第56讲 排列与组合(考点精讲)(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第56讲排列与组合思维导图知识梳理1．排列、组合的定义2．排列数、组合数的定义、公式、性质题型归纳题型1 排列问题【例1-1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．【解】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5 040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．【跟踪训练1-1】高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1 800B．3 600C．4 320 D．5 040【解析】选B先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A55种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种，所以共有A55A26＝3 600(种)．【跟踪训练1-2】用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有() A．250个B．249个C．48个D．24个【解析】选C①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.【跟踪训练1-3】将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有()A．1 108种B．1 008种C．960种D．504种【解析】选B将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种)．【名师指导】求解排列应用问题的6种主要方法题型2 组合问题【例2-1】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？【解】(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)取法．所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100(种)取法．所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)法一：(间接法)选取3种商品的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．法二：(直接法)共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．【跟踪训练2-1】从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()A．72B．70C．66 D．64【解析】选D从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．【跟踪训练2-2】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)【解析】从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．【答案】16【跟踪训练2-3】(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．【解析】若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C15种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C15C24＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C25＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案．【答案】40【名师指导】题型3 排列与组合问题的综合应用【例3-1】(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．【解析】 (1)2位男生不能连续出场的排法共有N 1＝A 33×A 24＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N 2＝A 22×A 23＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N ＝N 1－N 2＝60.(2)根据题意，分两种情况讨论：①A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车．有C 23×C 12×C 12＝12(种)乘坐方式；②A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C 13×C 12×C 12＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式． 【答案】 (1)60 (2)24【例3-2】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【解析】 添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A 77种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A 1010种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有A 1010A 77＝720(种)． 【答案】 720【例3-3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．(2)有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．【解析】 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33＝15(种)方法．再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)分派方法． (2)先把4名学生分为2,1,1共3组，有C 24C 12C 11A 22＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A 33＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．(3)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种取法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种取法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中有A 33＝6种分法， 故共有60×6＝360种不同的分法． 【答案】 (1)90 (2)36 (3)360【跟踪训练3-1】(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种【解析】选B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大共有A 33A 22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大共有C 23A 22A 22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法． 【跟踪训练3-2】(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有( )A ．150B ．126C ．90D ．54【解析】选B 根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C 13种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有C 24C 12A 22·A 33种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C 13·C 24C 12A 22·A 33种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C 23·A 33种方法．故满足题意的不同安排方案数共有C 13·C 24C 12A 22·A 33＋C 23·A 33＝108＋18＝126.故选B. 【跟踪训练3-3】冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种．【解析】5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 122＋C 15C 242·A 33＝150(种)．【答案】150 【名师指导】。