刚体习题课.ppt
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1 mvL 1 2 ML2 2 ML 3
v mvL m L J 2 3mv
∴选（B）
9、一质量为m的蚂蚁，在有光滑竖直固定中心轴 的圆盘边缘（圆盘放在光滑水平面上） ，沿逆时 针方向爬行，它相对于地面的速率为v，此时圆盘 正沿顺时针方向转动，相对于地面的角速度为 0， 设圆盘对中心轴的转动惯量为J，若蚂蚁遇到一面 包屑（质量不计）后停止爬行，则圆盘的角速度为 ＿＿＿ 解： 对（蚂蚁+盘）系统，对O轴
质 点 与 刚 体 的 对 比
F ma
刚体:
质点:
t
0
Fdt mv mv0
b
a
1 2 1 2 F dr 2 mv 2 mv0
转动动能
守恒
(力矩的)功
M J
t2 t1
2
1
1 1 2 2 Md J 2 J1 2 2
8、如图，一静止的均匀细棒，长L,质量M，可绕 通过棒的端点且⊥棒长的光滑固定轴O在光滑水平 1 面内转动，转动惯量为 3 ML2. 一质量为m速率为v 的子弹在水平面内沿与棒⊥的方向射入棒的自由端。 设击穿棒后子弹的速率减为v/2，则此时棒的角速 度为 (A)mv/ML (B)3mv/2ML (C)5mv/3ML (D)7mv/4ML. 解： 对（子弹+棒）系统，对O 轴 M外 0 角动量守恒 选⊙为正向，则
大小： rF sin( r , F ) 3( N m ) M 方向：沿 F，即k方向 r M 3k N m
5（习题集47）一长为l、重W的均匀梯子，靠墙放置 如图，梯子下端连一倔强系数为 k 的弹簧。当梯子靠墙 竖直放置时，弹簧处于自然长度，墙和地面都是光滑的。 当梯子依墙而与地面成θ角且处于平衡状态时， NB B (1)地面对梯子的作用力大小为 W 。 (2)墙对梯子的作用力大小为 kl cos 。 (3)W、k、l、θ满足的关系式 W 2kl sin 。 解：刚体平衡的条件： l
2 2
2
T1 a1
P1
19 r
7、如图，一匀质细杆可绕通过其上端与 杆⊥的水平光滑轴O旋转，初始状态为静 止悬挂。现有一小球自左方水平打击细 杆。设小球与细杆间为非弹性碰撞，则 在碰撞过程中，对细杆与小球这一系统， 动量、动能、对O轴的角动量等各量中， 哪些是守恒的?为什么？ 解：∵动量不能描述刚体的转动，∴刚体转动 问题中不谈动量。 ∵是非弹性碰撞，有动能转换为热能， ∴动能不守恒。 ∵碰撞瞬间，（细杆＋小球）系统所受对O轴 的合外力矩为0，∴对O轴的角动量守恒。
r 3i 4 j 5k
∴P点在转动平面内对圆心O′的 矢径为 R 3i 4 j 又ω=60rev/min=2πrad/s，则
2πk
该时刻P点的速度为
v R 2k ( 3i 4 j ) 6j 8i 25.1i 18.8 j
0 0
2J k 0
4、（习题集p6，35） 动力学 如图所示，质点的质量为2kg，位置矢量为 r ， 速度为 v ，它受到力F 的作用。这三个矢量均 在OXY面内，且r=3.0m，v=4.0m/s，F=2N，则 该质点对原点O的角动量 L= ＿＿＿ ；作用在 质点上的力对原点的力矩 M= ＿＿＿.
由转动定律 M=J， 现 M= - k2
0 2 k( ) 2 2 0 k 0 k 3 M 时， J J 3 J 9J
d k 2 再 由 dt J
J 分离变量积分： dt k 0
t
0
0
3
d 2得
3＝
J 1 t k
2 r2
t1
1 t 2 1 r2 t 1 2 r1 2 1 2 11 1 1 r2 t 1 5 8 4 20(re v) n1 2 4 r1 2 1 4 2
46（P8）一可绕定轴转动的飞轮，在20N· m的总力矩 作用下，在10s 内转速由零均匀地增加到8 rad/s，飞轮 2 的转动惯量 J = 25kg m 。 解： 角加速度为
∴选（B ）.
