第三章 分子的对称性
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第三章：分子对称性和点群
σv2 σv2 σd1 σv1 σd2 C42 E
C41 C43
σd1 σd1 σv1 σd2 σv2 C41 C43 E
C42
σd2 σd2 σv2 σd1 σv1 C43 C41 C42 E
第三章：分子对称性和点群
1
群元素 群
乘法
对称操作 点群
操作动作的连续
2
本章目录
3.1对称元素和对称操作 3.2 对称操作的乘积 3.3分子点群
3.3.1 构成群 3.3.2 点群乘法表 3.3.3 类和子群 3.3.4 分子点群的类型 ****
3
3.1对称元素和对称操作
• 对称元素的定义（Symmetry Elements） 几何实体，如一个点，一条直线，一个平面；
(x,y,z) -C-2-(-x-)-> (x,-y,-z)-C--2(-y-)> (-x,-y,z) (x,y,z) -C--2(-z-)-> (-x,-y,z)
so, C2(y)C2(x)= C2(z)
34
例3：C4（z）和σ (xz）的存在，自动地要求σ d的存在 普通点[x1,y1,z1]通过xz平面的反映效果可以表为
分子点群满足数学群四准则。
点群中点的含义：(1)这些对称操作都是点操作，操作时 分子中至少有一点不动；(2) 分子的全部对称元素至少通 过一个公共点。
37
满足群的四点要求：
• （1）群中任意两个元素的乘积必为群中的 一个元素。
以NH3为例，逐一求出所有的对称操作的二元乘 积，发现两个操作的乘积仍为集合中的一个操作。
Snm = hmCnm （1）若独立地存在一个Cn轴和一个垂直于它 的平面h，那么就存在Sn。 （2）当分别地既不存在Cn也不存在垂直的h 时，Sn也可以存在。
群论第3章
NH3
CO，NO，HCN
C3v
C∞v
③ Cnh 群 属于Cnh点群的分子中具有一个Cn轴和一个垂直于Cn轴的σh 对称元素：Cn和σh 因σhCn=Sn，故（n-1）个旋转必产生（n-1）个象转 实际上 Cnh群是Cn群和Cs群的直积，阶次为2n 。
Cnh Cn Cs E, Cn1 , Cn 2 ,..., Cn n1 E, h = E, Cn1 , Cn 2 ,..., Cn n1 , h , hCn1 Sn , hCn 2 ,..., hCn n1
第三章. 分子对称性与分子点群
3.1 分子对称性
利用对称性原理和概念探讨分子的结构和性质，是人们认 识分子的重要途径，是了解分子结构和性质的重要方法。 ① 能简明地表达分子的构型 Ni(CN)42-离子具有D4h点群的对称性，用D4h这个符号就可以 准确地表达 9 个原子在同一平面上， Ni 原子在中心位置， 周围4个-CN完全等同，Ni-C-N都是直线型，互为90°角。 ② 简化分子构型的测定工作
3.分子的对称操作和对称元素：
分子是有限物体，在进行对称操作时，分子中至少有一 点不动------点操作 只有四种类型的对称操作和对称元素 a. 旋转操作------旋转轴（Cn）
b. 反映操作------镜面（ σ ）
c. 反演操作------ 对称心（i） d. 象轴（旋转反映）操作------象转轴（反轴）Sn 右手坐标系：讨论对称操作时，常将分子定位在右手坐 标轴系上，分子的重心处在坐标原点，主轴与Z轴重合。 主轴：分子中轴次最高的轴。
Cnh 待 定 分 子 是 否 直 线 型 N Y i Td
例：有两个分子群 D2 { E，C2(x)，C2(y)，C2(z) }
第三章分子对称性和点群
A(c) A(a) A( f ) 0 1
0
0
001
cos 4
3
sin 4
3 0
sin 4
3
cos 4
3 0
0 0Βιβλιοθήκη cos 43sin 4
3
1 0
sin 4
3
cos 4
3 0
0
0
1
A (a) 1
A (b) 1
A (c) 1
表示的分类:
(1)等价表示 若A(g)是群G的一个表示, X是一正交变换矩阵, 则 B(g)=X-1A(g)X
规则二. 点群中所有不可约表示的维数的平方和等于群的阶 n. l12 l22 lk 2 n
在 D3中, l12 l22 l32 6
从而 l1 l2 1, l3 2
规则三. 点群中不可约表示特征标间的正交关系:
k
h j r (R j ) * s (R j ) n rs
j 1
对不可约表示: (R) 2 n
3
y2 a21 a22 a23 x2 , yi aij x j
y3 a31 a32 a33 x3
j 1
（i＝1,2,3)
矩阵的迹 (trace) 或特征标 (character):
( A) TrA aii
i
相似变换:
A S1AS
TrA TrA
(S为正交矩阵) St S SSt E
3.1 对称元素
对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象. 把等价原子进行交换的操作叫做对称操作. 对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.
