大学数学经典求极限方法及解析(最全)

求极限的各种方法及解析

1．约去零因子求极限

例1：求极限1

1

lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1

)

1)(1)(1(lim

2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限

例2：求极限1

3lim 32

3+-∞→x x x x 【说明】

∞

∞

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 3

11323=

+-=+-∞→∞→x x

x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

=<∞

>=++++++----∞→n

m b a n m n m b x b x b a x a x a n

n

m m m m n n n n x 0lim 01101

1

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限)13(lim 22+-++∞

→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】1

3)

13)(13(lim )13(lim 2

2

22222

2

+++++++-+=+-++∞

→+∞→x x x x x x x x x x

01

32lim

2

2

=+++=+∞

→x x x

例4：求极限3

0sin 1tan 1lim

x

x

x x +-+→ 【解】x

x x x

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim

3030

+-+-=+-+→→ 41

sin tan lim 21sin tan lim

sin 1tan 11

lim

30300

=-=-+++=→→→x x x x x x x

x x x x

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非．．．．．．．．零因子．．．

是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限

两

个

重

要

极限是

1

sin lim

0=→x

x

x 和

e x n

x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1

0)1(lim )1

1(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

例5：求极限x

x x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X

1

+，最后凑指数部分。

【解】22

21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x

x x

x =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭

⎫

⎝⎛-++∞

→x

x a x a x ，求a 。

5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -,

()abx ax x x b

~11,2

1~

cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．

。 例7：求极限0

ln(1)

lim

1cos x x x x →+=-

【解】 002

ln(1)lim lim 211cos 2

x x x x x x

x x →→+⋅==-. 例8：求极限x

x

x x 30tan sin lim -→

【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 22

2102030-=-==-=-=→→→x

x x x x x x x x x 6．用罗必塔法则求极限

例9：求极限220)

sin 1ln(2cos ln lim x

x x x +-→ 【说明】∞∞

或0

0型的极限,可通过罗必塔法则来求。

【解】22

0)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x

x x

x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→ 3sin 112cos 222sin lim

20-=⎪⎭

⎫

⎝⎛+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim

⎰⎰--→x x

x dt

t x f x dt

t f t x

【解】 由于⎰

⎰⎰=-=

-=-0

0)())(()(x

x

x

u t x du u f du u f dt t x f ,于是

⎰⎰⎰⎰⎰

-=--→→x

x

x x x x

x du

u f x dt

t tf dt t f x dt

t x f x dt

t f t x 0

)()()(lim

)()()(lim