3、（习题集p8，48）
转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为0.此后飞轮经历制动过程。阻力矩M的大小 与角速度的平方成正比，比例系数为k（k为 大于0的常数）。当= 0 /3时，飞轮的角加速 度= ＿＿＿.从开始制动到= 0 /3所经过的时 间t= ＿＿＿.
外
M
dt J 2 J1
守恒
冲量矩 (力矩的)冲量
角动量 动量矩
刚体定轴转动概要 一、6个物理量 1.角速度矢量 2.转动惯量 3.转动动能 4.力矩 6.角动量
v r
d dt J mi ri2
J r dm
2 m
i
质点： r m v L
M J
2. 角动量守恒定律
方法：
判断所选系统对给定轴合外力矩为零，角 动量守恒；规定角动量正方向，给出始末状态 角动量表达式，应用角动量守恒定律求解。
运动学 1、一作匀变速转动的飞轮在10s内转了16圈，其末 角速度为15rad/s，它的角加速度的大小等于多少？ 解: 分别用ω0、 ω 、 、 θ 、t表示初角速度、 末角速度、角加速度、角位移和时间.
∴角动量守恒：
18（P4）质量为m的小孩站在半径为R 的水平平台边缘 上，平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动， 转动惯量为 J 。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然 以相对于地面为V 的速率在台边沿逆时针转向走动时， 则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为： mR2 (V ) ，顺时针； （A） J R 2 mR (V ) ，逆时针； （B） J R
L r mv
L rmv sin( r , v ) 3.0 2 4.0 sin 150 12( kg m 2 s 1 ) 方向：沿 mv ,即k方向 r
L 的大小：
2 1 L 12 k kg m s M r F
0
l
mv 0 R l cos J mR l
2
11、（习题集p15，81） 在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘 上，有一人静止站立在距转轴为R/2处，人的质量 是圆盘质量的1/10，开始时盘载人相对地以角速度 0匀速转动，如果此人垂直圆盘半径相对于盘以速 率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示。 已知圆盘对中心轴的转动惯量为MR2/2.求 （1）圆盘对地的角速度；
v
O R
M 外 0 角动量守恒
0
m ·
选为正向，则
J0 Rmv ( J mR ) J 0 mvR J mR2
2
10. 如图所示，一半径为R的匀质小木 O 球固结在一长度为l的匀质细棒的下端， 且可绕水平光滑固定轴O转动．今有一 v 质量为m，速度为 的子弹，沿着与水m v0 R 平面成 角的方向射向球心，且嵌于球 心．已知小木球、细棒对通过O的水平 轴的转动惯量的总和为J．求子弹嵌入 球心后系统的共同角速度． 解：选子弹、细棒、小木球为系统．子弹射入 时，系统所受合外力矩为零，系统对转轴的角 动量守恒． mv 0 (R + l)cos = [J + m (R + l)2 ]
at r 2 an r z
r
ω
ω ω0 t
v
O
百度文库
1 t2 ω0 t 2 2 2 ω ω0 2 ( 0 )
P
r
定 轴
定轴转动的动力学问题
1.利用定轴转动中的转动定律 方法： 对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按 坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方程 （注：受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角 量关系将 F = ma 与 M = Jα 联系起来；
0 8 0 2 0.8(rad/s ) 10 t 利用定轴转动中的转动定律 M J
Fi 0 i Mi 0
i
NA W NA N B f kl cos
W
A
θ
f
W 1 l cos f l sin N A l cos 0 2 W 2kl sin
6．质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两 个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘 心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴 的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳 子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所 示。求盘的角加速度的大小。 解：受力分析如图。 T mg－T2 = ma2 a T1－mg = ma1 2 / 2 P T2 (2r)－T1r = 9mr 2r = a2 r = a1 2g 解上述5个联立方程，得：
“-”号表示人走动方向与上一问中人走动方向相 反，即与盘初始转动方向一致。
解： (1) 当人以相对于盘的速率v 沿与盘转动相反方向走动 时，盘对地的角速度为， 人对地的角速度为 ′.