3.1.1 n重对称轴, Cn (转动)
转角 2 / n
分子的对称性
对称元素是几何元素：点、线、面。 联系：对称元素是通过对称操作表现出来 点对称操作：分子中至少有一点保持不动的操作。
4.1.1 旋转轴和旋转操作
1. 基转角：能够得到等价构型的最小旋转角。
轴次(n)：
C4：
特殊的旋转轴： C∞轴
2. 主轴：一般来说，一个分子中轴次最高的旋转轴。
3. 付轴：除主轴外其余的旋转轴。
S4点群
S6(C3i)点群 1
2. D点群 Dn点群：
D2点群
D3点群 [Co(en)3]3+ 三草酸合铁(III)
Dnh点群
D2h点群 CH2=CH2 对-二氯苯
D3h点群 BF3
环丙烷
பைடு நூலகம்
D4h点群
(PtCl4)2-
D5h点群 (二茂铁) D6h点群 (苯)
Dnd点群
D2d点群 丙二烯
分子的对称性
对称的世界
4.1 对称操作和对称元素
1. 对称操作： 不改变分子中任何两原子间的距离而使其成为等价构 型的操作或动作。 2. 对称元素： 对称操作进行时所依据的几何元素。 3. 复原：分子经过某种动作后，所有同类的原子都与 动作前完全重合，无法区分分子构型是动作前还是动 作后。
等价构型：物理上不可区分的构型。 恒等构型：物理上不可区分且化学上不可区分的构 型，是等价构型的特例。
SF6：
主轴：C4 副轴：C3,C2 对称操作的矩阵表示：
4.1.2 对称中心和反演操作
对称中心 i
4.1.3 镜面（对称面）和反映操作
镜面σ
σv：通过主轴的对称面 σd：通过主轴且平分两个副轴C2的夹角的对称面 σh：垂直主轴的对称面
三种镜面 σv σd 和 σh
4.1.1 旋转轴和旋转操作
1. 基转角：能够得到等价构型的最小旋转角。
轴次(n)：
C4：
特殊的旋转轴： C∞轴
2. 主轴：一般来说，一个分子中轴次最高的旋转轴。
3. 付轴：除主轴外其余的旋转轴。
S4点群
S6(C3i)点群 1
2. D点群 Dn点群：
D2点群
D3点群 [Co(en)3]3+ 三草酸合铁(III)
Dnh点群
D2h点群 CH2=CH2 对-二氯苯
D3h点群 BF3
环丙烷
பைடு நூலகம்
D4h点群
(PtCl4)2-
D5h点群 (二茂铁) D6h点群 (苯)
Dnd点群
D2d点群 丙二烯
分子的对称性
对称的世界
4.1 对称操作和对称元素
1. 对称操作： 不改变分子中任何两原子间的距离而使其成为等价构 型的操作或动作。 2. 对称元素： 对称操作进行时所依据的几何元素。 3. 复原：分子经过某种动作后，所有同类的原子都与 动作前完全重合，无法区分分子构型是动作前还是动 作后。
等价构型：物理上不可区分的构型。 恒等构型：物理上不可区分且化学上不可区分的构 型，是等价构型的特例。
SF6：
主轴：C4 副轴：C3,C2 对称操作的矩阵表示：
4.1.2 对称中心和反演操作
对称中心 i
4.1.3 镜面（对称面）和反映操作
镜面σ
σv：通过主轴的对称面 σd：通过主轴且平分两个副轴C2的夹角的对称面 σh：垂直主轴的对称面
三种镜面 σv σd 和 σh
第三章 分子的对称性与点群
Cnh群中有1个C n轴，垂直于此轴有1个σh 。阶 次为2n。C1h点群用Cs 记号。 若分子有一个n重旋转轴和一个垂直于轴的水平 对称面就得到Cnh群，它有2n个对称操作，{E，Cn1，
Cn2……Cnn-1 ，σh ， Sn1 ， Sn2……Snn-1}包括（n-1）
个旋转、一个反映面，及旋转与反映结合的（n-1） 个映转操作。当n为偶次轴时，S2nn即为对称中心。
平面正方形的PtCl42－ 四面体SiF4不 具有对称中心 具对称中心
五、映转轴和旋转反映
映转轴也称为非真轴，与它联系的对称操作是旋 转n次轴再平面反映，两个动作组合成一个操作。
S1n=σC1n
如甲烷分子，一个 经过Ｃ原子的四次映转 轴S4，作用在分子上，H １旋转到1’的位置后，经 平面反映到H4的位置， 同时H2旋转到2’的位置再 反映到H3的位置……整 个分子图形不变，
4）结合律
若A, B, C G, 则A( BC ) ( AB )C
2. 群的乘法表
根据群的定义，可以得到群的乘法表
C3v点群的乘法表
3．群的一些相关概念 （1）群的构成：群元素可以是各种数学对象或物理 动作，可以进行某种数学运算或物理动作。 （2）群的分类：群有各种类型，如旋转群，置换群， 点群，空间群，李群…… （3）群阶：群所含的元素个数称为群阶， （4）类：群中某些对称元素在相似变换中互为共轭 元素的可分为一类。如C3v 点群中的元素可分为三类， E元素成一类，C31与 C32旋转成一类。三个σv 平面而成一类。 （5）子群：在一些较大的群中可以找到一些较小的 群，称为子群。例如：C3v 群中有子群 C3 。子群也 要满足群的四个要求。
C1的操作是个恒等操作，又称为主操作E，因为 任何物体在任何一方向上绕轴转3600均可复原，它和 乘法中的1相似。 C2轴的基转角是1800，连续绕C2轴进行两次1800 旋转相当于恒等操作，即：
Cn2……Cnn-1 ，σh ， Sn1 ， Sn2……Snn-1}包括（n-1）
个旋转、一个反映面，及旋转与反映结合的（n-1） 个映转操作。当n为偶次轴时，S2nn即为对称中心。
平面正方形的PtCl42－ 四面体SiF4不 具有对称中心 具对称中心
五、映转轴和旋转反映
映转轴也称为非真轴，与它联系的对称操作是旋 转n次轴再平面反映，两个动作组合成一个操作。
S1n=σC1n
如甲烷分子，一个 经过Ｃ原子的四次映转 轴S4，作用在分子上，H １旋转到1’的位置后，经 平面反映到H4的位置， 同时H2旋转到2’的位置再 反映到H3的位置……整 个分子图形不变，
4）结合律
若A, B, C G, 则A( BC ) ( AB )C
2. 群的乘法表
根据群的定义，可以得到群的乘法表
C3v点群的乘法表
3．群的一些相关概念 （1）群的构成：群元素可以是各种数学对象或物理 动作，可以进行某种数学运算或物理动作。 （2）群的分类：群有各种类型，如旋转群，置换群， 点群，空间群，李群…… （3）群阶：群所含的元素个数称为群阶， （4）类：群中某些对称元素在相似变换中互为共轭 元素的可分为一类。如C3v 点群中的元素可分为三类， E元素成一类，C31与 C32旋转成一类。三个σv 平面而成一类。 （5）子群：在一些较大的群中可以找到一些较小的 群，称为子群。例如：C3v 群中有子群 C3 。子群也 要满足群的四个要求。
C1的操作是个恒等操作，又称为主操作E，因为 任何物体在任何一方向上绕轴转3600均可复原，它和 乘法中的1相似。 C2轴的基转角是1800，连续绕C2轴进行两次1800 旋转相当于恒等操作，即：
第三章 分子的对成性与点群
一个对称面只能产生两个反映操作：
ˆ n
ˆ (n为奇数） Eˆ（n为偶数 — 垂直主轴的对称面
d — 包含主轴且平分垂直主轴的两个二重轴之间的夹角
PtCl4：其对称面如上图所示。
5.象转轴（映轴）Sn和旋转反映操作 Sˆn
如果分子图形绕轴旋转一定角度后，再作垂直此轴的镜 面反映，可以产生分子的等价图形。则将该轴和垂直该轴 的镜面组合所得的元素称为象转轴或映轴。
分子的偶极矩是一个矢量，是分子的静态性质，分子的任何对称操 作对其大小和方向都不起作用。
只有分子的电荷中心不重合，才有偶极矩，重合，则无。 极性分子——永久偶极短0 一般分子——诱导偶极矩I
分子的对称性反映出分子中原子核和电子云空间分布 的对称性，因此可以判断偶极矩是否存在。
判据：若分子中有对称中心或有两个对称元素相交于 一点, 则分子不存在偶极矩。
象转轴和旋转—反映连续操作相对应，但和连续操作的
次序无关。即 :
Sˆn cˆnˆ h ˆ hcˆn
转900
Cˆ 4
ˆ h
(A)
例如CH4，其分子构型可用图(A)表示： CH4没有C4，但存在S4
注意：①当分子中存在一个Cn轴和一个垂直Cn的对称 面，则分子必存在Sn轴。
PtCl4有C4 且有 ，有h S4
D4h群：XeF4
D6h群：苯
Dh群： I3-
3) Dnd: 在Dn基础上, 增加了n个包含主轴且平分二次副轴夹
角的镜面σd.
