第56讲 排列与组合(考点精讲)(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第56讲排列与组合思维导图
知识梳理
1.排列、组合的定义
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
题型归纳
题型1 排列问题
【例1-1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;
(4)全体排成一排,女生必须站在一起;
(5)全体排成一排,男生互不相邻.
【解】(1)从7人中选5人排列,有A57=7×6×5×4×3=2 520(种).
(2)分两步完成,先选3人站前排,有A37种方法,余下4人站后排,有A44种方法,共有A37A44=5 040(种).
(3)法一:(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有A66种排列方法,共有5×A66=3 600(种).
法二:(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人,有A26种排法,其他有A55种排法,共有A26A55=3 600(种).
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A44种方法,再将女生全排列,有A44种方法,共有A44·A44=576(种).
(5)(插空法)先排女生,有A44种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有A35种方法,共有A44·A35=1 440(种).
【跟踪训练1-1】高三要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是()
A.1 800B.3 600
C.4 320 D.5 040
【解析】选B先排除舞蹈节目以外的5个节目,共A55种,再把2个舞蹈节目插在6个空位中,有A26种,所以共有A55A26=3 600(种).
【跟踪训练1-2】用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有() A.250个B.249个
C.48个D.24个
【解析】选C①当千位上的数字为4时,满足条件的四位数有A34=24(个);②当千位上的数字为3时,满足条件的四位数有A34=24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24+24=48(个),故选C.
【跟踪训练1-3】将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻,则不同的排法共有()
A.1 108种B.1 008种
C.960种D.504种
【解析】选B将丙、丁两人进行捆绑,看成一人.将6人全排列有A22A66种排法;将甲排在排头,有A22A55种排法;乙排在排尾,有A22A55种排法;甲排在排头,乙排在排尾,有A22A44种排法.则甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66-A22A55-A22A55+A22A44=1 008(种).
【名师指导】
求解排列应用问题的6种主要方法
题型2 组合问题
【例2-1】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,不同取法有多少种?
(2)其中某一种假货不能在内,不同取法有多少种?
(3)恰有2种假货在内,不同取法有多少种?
(4)至少有2种假货在内,不同取法有多少种?
(5)至多有2种假货在内,不同取法有多少种?
【解】(1)从余下的34种商品中,
选取2种有C234=561(种)取法,
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中,选取3种,
有C334种或者C335-C234=C334=5 984(种)取法.
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1种,
从15种假货中选取2种有C120C215=2 100(种)取法.
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有C120C215种,选取3种假货有C315种,
共有选取方式C120C215+C315=2 100+455=2 555(种).
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)法一:(间接法)
选取3种商品的总数为C335,因此共有选取方式
C335-C315=6 545-455=6 090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
法二:(直接法)
共有选取方式C320+C220C115+C120C215=6 090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
【跟踪训练2-1】从{1,2,3,…,10}中选取三个不同的数,使得其中至少有两个相邻,则不同的选法种
数是()
A.72B.70
C.66 D.64
【解析】选D从{1,2,3,…,10}中选取三个不同的数,恰好有两个数相邻,共有C12·C17+C17·C16=56种选法,三个数相邻共有C18=8种选法,故至少有两个数相邻共有56+8=64种选法.【跟踪训练2-2】从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字作答)
【解析】从2位女生,4位男生中选3人,共有C36种情况,没有女生参加的情况有C34种,故共有C36-C34=20-4=16(种).
【答案】16
【跟踪训练2-3】(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知:①食物投掷地点有远、近两处;②由于Grace年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处.那么不同的搜寻方案有________种.【解析】若Grace不参与任务,则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同,有C15种挑法,再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处,有C24种挑法,最后剩下的2位小孩搜寻近处,因此一共有C15C24=30种搜寻方案;若Grace参与任务,则其只能去近处,需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处,有C25种挑法,剩下3位小孩去搜寻远处,因此共有C25=10种搜寻方案.综上,一共有30+10=40种搜寻方案.【答案】40
【名师指导】
题型3 排列与组合问题的综合应用
【例3-1】(1)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场的顺序的排法种数为________.
