111变化率问题112导数的概念
1.1.1变化率问题、1.1.2导数的概念
趋近于常数,我们把这个常数
称为t0时刻的瞬时速度
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
3 |平均变化率的几何意义
设A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是曲线y= f(x)上任意不同的两点,平均变化率ΔΔyx = f (x2 )-f (x1) 为割线AB的⑦ 斜率 .
x2 -x1
Δx 0
2Δx
=2f'(x0)=8,
故选D.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
2 | 求函数在某一点处的导数的方法与技巧 求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤,简称:一差、二比、三极限.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
(★★☆)已知f(x)=x- a ,若 f'(1)=2,求a的值.
x
解析 ∴ Δy
=
∵Δy=(1+Δx)-
1 Δx aΔx
1 Δx =1+
a Δx
a
- 1,
a 1
=Δx+a-
1
a Δx
=Δx+a-
a(1 1
Δx)-aΔx Δx
=Δx+
aΔx 1 Δx
∴
f'(1)=
lim
Δx 0
Δy Δx
=
lim
Δx 0
1
1
a Δx
=1+a=2,
∴a=1.
Δy Δx
存在.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.Δx趋近于0表示Δx=0. ( ✕ )
提示:Δx趋近于0,即Δx无限小,但不等于零,否则 ΔΔyx无意义.
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
111-112变化率问题导数的概念
－gt0.
例3 求函数y＝x42在x＝2处的导数． [分析] 通常以某一具体函数为载体，利用求导的 “三步曲”，进行计算．
[解] 解法一：(导数定义法)
∴f′(2)＝y′|x＝2＝－1. [点拨] 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基 本方法．
练 3 求函数y＝ x在x＝1处的导数． [解] 解法一：(导数定义法)
例4 设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的 值．
[分析] 给出某抽象函数在某点x0处可导的条件，求 另一抽象函数在某点x0处的导数，或求另一抽象函数在 某点x0处的极限．
[点拨] 在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多 样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择与之相对 应的形式．利用函数f(x)在x＝x0处可导的条件，可以将
∴ΔΔyx＝211＝21；
(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1 ＝0.02＋1.9＝1.92，
∴ΔΔyx＝10.9.12＝19.2；
(3)在(1)题中ΔΔyx＝f(xx2)2－ －fx(1x1)＝f(55)－ －f4(4)，它表示抛物
线上P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率．
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几 何意义．
[解] f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×x＋3×x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
(1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，
2.1中，平均速度是
()
A．4
B．4.1
C．0.41
1.1.1变化率问题+1.1.2导数的概念
r (2) r (1) ≈ 0.16(dm),
思考?
当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 问题 高台跳水
在高台跳水运动中, 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度 h (单 单 单位: 位:m)与起跳后的时间 t (单位 s) 存在函数关系 与起跳后的时间 单位
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢
h(t) = 4.9t 2 + 6.5t +10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 到 △ 这段时间内平均速度
h v= t h(2 + t ) h(2) = = 13.1 4.9t t
令△x = x2 – x1 , △ y= f (x2) – f (x1) ,则 则
f (x2 ) f (x1) y = x2 x1 x
理解： 理解： 1，式子中△x 、△ y的值可正、可负，但的 的值可正、 ，式子中△ 的值可正 可负， 值不能为0， 的值可以为0 △x值不能为 ， △ y的值可以为 值不能为 的值可以为 2，若函数 (x)为常函数时， △ y =0 ，若函数f 为常函数时， 3, 变式
f (x0 + x) f (x0 ) y = lim lim x→0 x→0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ′(x0 )
或 y′ |x=x0 , 即
f (x0 + x) f (x0 ) f ′(x0 ) = lim . x→0 x
1.1.1变化率问题、1.1.2导数的概念