对称元素 1个Cn轴，n个垂直Cn的二重轴，n个σd面 4n阶。
D2d : 丙二烯
C C C
D3d : 乙烷交错型
D4d ：单质硫
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
结构化学 第三章 分子的对称性chap3
[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一实例.
何其相似！
C2
唯一的C3旋转轴从xyz轴连成的 正三角形中心穿过, 通向Co; 三条C2旋转轴分别从每个N–N 键中心穿过通向Co. z C2 x y
C2
Dnh : 在Dn 基础上，还有垂直于主轴的镜面σh .
元素 操作 阶
E，nC2Cn ˆ ,C ˆ 2 ,,C ˆ n1, nC ˆ ˆ,C E
试观察以下分子模型并比较:
(1) 重叠型二茂铁具有
(2) 甲烷具有S4，所以, 只有C2与S4共轴，但C4和与 之垂直的σ并不独立存在.
S5， 所以, C5和与之垂直
的σ也都独立存在；
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
•
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
交叉式C2H6
S6=C3 + i
对称操作与对称元素
的镜面σd.
D2d : 丙二烯
元素 E，nC2Cn 操作 阶
n
ˆ ,C ˆ ,,C ˆ ˆ,C E
2 n
n1 n
ˆ , nC 2
2n
丙二烯（CH2=C=CH2）
对称元素 3C2 , 2 d
D2d群
D2d : B2Cl4
D3d : 乙烷交错型
D4d ：单质硫
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
Z
对称操作，共有9个对称操作. 但每条S4必然也是C2，
S42与C2对称操作等价，所以将3个S42划归C2，
穿过正四面体每条 棱并将四面体分为 两半的是一个σd ,
Y X
共有6个σd 。
从正四面体的每个顶点到 对面的正三角形中点有一 条C3穿过, 所以共有4条C3, 可作出8个C3对称操作。
何其相似！
C2
唯一的C3旋转轴从xyz轴连成的 正三角形中心穿过, 通向Co; 三条C2旋转轴分别从每个N–N 键中心穿过通向Co. z C2 x y
C2
Dnh : 在Dn 基础上，还有垂直于主轴的镜面σh .
元素 操作 阶
E，nC2Cn ˆ ,C ˆ 2 ,,C ˆ n1, nC ˆ ˆ,C E
试观察以下分子模型并比较:
(1) 重叠型二茂铁具有
(2) 甲烷具有S4，所以, 只有C2与S4共轴，但C4和与 之垂直的σ并不独立存在.
S5， 所以, C5和与之垂直
的σ也都独立存在；
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
•
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
交叉式C2H6
S6=C3 + i
对称操作与对称元素
的镜面σd.
D2d : 丙二烯
元素 E，nC2Cn 操作 阶
n
ˆ ,C ˆ ,,C ˆ ˆ,C E
2 n
n1 n
ˆ , nC 2
2n
丙二烯（CH2=C=CH2）
对称元素 3C2 , 2 d
D2d群
D2d : B2Cl4
D3d : 乙烷交错型
D4d ：单质硫
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
Z
对称操作，共有9个对称操作. 但每条S4必然也是C2，
S42与C2对称操作等价，所以将3个S42划归C2，
穿过正四面体每条 棱并将四面体分为 两半的是一个σd ,
Y X
共有6个σd 。
从正四面体的每个顶点到 对面的正三角形中点有一 条C3穿过, 所以共有4条C3, 可作出8个C3对称操作。
(完整版)第三章-分子对称性和群论初步
操作A和B是可交换的。
两个或多个对称操作 的结果，等效于某个 对称操作。
例如,先作二重旋转，再对垂直 于该轴的镜面作反映，等于对 轴与镜面的交点作反演。
对称操作的乘积示意图
2.分子点群的确定
分子可以按 “点群”或“对称群”加以分 类。在一个分子上所进行的对称操作的完全组 合构成一个“点群”或“对称群”。
Third
确定分子是否具有象转轴Sn（n为偶数），如果只 存在Sn轴而别无其它对称元素，这时分子属于假轴 向群类的Sn群。
3. 分子点群的确定
Forth
假如分子均不属于上述各群，而且具有Cn旋转轴时 可进行第四步。当分子不具有垂直于Cn轴的C2轴时，
则属于轴向群类。有以下三种可能：
没有对称面 若有n个sv对称面 若有1个sh对称面
Z s2
Y
x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4
3
43
旋转90◦
12
2
1
2
1 反映
43
3 4
2
1
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
补充：反轴（In）和旋转反演操作(In )
反轴
如果分子图形绕轴旋转一定角度（θ=2π/n）后， 再按轴上的中心点进行反演，可以产生分子的 等价图形，则将该轴和反演组合所得到的对称 元素称为反轴。
对称中心的反演操作，能使分子中各相互对应的原子 彼此交换位置。即分子图形中任意一个原子的位置 A(x,y,z)将反射到点A’(-x,-y,-z)，同时A’点将反射到A点， 从而产生分子的等价图形。示意图.exe
对分子图形若连续反演n次，可以满足：
iˆ
nLeabharlann =E(n为偶数) ˆi(n为奇数)
两个或多个对称操作 的结果，等效于某个 对称操作。
例如,先作二重旋转，再对垂直 于该轴的镜面作反映，等于对 轴与镜面的交点作反演。
对称操作的乘积示意图
2.分子点群的确定
分子可以按 “点群”或“对称群”加以分 类。在一个分子上所进行的对称操作的完全组 合构成一个“点群”或“对称群”。
Third
确定分子是否具有象转轴Sn（n为偶数），如果只 存在Sn轴而别无其它对称元素，这时分子属于假轴 向群类的Sn群。
3. 分子点群的确定
Forth
