε 1 )∆x （依偏导数的连续性） 依偏导数的连续性）
的函数, 其中ε 1 为 ∆x , ∆y 的函数
且当 ∆x → 0, ∆ y → 0 时，ε 1 → 0 .
∂u = ye yz , ∂z
所求全微分
1 y du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz . 2 2
高等数学ppt课件
定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
清华微积分(高等数学)课件第一讲 函数PPT28页
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道 函 数
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道 函 数
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
高等数学-3.1.2教学课件
3x 1
x
解 （１）依据不定积分基本公式 1 du ln u C ，利用凑微分法可得 u
1 3x
1
dx
1 3x
1
1 3
d
3x
1
1 3
1 3x
d 1
3x
1
3x
1
u
1 3
1du u
1 3
ln
u
C
u
3x
1
1 3
ln
3x
1
C
（2）依据不定积分基本公式 u3du 1 u4 C ，利用凑微分法可得 4
ln
xdx
x
ln
x
xd
ln
x
x
ln
x
x
1 x
dx
x
ln
x
dx
x
ln
x
x
C
分部积分运用熟练后，选取 u 和 dv 的步骤可以不必写出．
《高等数学》(经管类专业适用） 高等教育出版社
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*
例5
求不定积分 x2exdx ．
解 x2exdx x2dex x2ex exdx2 x2ex 2 xexdx x2ex 2 xdex x2ex 2(xex exdx) x2ex 2xex 2 exdx x2ex 2xex 2ex C
3．上机操作 利用MATLAB求解习题3.1.2的4。
《高等数学》(经管类专业适用） 高等教育出版社
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合作愉快
2011
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退出
*
概念
分部积分法的灵感来自于导数的乘法运算法则，此法常用于被积函数由两
清华大学微积分高等数学课件第1讲函数
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
(1
x1
2
x2
x1
)
1 2 1
Y ( x) 1 f ( x1 ) 2 f ( x2 )
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25
（一） 凸性定义：
设函数 f ( x) : [a, b] R. 如 果 x1, x2 [a, b], 不 等 式
2019/9/4
不定积分 定积分概念与计算 积分学应用
10
第一讲 函数
一、予备知识
二、函数概念
三、函数的初等性质
四、复合函数与反函数
五、初等函数
2019/9/4
11
一、予备知识
1. 常用的数的集合
N {0，1，2,，n,} 自然数集
Z {0， 1， 2,， n,} 整数集
Q { p p, q为 互 质 的 整 数} 有理数集 q
• 珍惜时光
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学
尝试研究性的学习方法：
提出问题、研究问题、解决问题
注重持续性学习：
有计划地安排学习
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7
（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（应用）
xx
f (2t 1) 2(2t 1)2 1
例: y x与y x2 x
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定义域不同， 表 示 的 是 不 同 的 函16 数
三、函数的初等性质
1. 函数的奇偶性
清华微积分(高等数学)课件第八讲微分中值定理-52页文档资料
3
第八讲 微分中值定理
一、费尔马 ( Fermat )定理 二、罗尔 ( Rolle )定理 三、拉格朗日(Lagrange )定理 四、柯西 (Cauchy )定理
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4
一、费尔马 ( Fermat )定理
（一）极值的定义：
设 函 数f (x)在 点x0的 某 邻 域N(x0)有 定 义.若xN(x0),有
f(x 0)f (x 0)x l ix0 m f(x x ) x f0 (x 0)0
f(x0)0
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( ( (
微分中值定理的引入 平面曲线 AB,连续不断且其上各有点
切线.那麽AB上至少存在一C,点 使得曲线 AB在点C的切线与A弦B平行.
B
A
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f() 0 (a b )
15
怎样证明罗尔定理 ？ 先利用形象思维
y
去找出一个C点来！
想到利用闭区间上连续函数
的最大最小值定理！
C
A
B
o
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a
C
bx 16
罗尔定理的证明：
由条 (1)知 件 ,f(x)在闭[a 区 ,b]上 间达
最大 M值 和最m 小 . 值 ( 1 ) 若 M m ,则 f ( x ) M , x [ a ,b ].
拉格朗日定理若添加条件: f(a)f(b) 则收缩为罗尔定理；
罗尔定理若放弃条件: f(a)f(b) 则推广为拉格朗日定理。
知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探 索的新问题转化为已掌握的老问题。
因此想到利用罗尔定理！
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