第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念基础过关练题组一 平均变化率1.(2019北师大附中高二期中)函数y=2x 在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为( )A.x 0+ΔxB.1+ΔxC.2+ΔxD.22.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考)若函数f(x)=x 2+x,则函数f(x)从x=-1到x=2的平均变化率为( ) A.0 B.2 C.3 D.63.(2019陕西黄陵中学高二期末)如图,函数y=f(x)在A,B 两点间的平均变化率等于( )A.-1B.1C.-2D.2题组二 瞬时变化率与导数 4.若函数f(x)在x 0处可导,则lim ℎ→0f (x 0+h )-f (x 0)ℎ的结果( )A.与x 0,h 均无关B.仅与x 0有关,而与h 无关C.仅与h 有关,而与x 0无关D.与x 0,h 均有关5.(2019贵州铜仁一中高二期中)设函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(1)=3,则limΔx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =( )A.-1B.-3C.3D.1 6.已知f'(x)=√2x -12(1-12lnx )2x,则limΔx →0f (12)-f (12+Δx )Δx=( )A.-2-ln 2B.-2+ln 2C.2-ln 2D.2+ln 27.(2019吉林延边二中高二期末)设函数f(x)在x=1处存在导数,则lim Δx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=( )A.13f'(1) B.f'(1) C.3f'(1) D.f'(3)题组三平均速度与瞬时速度8.若质点运动满足s(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3内,质点运动的平均速度为( )A.6.3B.36.3C.3.3D.9.39.若质点运动满足s=12gt2,则时间(单位:s)在区间(3,3+Δt)内的平均速度等于m/s.(g=10 m/s2)10.一物体的运动方程为s=7t2+8,则该物体在t= 时的瞬时速度为1.11.一辆汽车运动的速度为v(t)=t2-2,则该汽车在t=3时的加速度为.12.一个做直线运动的物体,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s(t)=3t-t2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度;(3)求t=0 s到t=2 s时的平均速度.题组四用定义求函数在某点处的导数13.若函数f(x)=2x2+4x在x=x0处的导数是8,则x0= .14.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .15.函数y=2+1在x=0处的导数为.能力提升练一、选择题1.(2020福建师大附中高二期末,★★☆)设f(x)是可导函数,且limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=2,则f'(x0)=( )A.2B.-1C.1D.-22.(2019重庆高二月考,★★☆)已知函数y=f(x)是可导函数,且f'(1)=2,则lim Δx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=( )A.12B.2C.1D.-13.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考,★★☆)已知函数f(x)在x=x0处的导数为k,则limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)ℎ=( )A.kB.-kC.3kD.-3k二、填空题4.(2019陕西宝鸡高二期末,★★☆)设函数f(x)可导,若limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=1,则f'(1)= .5.(2019广东广州高二期末,★★☆)若f'(1)=a,则limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx= .6.(★★☆)如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为;(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为.三、解答题7.(★★☆)某一运动物体,在x s时离开出发点的距离(单位:m)是f(x)=23x3+x2+2x.(1)求在第1 s内的平均速度;(2)求在1 s末的瞬时速度;(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14 m/s?8.(★★☆)求函数y=sin x在区间[0,π6]和[π3,π2]上的平均变化率,并比较它们的大小.9.(★★☆)在某赛车比赛中,赛车位移与比赛时间t存在函数关系s(t)=10t+5t2(s 的单位为m,t的单位为s).求:(1)t=20 s,Δt=0.1 s时的Δs与ΔsΔt;(2)t=20 s时的瞬时速度.10.(★★☆)若一物体运动方程如下: s={3t 2+2(t ≥3),29+3(t -3)2(0≤t <3),其中位移s 的单位:m,时间t 的单位:s.求: (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度;(3)物体在t=1时的瞬时速度.