假如分子均不属于上述各群，而且具有Cn旋转轴时 可进行第四步。当分子不具有垂直于Cn轴的C2轴时，
则属于轴向群类。有以下三种可能：
没有对称面 若有n个sv对称面 若有1个sh对称面
Z s2
Y
x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4
3
43
旋转90◦
12
2
1
2
1 反映
43
3 4
2
1
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
补充：反轴（In）和旋转反演操作(In )
反轴
如果分子图形绕轴旋转一定角度（θ=2π/n）后， 再按轴上的中心点进行反演，可以产生分子的 等价图形，则将该轴和反演组合所得到的对称 元素称为反轴。
对称中心的反演操作，能使分子中各相互对应的原子 彼此交换位置。即分子图形中任意一个原子的位置 A(x,y,z)将反射到点A’(-x,-y,-z)，同时A’点将反射到A点， 从而产生分子的等价图形。示意图.exe
对分子图形若连续反演n次，可以满足：
iˆ
nLeabharlann =E(n为偶数) ˆi(n为奇数)
分子的对称性习题课
Cl
H
CC
H
Cl
NH3
1,2 -二氯乙烯（反式） 无偶极矩—— 有对称中心，
3个σ交于C3，
有偶极矩，在C3上——
Cl
NH 3
Td C2v
C2h C3v
H3N Pt NH3 H3N Pt Cl
—— D2h
Cl
(无)
Cl
(有)
—— C2v
5、分子的旋光性 旋光性的对称性判据：
凡无对称中心 i ，对称面 和 S4n 轴的分子才可有旋 光性。
立方体群
轴向 群
Td CH4，CCl4等具有正四面体结构的分子
Oh SX6，[Fe(CN)6] 2+ 等具有正八面体结构
Cnv
C2V
H2O
C3V
NH
C4V
3F5C
Cnh
C2h （E）-1，2l-二氯乙烯
二面体群
Dn
Dnh
Dnd
比较少见
D2h
H2C=CH2
D3h
BF3等具有平面正三角形的分子
D4h
[Ni(CN)4]2- 等具有平面正方形的分子
(2) PF5 (5) XeF4
(3) CCl4 (6) PH3
一、判断题
1、凡直线分子一定具有C∞轴。 √
2、甲烷分子有对称中心。
3、分子点群是全部对称操作的集合。 √
4、非极性分子的判据之一是两个对称元素相交。
5、对称性判据不仅能告诉我们分子是否有极性，还能告诉我们偶极矩的
大小和方向。
6、镜面d一定也是镜面v 。 √ 7、如构成分子的各类原子均是成双出现的，则此分子必有对称中心 。
8、凡是四面体构型的分子一定属于 Td点群。
chap3b第三章 分子的对称性和点群
C1 , Ci , Cs
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体 有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…) 只有镜面或对称中心, 或无对称性的分子: 只有镜面或对称中心 或无对称性的分子 只有S 为正整数） 只有 2n(n为正整数）分子 为正整数 分子:
S 4 , S 6 , S8 ,...
C n , C nh , C nv
Z
对称操作，共有 个对称操作 但每条S 必然也是C 个对称操作. 对称操作，共有9个对称操作 但每条 4必然也是 2， S42与C2对称操作等价，所以将 个S42划归 2， 对称操作等价，所以将3个 划归C ，
穿过正四面体每条棱 并将四面体分为两半 的是一个σd , 共有 个 共有6个 的是一个 σd 。
旋转反映
(具有 n的)分子 具有S 分子 具有 镜象 反映 旋转
分子
橙色虚线框表明，分子与其镜象能够通过实操作旋转完 橙色虚线框表明， 全迭合，而前提是“分子具有 全迭合，而前提是“分子具有Sn”. 根据n的不同可以写出 根据 的不同可以写出: S1=σ，S2=i，S4=S4。 的不同可以写出 结论： 的分子, 结论 ： 具有 σ、 或 i、 或 S4 的分子 , 可通过实际操作与其 镜象完全迭合，称为非手性分子。 镜象完全迭合，称为非手性分子。
夹角的镜面σ 夹角的镜面 d.
D2d : 丙二烯
D2d : B2Cl4
立方群：包括T 立方群：包括 d 、Th 、Oh 、Ih 等.
这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次 旋转轴相交 这类点群的共同特点是有多条高次 大于二次)旋转轴相交 大于二次 旋转轴相交.
Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。 属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。 正四面体完全相同
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体 有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…) 只有镜面或对称中心, 或无对称性的分子: 只有镜面或对称中心 或无对称性的分子 只有S 为正整数） 只有 2n(n为正整数）分子 为正整数 分子:
S 4 , S 6 , S8 ,...
C n , C nh , C nv
Z
对称操作，共有 个对称操作 但每条S 必然也是C 个对称操作. 对称操作，共有9个对称操作 但每条 4必然也是 2， S42与C2对称操作等价，所以将 个S42划归 2， 对称操作等价，所以将3个 划归C ，
穿过正四面体每条棱 并将四面体分为两半 的是一个σd , 共有 个 共有6个 的是一个 σd 。
旋转反映
(具有 n的)分子 具有S 分子 具有 镜象 反映 旋转
分子
橙色虚线框表明，分子与其镜象能够通过实操作旋转完 橙色虚线框表明， 全迭合，而前提是“分子具有 全迭合，而前提是“分子具有Sn”. 根据n的不同可以写出 根据 的不同可以写出: S1=σ，S2=i，S4=S4。 的不同可以写出 结论： 的分子, 结论 ： 具有 σ、 或 i、 或 S4 的分子 , 可通过实际操作与其 镜象完全迭合，称为非手性分子。 镜象完全迭合，称为非手性分子。
夹角的镜面σ 夹角的镜面 d.