(2)大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A ,B ,C ,D 四个家庭各有两个孩子共8人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置),其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种.
【解析】 (1)2位男生不能连续出场的排法共有N 1=A 33×A 24=72(种),女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N 2=A 22×A 2
3=12(种),所以出场顺序的排法种数为N =N 1-N 2=60.
(2)根据题意,分两种情况讨论:
①A 家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭,可以在剩下的三个家庭中任
选2个,再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车.有C 23×C 12×C 12=12(种)乘坐方式;
②A 家庭的孪生姐妹不在甲车上,需要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个孩子都在甲车上,对于
剩余的两个家庭,从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,有C 13×C 12×C 12=12(种)乘坐方式,
故共有12+12=24(种)乘坐方式. 【答案】 (1)60 (2)24
【例3-2】某学校举行校庆文艺晚会,已知节目单中共有七个节目,为了活跃现场气氛,主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲,并要将这三个不同节目添入节目单,而不改变原来的节目顺序,则不同的安排方式有________种.
【解析】 添入三个节目后共十个节目,故该题可转化为安排十个节目,其中七个节目顺序固定.这七个节目的不同安排方法共有A 77种,添加三个节目后,节目单中共有十个节目,先将这十个节目进行全排列,不同的排列方法有
A 1010种,而原先七个节目的顺序一定,故不同的安排方式共有
A 1010
A 77
=720(种). 【答案】 720
【例3-3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有________种不同的分派方法.
(2)有4名优秀学生A ,B ,C ,D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有________种.
(3)若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有________种不同的分法.
【解析】 (1)先把6个毕业生平均分成3组,有C 26C 24C 22
A 33
=15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校,
有A 33=6(种)方法,故
6个毕业生平均分到3所学校,共有C 26C 24C 2
2
A 33
·A 33=90(种)分派方法. (2)先把4名学生分为2,1,1共3组,有C 24C 12C 1
1A 22
=6(种)分法,再将3组对应3个学校,有A 33=6(种)情况,则共有6×6=36(种)不同的保送方案.
(3)将6名教师分组,分三步完成:
第1步,在6名教师中任取1名作为一组,有C 16种取法; 第2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有C 25种取法; 第3步,余下的3名教师作为一组,有C 33种取法.
根据分步乘法计数原理,共有C 16C 25C 3
3=60种取法.
再将这3组教师分配到3所中有A 33=6种分法, 故共有60×6=360种不同的分法. 【答案】 (1)90 (2)36 (3)360
【跟踪训练3-1】(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有( )
A .36种
B .24种
C .22种
D .20种
【解析】选B 根据题意,分两种情况讨论:第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推
荐给甲大学和乙大共有A 33A 2
2=12种推荐方法;第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大共有C 23A 22A 22
=12种推荐方法.故共有24种推荐方法. 【跟踪训练3-2】(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办,为宣传地方特色,某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导.工作过程中的任务划分为:“负重扛机”,“对象采访”,“文稿编写”,“编制剪辑”四项工作,每项工作至少一人参加,但2名女记者不参加“负重扛机”工作,则不同的安排方案数共有( )
A .150
B .126
C .90
D .54
【解析】选B 根据题意,“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加,当由1名男记者参加“负重扛机”工作时,有
C 13种方法,剩余
2男2女记者可分为3组参加其余三项工作,共有C 24C 1
2
A 22
·A 33种方法,故
由1名男记者参加“负重扛机”工作时,有C 13·C 24C 12A 22
·A 33种方法;当由2名男记者参加“负重扛机”工作时,
剩余1男2女3名记者各参加一项工作,有
C 23·A 3
3种方法.故满足题意的不同安排方案数共有
C 13·
C 24C 1
2
A 22
·A 33+C 23·A 33
=108+18=126.故选B. 【跟踪训练3-3】冬季供暖就要开始,现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,那么分配的方案共有______种.
【解析】5名水暖工去3个不同的居民小区,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2,则分配的方案共有⎝⎛⎭⎫C 3
5C 1
22+C 1
5C 2
42·A 3
3=150(种).
【答案】150 【名师指导】。