答案全解全析 基础过关练1.D 由题意,可得平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2(x 0+Δx )-2x 0Δx=2,故选D.2.B 函数f(x)=x 2+x 从x=-1到x=2的增量为Δy=f(2)-f(-1)=6,故平均变化率为Δy Δx =62-(-1)=2,故选B.3.A 易知f(1)=3, f(3)=1,因此平均变化率为f (3)-f (1)3-1=-1,故选A.4.B limℎ→0f (x 0+h )-f (x 0)ℎ=f'(x 0),故结果仅与x 0有关,而与h 无关. 5.C lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =f'(1)=3,故选C.6.A lim Δx →0f(12)-f(12+Δx)Δx=-f'(12)=-2+ln22×12=-2-ln 2,故选A.7.A limΔx →0f (1+Δx )-f (1)3Δx=13·limΔx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=13f'(1).8.A s(3)=12,s(3.3)=13.89,∴平均速度v =s (3.3)-s (3)3.3-3=1.890.3=6.3,故选A.9.答案 (30+5Δt)解析 Δs=12g ×(3+Δt)2-12g ×32=12×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,则v =ΔsΔt=30+5Δt.10.答案114解析 设该物体在t 0时的瞬时速度为1,由题意可得Δs Δt=7(t 0+Δt )2+8-(7t 02+8)Δt =7Δt+14t 0,故limΔt →0ΔsΔt =lim Δt →0(7Δt+14t 0)=14t 0,令14t 0=1,可得t 0=114,即在t=114时的瞬时速度为1. 11.答案 6 解析Δv Δt=(3+Δt )2-2-(32-2)Δt=6+Δt,故limΔt →0ΔvΔt =lim Δt →0(6+Δt)=6,即该汽车在t=3时的加速度为6.12.解析 (1)s (Δt )-s (0)Δt =3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt.当Δt →0时,s (Δt )-s (0)Δt→3,所以此物体的初速度为3 m/s. (2)s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt=-Δt-1. 当Δt →0时,s (2+Δt )-s (2)Δt→-1,所以t=2 s 时的瞬时速度为-1 m/s. (3)v =s (2)-s (0)2=6-4-02=1(m/s).13.答案 1解析 根据导数的定义知, f'(x 0)=lim Δx →0Δy Δx =limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim Δx →02(x 0+Δx )2+4(x 0+Δx )-(2x 02+4x 0)Δx=limΔx →04x 0·Δx+2(Δx )2+4ΔxΔx=lim Δx →0(4x 0+2Δx+4) =4x 0+4=8, 解得x 0=1. 14.答案 2解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=a Δx,ΔyΔx =a,∴limΔx →0ΔyΔx=a,∴f'(1)=a=2.15.答案 0解析 Δy=√(0+Δx )2+1-√0+1=(Δx)2√(Δx)2+1+1 =(Δx)2√(Δx)+1+1,∴ΔyΔx =√(Δx)2+1+1,∴y'x=0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0√(Δx)2+1+1=0.能力提升练一、选择题1.A limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=lim Δx→0f[x0+(-Δx)]-f(x0)-Δx=f'(x0)=2.2.C 由题意可得limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=1 2limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=12f'(1),因为f'(1)=2,所以limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=12×2=1.3.D 由题意,可得limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)ℎ=lim ℎ→0[(-3)×f(x0-3h)-f(x0)-3ℎ]=-3×limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)-3ℎ=-3f'(x0)=-3k,故选D.二、填空题4.答案 3解析因为limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=1,所以13limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=1,即13f'(1)=1,故f'(1)=3.5.答案 2a 解析 lim Δx →0f (1+2Δx )-f (1)Δx=2limΔx →0f (1+2Δx )-f (1)2Δx =2f'(1)=2a.6.答案 (1)12(2)34解析 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 f (1)-f (-1)1-(-1)=2-12=12.(2)由题中函数f(x)的图象知, f(x)={x+32,-1≤x ≤1,x +1,1<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 f (2)-f (0)2-0=3-322=34.三、解答题7.解析 (1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 f (1)-f (0)1-0=113m/s.(2)Δy Δx=f (1+Δx )-f (1)Δx=23(1+Δx )3+(1+Δx )2+2(1+Δx )-113Δx=6+3Δx+23(Δx)2. 