人地 人盘＋盘地
对定轴： 人地＝人盘＋盘地
v 2v ( 1 ) 选⊙为正，有 R R 2 ∵（人＋盘）系统对轴的合外力矩为0，
mR 2 （C） J mR 2 mR 2 （D） J mR 2 (V ) ，顺时针； R
[ A ] mR 2 (V ) (V ) ，逆时针。 J R R
分析： J RmV 0
J mR2 (V ) 0 R
题集
二、填空
45.半径为20cm的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm 的被动轮转动。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在 4s内，被动轮的角速度达到8πrads-1，则主动轮在这段 20 时间内转过了_____圈。 1 解：t = 4s 时， 1 0 1t1 1t1 则 1 两轮边缘上点的线速度大小相等： 1r1 主动轮在4s内的角位移
刚体： J L
二、2个定律 1.转动定律
M 外 J
1 2 Ek J 2
M r F
t2
2.角动量守恒定律
若M 外 0 L守恒
5.角冲量
t1
M dt
刚体定轴转动运动学
d , d d , 2 dt dt dt
2
匀变速转动：
r
（2）欲使圆盘对地静止，人 沿R/2圆周对圆盘的速度 v 的 大小及方向。
1 M R 2 1 M R 2 2 2 [ MR ( ) ] 0 MR ( ) ( 2 ) 2 10 2 2 10 2
（1）、（2）两式联立可得
0
2v 21 R
（2）欲使盘对地静止，须 21R 0 2v 0 0v 21R 2
2 由 t 0 2 t 由 0 t 0 t
2( t ) 2( 15 10 32 ) 2 100 t
0
=0.99rad/s2.
2、（习题集p3 ,17）
一刚体以每分钟60转绕Z轴作匀速转动（ 沿 Z轴正方向）。设某时刻刚体上一点P的位置 矢量为 r 3i 4 j 5k，其单位为“10-2m”，若 以“10-2m/s”为速度单位，则该时刻P点的速度 为（ ） ( A ) v 94.2 i 125.6 j 157.0 k ( B ) v 25.1i 18.8 j ( C ) v 25.1i 18.8 j ( D ) v 31.4 k
v mvL m L J 2 3mv
∴选（B）
9、一质量为m的蚂蚁，在有光滑竖直固定中心轴 的圆盘边缘（圆盘放在光滑水平面上） ，沿逆时 针方向爬行，它相对于地面的速率为v，此时圆盘 正沿顺时针方向转动，相对于地面的角速度为 0， 设圆盘对中心轴的转动惯量为J，若蚂蚁遇到一面 包屑（质量不计）后停止爬行，则圆盘的角速度为 ＿＿＿ 解： 对（蚂蚁+盘）系统，对O轴
质 点 与 刚 体 的 对 比
F ma
刚体:
质点:
t
0
Fdt mv mv0
b
a
1 2 1 2 F dr 2 mv 2 mv0
转动动能
守恒
(力矩的)功
M J
t2 t1
2
1
1 1 2 2 Md J 2 J1 2 2
8、如图，一静止的均匀细棒，长L,质量M，可绕 通过棒的端点且⊥棒长的光滑固定轴O在光滑水平 1 面内转动，转动惯量为 3 ML2. 一质量为m速率为v 的子弹在水平面内沿与棒⊥的方向射入棒的自由端。 设击穿棒后子弹的速率减为v/2，则此时棒的角速 度为 (A)mv/ML (B)3mv/2ML (C)5mv/3ML (D)7mv/4ML. 解： 对（子弹+棒）系统，对O 轴 M外 0 角动量守恒 选⊙为正向，则