D2d : 丙二烯
D2d : B2Cl4
立方群：包括T 立方群：包括 d 、Th 、Oh 、Ih 等.
这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次 旋转轴相交 这类点群的共同特点是有多条高次 大于二次)旋转轴相交 大于二次 旋转轴相交.
Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。 属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。 正四面体完全相同
第三章-分子的对称性
对称操作只能产生等价构型分子，不能改变其 物理性质（偶极矩）。因此，分子的偶极矩必定在 分子的每一个对称元素上。
(1) 若分子有一个Cn轴，则DM必在轴上； (2) 若分子有一个σ面，则DM必在面上； (3) 若分子有n个σ面，则DM必在面的交线上； (4) 若分子有n个Cn轴，则DM必在轴的交点上，DM=0； (5) 分子有对称中心 i ( Sn )，则DM=0。
群的乘法表
把群元素的乘积列为表，则得到乘法表。乘 积为列×行，行元素先作用，列元素后作用。群 的元素数目 n为群的阶数。 例：H2O，对称元素，C2, σv, σv’ ，对称操作
ˆ ˆ ˆ ˆ C2,σv ,σv ', E ， 属4阶群。
C2v
ˆ E ˆ C2 ˆ σv ˆ σv'
ˆ E ˆ ˆ σv σv' ˆ ˆ σv' σv
判据：若分子中有对称中心或有两个对称元素相交 于一点, 则分子不存在偶极矩。 推论：只有属于Cn 和Cnv(n=1,2,3,…,∞)这两类点群 的分子才具有偶极矩，而其他点群的分子偶极矩为 0。因C1v≡C1h≡Cs，Cs点群也包括在Cnv之中。
H C Cl
H C Cl
1,2 -二氯乙烯（顺式） , C2v，有
C60
闭合式[B12H12]2-
非真旋轴群: 包括Cs 、Ci 、S4 只有虚轴(不计包含在Sn中的Cn/2. 此外, i= S2 , σ = S1, 只有n为4的倍数时Sn是独立的).
Cs 群 ： 只有镜面 Ci 群: 只有对称中心 S4 群: 只有四次旋映轴
亚硝酸酐 N2O3
分子点群的确定
起点 线性分子
2
ˆ E ˆ E ˆ C
ˆ C2 ˆ C
分子的对称性与分子轨道理论
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
对称轴：分子 绕对称轴旋转 一定角度后， 其形状和方向 与原分子相同
对称中心：分 子关于对称中 心对称，形状 和方向与原分
子相同
对称性分类： 对称轴、对称 中心、镜面对
预测分子的结构和性质 解释化学反应机理 指导分子设计和合成 预测分子的物理和化学性质
分子轨道理论可以用来解释化学反应的机理，预测反应的可能性。 通过分子轨道理论，可以理解分子的电子结构，从而预测分子的反应活性。 分子轨道理论的应用，有助于理解不同化学键的形成和断裂过程。 分子轨道理论在药物设计和合成中也有重要应用，可以预测药物分子的活性。
核磁共振法：利用核磁 共振技术测量分子的核 自旋和对称性，验证分 子对称性和轨道理论
核磁共振技术用于测定分子内部结 构，可以验证分子对称性和分子轨 道理论。
核磁共振和质谱技术可以相互补充， 提供更全面的分子结构和性质信息。
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质谱技术通过测量分子离子化后的 质量，可以验证分子对称性和分子 轨道理论。
对称性破缺的原因：分子在化 学反应中受到力的作用，导致 分子构型发生变化。
对称性破缺的概念：分子在空 间中的对称性被破坏的现象。
对称性破缺对化学反应的影响： 影响反应速率、产物构型等。
对称性破缺的实例：醛基的αH的酸性增强，烯烃的加成反
应等。
PART THREE
电子云：描述电子在原子核周围出现的概率分布 分子轨道：描述电子在分子中的运动状态和能量状态 电子填充：按照泡利原理、洪特规则和能量最低原则填充分子轨道 分子轨道理论的应用：解释分子的化学键、稳定性、反应性等性质
汇报人：XX
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PART ONE
PART TWO
对称轴：分子 绕对称轴旋转 一定角度后， 其形状和方向 与原分子相同
对称中心：分 子关于对称中 心对称，形状 和方向与原分
子相同
对称性分类： 对称轴、对称 中心、镜面对
预测分子的结构和性质 解释化学反应机理 指导分子设计和合成 预测分子的物理和化学性质
分子轨道理论可以用来解释化学反应的机理，预测反应的可能性。 通过分子轨道理论，可以理解分子的电子结构，从而预测分子的反应活性。 分子轨道理论的应用，有助于理解不同化学键的形成和断裂过程。 分子轨道理论在药物设计和合成中也有重要应用，可以预测药物分子的活性。
核磁共振法：利用核磁 共振技术测量分子的核 自旋和对称性，验证分 子对称性和轨道理论
核磁共振技术用于测定分子内部结 构，可以验证分子对称性和分子轨 道理论。
核磁共振和质谱技术可以相互补充， 提供更全面的分子结构和性质信息。
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质谱技术通过测量分子离子化后的 质量，可以验证分子对称性和分子 轨道理论。
对称性破缺的原因：分子在化 学反应中受到力的作用，导致 分子构型发生变化。
对称性破缺的概念：分子在空 间中的对称性被破坏的现象。
对称性破缺对化学反应的影响： 影响反应速率、产物构型等。
对称性破缺的实例：醛基的αH的酸性增强，烯烃的加成反
应等。
PART THREE
