高考数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及坐标运算课件 文

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(3)平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 其中 b≠0，则 a 与 b 共线⇔a＝_λ_b__⇔__x_1_y2_－__x_2_y_1＝ ___0___.
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问题探究3：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条 件能表示成xx12＝yy12吗？
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2) ，a－b＝ (a1－b1，a2－b2) ，
λa＝ (λa1，λa2)
．
(2)向量坐标的求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
→ AB
＝__(_x_2－__x_1_，__y_2－__y_1_)__，
即一个向量的坐标等于_该__向__量___终__点__的__坐__标__减__去__始__点__的__坐__标__．_
∴(x0，－ 33x0)＝(－3λ， 3)．
x0＝－3λ，
∴ －
33x0＝
3，
得xλ＝0＝1－. 3，
答案：1
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考点
互动探究
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考点一 平面向量基本定理及其应用
1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的 任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表 示也不同．
2．对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可 通过分析这两个表示式的关系，来反映a，b.
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3．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形 法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算．
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O为直线AB外一点，P为直线AB上任一点，则
→ OP
＝λ
→ OA
第
四
平面向量
章
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1
第二节
平面向量的基本定理及坐标运算
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2
高考导航
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3
基础
知识回顾
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4
1．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理
定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个_不__共__线___向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a，_有__且__只__有___一对实数 λ1，λ2，使 ___a_＝___λ1_e_1_＋__λ_2_e_2 _____其中，_不__共__线 ___的__向__量___e_1，___e2_叫做表示这
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
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问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
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2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
答案：B
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3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
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来自百度文库
解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
一平面内所有向量的一组基底．
(2)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个__互__相__垂__直___的向量，叫做把向量正
交分解．
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(3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两 个单位向量 i，j 作为基底．对于平面内的一个向量 a，有且只有
一对实数 x，y 使 a＝x i＋yj，把有序数对__(_x_，__y_)_叫做向量 a 的 坐标，记作 a＝___(x_，__y_)_，其中___x__叫做 a 在 x 轴上的坐标，_y___
A．5
B．10
32 C. 5
D．15
解析：∵a∥b，∴4y－40＝0得y＝10.
答案：B
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2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
→ AB
＝
(2,4)，A→C＝(1,3)，则B→D等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5)
D．(2,4)
解析：由题意得B→D＝A→D－A→B＝B→C－A→B＝(A→C－A→B)－A→B＝ A→C－2A→B＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．故选B.
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【拓展探究】 如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，
C的任一点，M为AH的中点，若
→ AM
＝λ
→ AB
＋μ
→ AC
，则λ＋μ＝
________.
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解析：由B，H，C三点共线，可令
提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能 表示成xx12＝yy12，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1 ＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1 －x2y2＝0等．
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1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
＋
μO→B，其中λ＋μ＝1.
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(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点， AD＝12AB，BE＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2为实数)，则λ1＋ λ2的值为________．
【思路启迪】 把其他向量用基底A→B、A→C表示即可．
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【解析】 D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(B→A＋A→C) ＝－16A→B＋23A→C，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.
【答案】
1 2
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应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形 法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定 理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表 示都是唯一的．