大小： rF sin( r , F ) 3( N m ) M 方向：沿 F，即k方向 r M 3k N m
5（习题集47）一长为l、重W的均匀梯子，靠墙放置 如图，梯子下端连一倔强系数为 k 的弹簧。当梯子靠墙 竖直放置时，弹簧处于自然长度，墙和地面都是光滑的。 当梯子依墙而与地面成θ角且处于平衡状态时， NB B (1)地面对梯子的作用力大小为 W 。 (2)墙对梯子的作用力大小为 kl cos 。 (3)W、k、l、θ满足的关系式 W 2kl sin 。 解：刚体平衡的条件： l
2 2
2
T1 a1
P1
19 r
7、如图，一匀质细杆可绕通过其上端与 杆⊥的水平光滑轴O旋转，初始状态为静 止悬挂。现有一小球自左方水平打击细 杆。设小球与细杆间为非弹性碰撞，则 在碰撞过程中，对细杆与小球这一系统， 动量、动能、对O轴的角动量等各量中， 哪些是守恒的?为什么？ 解：∵动量不能描述刚体的转动，∴刚体转动 问题中不谈动量。 ∵是非弹性碰撞，有动能转换为热能， ∴动能不守恒。 ∵碰撞瞬间，（细杆＋小球）系统所受对O轴 的合外力矩为0，∴对O轴的角动量守恒。
r 3i 4 j 5k
∴P点在转动平面内对圆心O′的 矢径为 R 3i 4 j 又ω=60rev/min=2πrad/s，则
2πk
该时刻P点的速度为
v R 2k ( 3i 4 j ) 6j 8i 25.1i 18.8 j
0 0
2J k 0
4、（习题集p6，35） 动力学 如图所示，质点的质量为2kg，位置矢量为 r ， 速度为 v ，它受到力F 的作用。这三个矢量均 在OXY面内，且r=3.0m，v=4.0m/s，F=2N，则 该质点对原点O的角动量 L= ＿＿＿ ；作用在 质点上的力对原点的力矩 M= ＿＿＿.
由转动定律 M=J， 现 M= - k2
0 2 k( ) 2 2 0 k 0 k 3 M 时， J J 3 J 9J
d k 2 再 由 dt J
J 分离变量积分： dt k 0
t
0
0
3
d 2得
3＝
J 1 t k
2 r2
t1
1 t 2 1 r2 t 1 2 r1 2 1 2 11 1 1 r2 t 1 5 8 4 20(re v) n1 2 4 r1 2 1 4 2
46（P8）一可绕定轴转动的飞轮，在20N· m的总力矩 作用下，在10s 内转速由零均匀地增加到8 rad/s，飞轮 2 的转动惯量 J = 25kg m 。 解： 角加速度为
∴选（B ）.
3、（习题集p8，48）
转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为0.此后飞轮经历制动过程。阻力矩M的大小 与角速度的平方成正比，比例系数为k（k为 大于0的常数）。当= 0 /3时，飞轮的角加速 度= ＿＿＿.从开始制动到= 0 /3所经过的时 间t= ＿＿＿.
外
M
dt J 2 J1
守恒
冲量矩 (力矩的)冲量
角动量 动量矩
刚体定轴转动概要 一、6个物理量 1.角速度矢量 2.转动惯量 3.转动动能 4.力矩 6.角动量
v r
d dt J mi ri2
J r dm
2 m
i
质点： r m v L
M J
2. 角动量守恒定律
方法：
判断所选系统对给定轴合外力矩为零，角 动量守恒；规定角动量正方向，给出始末状态 角动量表达式，应用角动量守恒定律求解。
运动学 1、一作匀变速转动的飞轮在10s内转了16圈，其末 角速度为15rad/s，它的角加速度的大小等于多少？ 解: 分别用ω0、 ω 、 、 θ 、t表示初角速度、 末角速度、角加速度、角位移和时间.