电子云：描述电子在原子核周围出现的概率分布 分子轨道：描述电子在分子中的运动状态和能量状态 电子填充：按照泡利原理、洪特规则和能量最低原则填充分子轨道 分子轨道理论的应用：解释分子的化学键、稳定性、反应性等性质
第三节分子的对称性与点群
1
6
5
6
2 Revolve 5
1 Revolve 4
6
5
3
60º
4
4
2
3
60º 3
1
2
图形不变
图形不变
空间旋转对称操作是分子对称性讨论中的重要操作之 一。任何一种分子至少可找出一种空间旋转操作。
Revolve
2π
图形不变（复原）
……
Revolve 240º
1
6
2
5
3
4
图形复原
精品资料
⑵镜像反映
当一个体系对空间平面进行反映操作时，若其图形不变，该操作称为镜 像反映对称操作。
例如： CO2 分子（直线型）
1
OC
2
i
2
O 中心反演 O C
图形不变
又如：苯分子（正六边形）
1i
O 中心反演
1
2
OC O
图形复原
1
4
CH
CH
6 CH
CH 2
i
3 CH
CH 5
中心反演
图形不变
5 CH
CH 3
2 CH
CH 6
CH
CH
4
1
精品资料
⑷像转轴 — Sn
所谓“像转”对称操作，实际上是旋转与镜面反映的复合操作。像转
轴可表示为对称轴与对称面的组合。即：
Sn = Cn +σh =σh + Cn
例如：甲烷分子中的四次像转轴 S4 = Ch +σh
C4
2
1
1
C41操作
2 反映操作
图形不变
3 4
3
结构化学-分子的对称性
H2O中的C2和两个σv
C2v 群
船式环己烷
N2H4
C2v群：臭氧 C2v 群：菲
与水分子类似的V型分子，如SO2、NO2、ClO2、H2S等均 属于C2v点群，此外，顺式－1,2－二氯乙烯、船式环己烷,
呋喃，吡啶等也属于C2v点群
C3v ：NH3 C3v ：CHCl3
NH3 分子是C3v 点群的一个典型例子。其它三角锥形分 子，如PCl3、PF3、CH3Cl等也属于C3v点群
单轴群: 包括Cn 、Cnh 、Cnv 点群. 这类点群的共同特点是只有一条旋转轴. Cn 群：只有一条n次旋转轴Cn 。群的阶为n。
C2
C2 群
C2
H2O2
C2 群
C2群
二氯丙二烯
C3通过分子中心且垂直于荧光屏
C3 群
Cnv 群： 有一条n次旋转轴Cn 和n个包含该轴的对称
面σv。群的阶为2n。
对称中心i 对称中心i
确定分子点群的几点其他思路
(b) 有对称中心，且主轴为偶数时，则分子属于Cnh或Dnh点群。进一 步去找镜面或垂直于主轴的C2 轴，如果只有一个镜面或没有垂直于 主轴的C2轴，则属于Cnh点群；如果有二个以上的镜面或有垂直于主 轴的C2轴，则属于Dnh点群。如图2所示分子属于这种情况。
C2
D2 群
主轴C2垂直于荧光屏
C2
D3群：这种分子比较少见，其对称元素也不易看出. [Co(NH2CH2CH2NH2)3 ]3+是一实例.
C2
C2 唯一的C3旋转轴从正三角形中 心穿过, 通向中心Co;
三条C2旋转轴分别从每个N–N 键中心穿过通向Co.
C2
Dnh 群：在Dn 基础上，还有一个垂直于主轴的对称面σh 。
结构化学第三章教案
S4群
23
返回
总结 线性分子 线性分子 分 子 点 群 正四面体 正八面体
左右对称 反之
D∞h C∞v
Td Oh Dnd Cnv Dn Cn
有 轴 群
D群 C群
其它
Dnh Cnh
Cs Ci Sn C1
24
确定点群一定要按着上述顺序 确定点群一定要按着上述顺序 例1 ：苯
σd
C6 C2
σh
D6d C6 ＋ 6C2 ﹢σh D类群 D6h群
5
例 ： H2 O C2 O H
σv
H
σv’
6
(4) 对称中心（i）和反演操作（ 和反演操作（
ɵ） i
例：
i
∧ (5) 象转轴（Sn）和旋转反映操作（ S ） 和旋转反映操作（ n
旋转2 旋转 π/n, 并作垂直 反映操作 此轴的反映 此轴的反映操作
复合操作 顺序无关
7
例：CH4 本身并不存在C 本身并不存在 4 和σh 但存在 S4 H
32
· i
H C
S4
H H
通常， 通常，有Cn和σh，必有Sn 。
可有可无。 无Cn和σh， Sn可有可无。
8
5种对称元素
(1)恒等元素 恒等元素 (2)旋转轴 旋转轴 (3)对称面 对称面 每个分子都有 主轴 次轴 垂直主轴的对称面 ① σh : 垂直主轴的对称面
② σv : 包含主轴的对称面 包含主轴的对称面
例2：交叉式乙烷
C3， 3个C2 个 σ , D3d群
d
C3
C2 C2 C2
中点 过C－C中点，垂直于C3 － 中点
σd
C2
C2
14
返回
第三章 群表示理论基础1
若{F 1，F 2，… F m }及{G 1，G 2，… G n }是两个函数集合，则函数集合｛F i G k ｝（m ×n 个）称为前两个函数集合的直积。
B 、表示的直积以函数集合｛F i G k ｝为基的表示ΓFG 称为以函数集合{F 1，F 2，… F m }为基的表示ΓF 与以函数集合{G 1，G 2，… G n }为基的表示ΓG 的直积。
记为：ΓFG = ΓF × ΓG2）定理：操作R 对应的矩阵中，以直积为基表示的特征标等于以单个函数为基表示的特征标的乘积。
χFG (R) = χF (R)χG (R)五、群表示间的关系小结1、群表示间的关系群表示Γa 的矩阵群为{A 1，A 2，A 3, …}，Γb 的矩阵群为{B 1，B 2，B 3, …}其中，A i 、B i 分别为Γa 与Γb 中对应于第i 个操作的矩阵 。
1）等价：若对每一个操作R 均能找到矩阵X ，使B(R) = X -1A(R)X ，则表示Γa与Γb 是等价的，记为Γa = Γb 。
2）约化： 若能找到矩阵X ，使表示Γ的任一矩阵C(R)，可通过相似变换X -1C(R)X= C´(R) 变为对角方阵C´(R)。
C´(R)中每一组对应的小方阵构成一个群的低维表示Γi ，则称表示Γ是可约化的。