当Δx →0时,ΔyΔx →6,所以物体在1 s 末的瞬时速度为6 m/s. (3)设物体在x 0 s 时的速度为14 m/s, 则Δy Δx=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=23(x 0+Δx )3+(x 0+Δx )2+2(x 0+Δx )-(23x 03+x 02+2x 0)Δx=2x 02+2x 0+2+23(Δx)2+2x 0·Δx+Δx.当Δx →0时,ΔyΔx→2x 02+2x 0+2,令2x 02+2x 0+2=14,解得x 0=2(负值舍去),即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s. 8.解析 y=sin x 在[0,π6]上的平均变化率为sin π6-sin0π6-0=3π,在[π3,π2]上的平均变化率为sin π2-sinπ3π2-π3=3(2-√3)π.因为2-√3<1,所以3π>3(2-√3)π,故函数y=sin x 在[0,π6]上的平均变化率较大. 9.解析 (1)Δs=s(20+Δt)-s(20)=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-10×20-5×202=21.05(m),Δs Δt=21.050.1=210.5(m/s).(2)Δs Δt=10(20+Δt )+5(20+Δt )2-(10×20+5×202)Δt=5(Δt )2+210ΔtΔt=5Δt+210,当Δt →0时,Δs Δt→210,即在t=20 s 时的瞬时速度为210 m/s.10.解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2, 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt=482=24(m/s).(2)求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵物体在t=0附近的平均变化率为Δs Δt=s (0+Δt )-s (0)Δt=29+3[(0+Δt )-3]2-29-3×(0-3)2Δt=3Δt-18,∴物体在t=0时的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0(3Δt-18)=-18,即物体的初速度为-18m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率. ∵物体在t=1附近的平均变化率为Δs Δt =s(1+Δt)-s(1)Δt=29+3[(1+Δt)-3]2-29-3×(1-3)2Δt=3Δt-12,∴物体在t=1时的瞬时变化率为lim Δt→0ΔsΔt=limΔt→0(3Δt-12)=-12,即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.。
高中数学1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2_2
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 y=f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限,即
������x →0
������������������
f (x 0 +������x )-f (x 0 ) ������x
= ������������������
记作 f′(x0)或 y′|x=x , 即 f′(x0) =
0
Δy lim Δ x →0 Δx
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
反思求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄 清自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy,求平均变化率的主要步 骤是:
题型一
题型二
题型三
题型一
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程,了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
1.函数的变化率
定义 平 均 变 化 率 瞬 时 变 化 率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为
2.导数的概念
f(x0 +Δx)-f(x0 ) , 我们称它为函数 y Δx Δ x →0
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim lim
Δy Δ x →0 Δx
=
= f(x)在 x = x0 处的导数, =
f(x0 +Δx)-f(x0 ) lim . Δx Δ x →0
f (x 2 )-f (x 1 ) x 2 -x 1
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22
度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x )从 瞬时 变化率
������x →0
x0 到 x0+Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限,即 ������������������
f (x 0 +������x )-f ( x 0 ) ������x
刻画函数值在 x0 点附近变化 的快慢
0
Δ������ ������(������0+Δ������)-������(������0) = lim . Δ������ Δ������ →0 Δ������ Δ������ →0
关于导数应注意以下几点 : ①Δx→0 是指 Δx 从 0 的左右两侧分别趋向于 0,但永远不会为 0. ②令 x=x0+Δx,得 Δx=x-x0,于是 f'(x0)= lim f'(x0)= lim
π 2
π 2
(1)比较平均变化率的大小,可按作差法或作商法的步骤进行,关 键是对差式进行合理的变形,以便探讨差的符号. (2)平均变化率的大小可说明函数图象的陡峭程度. (3)由于 Δx 可正可负,在比较大小时需分类讨论.