∴角动量守恒：
18（P4）质量为m的小孩站在半径为R 的水平平台边缘 上，平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动， 转动惯量为 J 。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然 以相对于地面为V 的速率在台边沿逆时针转向走动时， 则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为： mR2 (V ) ，顺时针； （A） J R 2 mR (V ) ，逆时针； （B） J R
L r mv
L rmv sin( r , v ) 3.0 2 4.0 sin 150 12( kg m 2 s 1 ) 方向：沿 mv ,即k方向 r
L 的大小：
2 1 L 12 k kg m s M r F
0
l
mv 0 R l cos J mR l
2
11、（习题集p15，81） 在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘 上，有一人静止站立在距转轴为R/2处，人的质量 是圆盘质量的1/10，开始时盘载人相对地以角速度 0匀速转动，如果此人垂直圆盘半径相对于盘以速 率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示。 已知圆盘对中心轴的转动惯量为MR2/2.求 （1）圆盘对地的角速度；
v
O R
M 外 0 角动量守恒
0
m ·
选为正向，则
J0 Rmv ( J mR ) J 0 mvR J mR2
2
10. 如图所示，一半径为R的匀质小木 O 球固结在一长度为l的匀质细棒的下端， 且可绕水平光滑固定轴O转动．今有一 v 质量为m，速度为 的子弹，沿着与水m v0 R 平面成 角的方向射向球心，且嵌于球 心．已知小木球、细棒对通过O的水平 轴的转动惯量的总和为J．求子弹嵌入 球心后系统的共同角速度． 解：选子弹、细棒、小木球为系统．子弹射入 时，系统所受合外力矩为零，系统对转轴的角 动量守恒． mv 0 (R + l)cos = [J + m (R + l)2 ]
at r 2 an r z
r
ω
ω ω0 t
v
O
百度文库
1 t2 ω0 t 2 2 2 ω ω0 2 ( 0 )
P
r
定 轴
定轴转动的动力学问题
1.利用定轴转动中的转动定律 方法： 对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按 坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方程 （注：受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角 量关系将 F = ma 与 M = Jα 联系起来；
0 8 0 2 0.8(rad/s ) 10 t 利用定轴转动中的转动定律 M J
Fi 0 i Mi 0
i
NA W NA N B f kl cos
W
A
θ
f
W 1 l cos f l sin N A l cos 0 2 W 2kl sin
6．质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两 个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘 心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴 的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳 子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所 示。求盘的角加速度的大小。 解：受力分析如图。 T mg－T2 = ma2 a T1－mg = ma1 2 / 2 P T2 (2r)－T1r = 9mr 2r = a2 r = a1 2g 解上述5个联立方程，得：
“-”号表示人走动方向与上一问中人走动方向相 反，即与盘初始转动方向一致。
解： (1) 当人以相对于盘的速率v 沿与盘转动相反方向走动 时，盘对地的角速度为， 人对地的角速度为 ′.
人地 人盘＋盘地
对定轴： 人地＝人盘＋盘地
v 2v ( 1 ) 选⊙为正，有 R R 2 ∵（人＋盘）系统对轴的合外力矩为0，
mR 2 （C） J mR 2 mR 2 （D） J mR 2 (V ) ，顺时针； R
[ A ] mR 2 (V ) (V ) ，逆时针。 J R R
分析： J RmV 0
J mR2 (V ) 0 R
题集
二、填空
45.半径为20cm的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm 的被动轮转动。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在 4s内，被动轮的角速度达到8πrads-1，则主动轮在这段 20 时间内转过了_____圈。 1 解：t = 4s 时， 1 0 1t1 1t1 则 1 两轮边缘上点的线速度大小相等： 1r1 主动轮在4s内的角位移
刚体： J L
二、2个定律 1.转动定律
M 外 J
1 2 Ek J 2
M r F
t2
2.角动量守恒定律
若M 外 0 L守恒
5.角冲量
t1
M dt
刚体定轴转动运动学
d , d d , 2 dt dt dt
2
匀变速转动：
r
（2）欲使圆盘对地静止，人 沿R/2圆周对圆盘的速度 v 的 大小及方向。
1 M R 2 1 M R 2 2 2 [ MR ( ) ] 0 MR ( ) ( 2 ) 2 10 2 2 10 2
（1）、（2）两式联立可得
0
2v 21 R
（2）欲使盘对地静止，须 21R 0 2v 0 0v 21R 2
2 由 t 0 2 t 由 0 t 0 t
2( t ) 2( 15 10 32 ) 2 100 t
0
=0.99rad/s2.
2、（习题集p3 ,17）
一刚体以每分钟60转绕Z轴作匀速转动（ 沿 Z轴正方向）。设某时刻刚体上一点P的位置 矢量为 r 3i 4 j 5k，其单位为“10-2m”，若 以“10-2m/s”为速度单位，则该时刻P点的速度 为（ ） ( A ) v 94.2 i 125.6 j 157.0 k ( B ) v 25.1i 18.8 j ( C ) v 25.1i 18.8 j ( D ) v 31.4 k