记为：...2211+Γ+Γ=Γ=Γ∑a a a ii i3）直积：若ψa 和ψb 分别为Γa 及Γb 表示的基，则以（ψa ψb ）为基的表示Γab称为Γa 与Γb 的直积。
记为Γab =Γa ×Γb2、群表示的特征标间的关系若将上述关系中群表示符号Γ换为群表示中与某一对称操作对应的矩阵的特征标，则与上述群表示间关系相对应的特征标间的代数运算依然成立。
1）等价： Γa = Γb → χa (R) = χb (R)因为A(R)与B(R)为共轭矩阵，因此特征标应相等。
2）约化：∑∑=→Γ=Γi ii i i i R a R a )()(χχ这是显然的，因为与Γi 对应的矩阵在C´(R)里是沿对角线排列的，因此∑=ii i R a R )()('χχ又因为C(R)与C´(R) 共轭，因此χ(R) =χ´(R)。
第三章 分子的对称性习题课
8、凡是四面体构型的分子一定属于 Td点群。
二、填空题____ 1、有一个 AB3分子，实验测得其偶极矩为零且有一个三重轴，则此分子所属 点群是________。 2、 NF3分子属于_____________点群。该分子是极性分子， 其偶极矩向量位 于__________上。 3、 (1)对-二氟苯 (2)邻-二氟苯 (3)间-二氟苯，有相同的点群的是_______。 4、 丙二烯分子所属点群为_______。 5、既有偶极矩，又有旋光性的分子必属于_________点群。
13 、氯乙烯 (CH2CHCl)中，大π键是_________， 该分子属于_______点群。
三、问答题 1、 指出下列分子所属点群：
(1) H2O2(两个OH不共面) 式)
(3) CH3CHClBr (5) BF5 (四方锥) (7) ClCH=CHCl(反式) (9) 三乙二胺合钴离子
(2) H3C—CCl3(既非交叉，又非重迭
确定分子点群的流程简图
分子
线形分子: D ∞ h C ∞ v 根据有无对称中心判断
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…)
Td , O h ,
只有镜面或对称中心, 或无对称性的分子:
C1,C i,Cs
只有S2n(n为正整数）分子: S 4 , S 6 , S 8 , . . .
Cn轴(但不是S2n 的简单结果)
______________。
4、（丙2）二和烯（分3子）所属点群为_____。
5、既有偶极矩，又有旋光性的D分2d 子必属于____点群。
6、偶极矩μ=0，而可能有旋光性的分子所属C的n 点群为____；偶极矩μ≠0，而一定
没有旋光性的分子所属的点群为_____。
Dn
二、填空题____ 1、有一个 AB3分子，实验测得其偶极矩为零且有一个三重轴，则此分子所属 点群是________。 2、 NF3分子属于_____________点群。该分子是极性分子， 其偶极矩向量位 于__________上。 3、 (1)对-二氟苯 (2)邻-二氟苯 (3)间-二氟苯，有相同的点群的是_______。 4、 丙二烯分子所属点群为_______。 5、既有偶极矩，又有旋光性的分子必属于_________点群。
13 、氯乙烯 (CH2CHCl)中，大π键是_________， 该分子属于_______点群。
三、问答题 1、 指出下列分子所属点群：
(1) H2O2(两个OH不共面) 式)
(3) CH3CHClBr (5) BF5 (四方锥) (7) ClCH=CHCl(反式) (9) 三乙二胺合钴离子
(2) H3C—CCl3(既非交叉，又非重迭
确定分子点群的流程简图
分子
线形分子: D ∞ h C ∞ v 根据有无对称中心判断
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…)
Td , O h ,
只有镜面或对称中心, 或无对称性的分子:
C1,C i,Cs
只有S2n(n为正整数）分子: S 4 , S 6 , S 8 , . . .
Cn轴(但不是S2n 的简单结果)
______________。
4、（丙2）二和烯（分3子）所属点群为_____。
5、既有偶极矩，又有旋光性的D分2d 子必属于____点群。
6、偶极矩μ=0，而可能有旋光性的分子所属C的n 点群为____；偶极矩μ≠0，而一定
没有旋光性的分子所属的点群为_____。
Dn
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逆元素
I--- I C3+---C3– v1--- v1 v2---v2 v3 ---v3
封闭性
结合律 v1(v2 v3) = v1 C3+ = v2
(v1v2)v3 = C3+ v3 = v2
3.5 群的表示
矩阵乘法 矩阵 方阵 对角元素
分子的所有对称操作----点群
如果每一种对称操作可以用一个矩阵(方阵)表示, 矩 阵集合满足群的要求,矩阵乘法表与对称操作乘法表
相似, 矩阵集合---群的一个表示
恒等操作I
矩阵
C2v: I C2 v v
特征标: 对角元素和 9
特征标3
特征标 1
特征标 -1
单位矩阵
I 矩阵, C2 矩阵, v 矩阵, v 矩阵 满足群的要求, 是C2v 点群的一个表示
集合G 构成群
1 –1， 乘法
1X1=1， 1X（-1）= -1 （-1）X1= -1， （-1）X（-1）=1 封闭性 恒等元素1 逆元素 1---1， -1--- -1，
群的乘法表 I A I A
I
I
IA
AA
I
I
A
？
A AI
A A
交叉线上元素 = 行元素 X 列元素
已知，I，A，B构成群， I 为恒等元素， 写出群的乘法表
3) 如果对称中心上无任何原子, 则同类原子是成双出现的.
例如: 苯中C, H
NH3 有无对称中心, 为什么? C2H3Cl有无对称中心, 为什么?