������(������0+Δ������)-������(������0) 意义相同. Δ������ Δ������ →0 ������(������)-������(������0) ,与概念中的 ������- ������0 ������ →������ 0
-9-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
【做一做 2 】 设函数 y=f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx) (a,b 为常数),则 f'(x0)=
高中数学人教A版选修2-2课件：1.1.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念
题型一题型二题型三题四题型一题型二
题型三
反思求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄 清自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy,求平均变化率的主要步 骤是:
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型一
2.导数的概念
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) , 我们称它为函数������ Δ������ Δ������ →0
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim Δ������ = Δ������ →0 = ������ (������)在������ =
lim
3.如果函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增(或减)函数,那么函数f(x)在 任意闭区间[x1,x2]上的平均变化率的值的正负如何? 剖析:如果函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增(或减)函数,那么函数f(x) 在任意区间[x1,x2]上的平均变化率为正(或负)数;反之,如果函数f(x) 在任意区间[x1,x2]上的平均变化率为正(或负)数,那么f(x)在区间(∞,+∞)内也一定是增(或减)函数.
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
反思求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度,很容易误认为 v0=0,有些函数解析式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直 线运动.
������y
������x →0 ������x
【做一做1-1】 设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数 值的改变量Δy为( )
课件8：1.1.1 变化率问题~1.1.2 导数的概念
点睛 “Δx无限趋近于0”的含义 Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定 的任意小的正数，且始终Δx≠0.
3．导数的概念
定义式
li m
Δx→0
ΔΔyx＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
记法 实质
f′(x0) 或 y′|x＝x0 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 y＝f(x) 在 x＝x0 处的 瞬时变化率
均速度为( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
【答案】A
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1， xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为
()
A．4
B．4x
C．4.2
D．4.02
【答案】C
4．在 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为 ( )
题型二 求瞬时速度 典例 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系 是s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
解：(1)当 t＝0 时的速度为初速度．在 0 时刻取一时间段 [0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02) ＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－Δt(Δt)2＝3－Δt，Δlxi→m0 ΔΔst＝Δlxi→m0 (3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
点睛 Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的 任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可 以为负．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
高中数学 1.1.1-1.1.2变化率问题 导数的概念课件 新人教A版选修2-2
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是
Δ������ Δ������ →0 Δ������
������������������
= ������������������
������(x0 +Δ������)-������(x0 ) ,称它为函数 Δ������ Δ������ →0
y=f(x)在 x=x0 处的导数.
Δ������→0 ������x Δ������→0
,在 x=-2
������ ������
=
������(2 )-������(-2 ) 2 -(-2 )
=0.
lim
������y
= ������������������
������(-2 +������)-������(-2 ) ������
������
������
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
解 :(1)∵f(x)=3x2+2,∴ 2 2 f(x0)=3������0 +2,f(x0+Δx)=3(x0+Δx)2+2=3������0 +6x0·Δx+3(Δx)2+2. ∴Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=6x0·Δx+3(Δx)2.
-5 Δ������ =-5. Δ������ ������y ∴f'(2)= lim = ������������������ (-5)=-5. Δ������→0 ������x ������ x →0 Δ������ Δ������
第一次课：1.1.1变化率问题,1.1.2导数的概念
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H 是山顶.爬山路线用函数y ＝f(x)表示.自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A 的坐标为(11,y x )，点B 的坐为(22,y x ).思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为12x x -，记作Δx ，函数值的改变量为12y y -，记作Δy.思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度.梳理 函数y ＝f(x)从1x 到2x 的平均变化率 (1)定义：1212x x y y x y --=∆∆ (2)实质：函数值 的增量与自变量 的增量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[21,x x ]上变化的快慢.(4)几何意义：已知))(,(111x f x p ，))(,(222x f x p 是函数y ＝f(x)的图象上两 点，则平均变化率1212x x y y x y --=∆∆ 表示割线21p p 的斜率 知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s(t)＝5t 2试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.答案 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝10＋5Δt .思考2：当t ∆趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于什么?怎样理解这一速度？答案 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度.梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻 的速度称为瞬时速度.(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s(t)，则物体在t 0到0t ＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 的 是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 函数在某点处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作 ，即f ′(x 0)＝ lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . [思考辨析 判断正误]1.在平均变化率中，函数值的增量为正值.( )2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间2,1x x ]上变化快慢的物理量.( )3.函数y ＝f(x)在x ＝0x 处的导数值与Δx 的正、负无关.( ) 题型探究 类型一 函数的平均变化率命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f 2x )－f(1x ). (2)再计算自变量的改变量Δx ＝12x x - (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f(x)＝x2＋2x －5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx ，－6＋Δy)，则xy∆∆＝____.