(b) 旋转轴Cp
绕轴旋转3600/p, 等价构型 水分子----绕轴旋转1800, 等价构型 C2轴 C3轴 360/2=180
BF3, 旋转1200, 等价构型 360/3=120
一撇
: 对于某对称面对称
双撇
:对于某对称面反对称
群的所有种类的不可约表示的特征标均相等的对称操 作，属于相同的类。Class
C3v点群，三类 I， C3，v
矩阵： X-1AX=B A与B同属一类。
X-1IX= X-1X=I 单位矩阵自成一类
3.8 可约表示: 不可约表示的数目 笛卡尔坐标中可约表示计算方法：
v1( v2 v3 )三个原子镜面上: 3×1=3
I , C3+ , C3 , v1 , v2 , v3 15 0 0 3 3 3 特征标表---不可约表示 可约表示 = A+B+·+ · · A，B，不可约表示， ，A出现次数， ，B出现次数
Ni = 1/h (R) i(R)
I
I I
A
A
B
B
A
B
A
B
3.4 Group Theory Applied to Point Groups 分子---对称操作----对称操作集合-----?
CHCl3
I C3 C32 C33 v1 v2
v3 集合 I, C3+,C3–, v1,v2, v3
恒等元素 对称操作 I
PI= IP
D2h，D3h，D4h， D5h，D6h， Dh
C ， 个v ， h ，i
C
Cp，p 个v ，一个h
D6h
T，4C3，3C2 ，三C2两两垂直 Th， 4C3，3C2 ，i
Td，正四面体分子，甲烷，SO424C3
3C2 6
点群O
点群Oh
SF6，UF6
3.3 群论 群的定义
集合G (I, A, B, C, ·,), 定义‘‘乘法’’运算 · ·
= X-1ABX = X-1(AB)X =X-1CX =C
I A B C 符合群的定义,
也是群的一个表示
A,B,C ·· ·I · 相似变换后
群的一个表示 方块因子
A, B, C, ·· ·I ·
矩阵
则: A, B, C ·· 群的一个可约表示 ·I, ·
子矩阵a,d,g 子矩阵b,e,h 子矩阵c,f,I 不可约表示:
所有原子运动：特征标贡献 0
对称中心有一个中心原子：
（x,y,z)
特征标-3
(-x,-y,-z)
镜面, 反映操作
镜面外原子0
镜面上每个
原子对特征标 贡献1
H2O v, 3 atoms, 3
v, 1 atom, 1
转动Cp, 转动角度 = 3600/p
转动轴上一个原子贡献: 1+2cos H2O, C2, -1
1) 分子内可以 有多个镜面
最高对 称性旋 转轴
垂直 Z轴 对称面分类 水平对称面h, horizontal
垂直对称面 v, vertical,
苯h v
(d) 象转轴 p-fold rotation-reflection symmetry 沿一转动轴旋转3600/p, 再沿垂直该轴的平面反映,
H2O 9
C2
-1
v
+1
v
+3
特征标 -1 1) 对称操作前后, 原子位置不动 的原子, 才对特 征标有贡献 2) 单个原子贡献 特征标大小
点群的矩阵表示----多个表示 简正坐标---矩阵表示
对称操作前后,简正坐标没有变化, 1
对称操作前后,简正坐标有符号变化, 1
1
-1
1 1 1
1 1
3.10 The Number of Fundamental of Type
H2O
9
-1
1
3
(1+2cos)
NA1= 1/4(9-1+1+3) = 3 NA2=1
NB1=2 NB2=3
水: 3A1+A2+2B1+3B2 平动A1+B1+B2 转动A2+B1+B2
振动2A1+B2
3.11 选择定则
群的表示的特征标的直积 I C2 V V
A1
A2 A1×A2
1
1 1
1
1 1
1
-1 -1
1
-1 -1
相同类型 直积
全对称
A1×A1
R
h, 点群的阶, 对称操作个数
(R), 可约表示中对称操作R的特征标 i(R), 第 i个不可约表示中 对称操作R的特征标 Ni,第 i个不可约表示在可约表示中出现的次数
I,
C3+ ,
C3 ,
v1 ,
v2 , v3
15
点群的阶 h=6,
0
0
3
3
3
NA1= 1/6(R) i(R)
=1/6 (15×1+0×1+0×1+3×1+3×1+ 3×1)
单位矩阵, 也是群的一个表示 单位矩阵, 也是群的一个表示 单位矩阵, 也是群的一个表示
v
3.7 特征标表
红外活性 对称操作
振 动 类 型
平动
拉 曼 活 性
特
征
标 转动R
信息1: 振动类型的简并度, 恒等操作与振动类型交叉点特征标数值
信息
A: 一维不可约表示, 对于主轴对称, 特征标1
信息
O=C=O 碳在对称中心上
(0, 0, 0)---(0, 0, 0)
(x, 0, 0)---(-x, 0 ,0)
(-x, 0, 0)---(x, 0, 0)
HBrClC-CHBrCl 反式二溴二氯 乙烷
苯 对称中心上没有任何原子 分子存在对称中心时:
1) 一个对称中心
2) 对称中心位置上可以有原子
• 对称操作前后, 原子位置不动的原子, 才对特征 标有贡献
2) 位置不动单个原子贡献特征标大小与对称操作 有关
I 恒等操作
n个原子的分子, 3n个坐标
3n×3n 单位矩阵
恒等操作n个原子不动, 每一坐标贡献1, 特征标3n 水分子, 3个原子, 特征标 9
反演操作，对称中心 对称中心无原子, 反演时
=4
I,
C3+ ,
C3 ,
v1 ,
v2 , v3
15
点群的阶 h=6,
0
0
3
3
3
NA2= 1/6(R) i(R)
=1/6 (15×1+0×1+0×1+3×(-1)+3×(-1)+ 3×(-1))
=1
I,
C3+ ,
C3 ,
v1 ,
v2 , v3
15
点群的阶 h=6,
0
0
3
3
3
NE= 1/6(R) i(R)
B: 一维不可约表示, 对于主轴反对称, 特征标-1
信息
E: 二重简并振动, 不可约表示为二维矩阵
F: 三重简并振动
下标g: 相对于对称中心对称
下标u: 相对于对称中心反对称
下标1: 除主轴外, 对某一Cp ,Sp或对某一对称面对称
下标2: 除主轴外, 对某一Cp ,Sp或对某一对称面反对称
矩阵I, A, B, C 是群的一个表示. A = X-1AX, B = X-1BX, C = X-1CX I = X-1IX I A B C 分别称为I A B C 的相似变换矩阵
如果矩阵集合I, A, B, C中, AB=C AB= (X-1AX)( X-1BX)= X-1A(X X-1)BX
C1, 只有恒等操作
象转轴Sp S2, S4, S6 S2 i S 2
点群Cpv, Cp轴, p个通过
旋转轴的垂直对称面
C1v C2v C3v C4v C6v C v
水分子, C2, 2个垂直对称面
NH3 , C3v
C1v C1h Cs
C
Cv, H---I