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f(x)＝2x －x 上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx ，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t 的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是 A.v 甲>v 乙 B.v 甲<v 乙 C.v 甲＝v 乙 D.大小关系不确定类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝2t ＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度.引申探究1.若例3中的条件不变，试求物体的初速度.2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误.(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s(0t ＋Δt)－s(0t )； ②ts v ∆∆=求平均速度 ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0ΔsΔt .跟踪训练3 一质点M 按运动方程s(t)＝a 2t ＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值.类型三 导数定义的应用例4 (1)若函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)2Δx 等于(2)求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数.反思与感悟 (1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量Δy ＝f(0x ＋Δx)－f(0x )；②求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；③求极限lim Δx →0Δy Δx .(2)瞬时变化率的变形形式lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝f ′(x 0).跟踪训练4 已知f(x)＝32x ，f ′(0x )＝6，求0x理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”.(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式.(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况.。
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平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1)
表示.
x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是相对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代替 x2同样Δy=f(x2)-f(x1)
y f (x2 ) f ( x1)
此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.
为了表述方便，我们用
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 v
趋近于确定值– 13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，
然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时
速度的精确值.那么,运动员在某一时刻 t的0 瞬时速
度为 lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
探究: 运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ] 这段时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ] 这段时间内
v 4.9t 13.1
v 4.9t 13.1
当△t=–0.01时, v 13.051
当△t=0.01时, v 13.149
当△t=–0.001时, v 13.0951
当△t=0.001时, v 13.104 9
例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程 问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问 题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关， 更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。
你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比 赛的瞬间.已知起跳 ts后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m 可用函数
x
x2 x1
观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
y
f(x2)
y=f(x)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
直线AB的斜率
A
x概念
在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员 在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述 运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.
当△t=–0.000 1时, v 13.099 51 当△t=0.000 1时,v 13.100 49
当△t=–0.000 01时, v 13.099 951 当△t=0.000 01时,v 13.100 049
当△t=0.000 001时,
当△t=–0.000 001时,v 13.099 995 1 v 13.100 004 9
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
解： v h t
h(2 t) h(2) 13.1 4.9t t
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
o
t
思考：
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
并思考下面的问题:
49
h( 65) h(0) 10 49
v h 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有
什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在
这段时间里的运动状态.
现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越
来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数
关系是 V (r) 4 r3
3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V
)
3
3V
4
我们来分析一下:
3V r(V ) 3
4
当V从0增加到1L时,气球半径增加了r(1) r(0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场 的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了 科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。
背景介绍
微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别 从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着 解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现， 此后，微积分得到了广泛应用。
h t 4.9t 2 6.5t 10表
示.如何求他在某时刻的 速 度 ?他 距水面的最大 高度是多少?
1.了解导数概念的实际背景，体会导数的 思想及其内涵. 2.导数概念的实际背景，导数的思想及其 内涵.（重点）
探究点1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发
1 0
当V从1L增加到2L时,气球半径增加了r(2) r(1) 0.16(dm)
气球的平均膨胀率为 r(2) r(1) 0.16(dm / L)
21
显然 0.62>0.16
思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
解析： r(V2 ) r(V1)
V2 V1
问题2 高台跳水
……
……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
v h 13.1 4.9t t
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于 一个确定的值 –13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,
平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的
高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：
秒）存在函数关系
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间
段内的平均速度粗略地
描述其运动状态?
o
t
请计算0 t 0.5和1 t 2时间里的平均速度v :
解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 h