2第 2 章 二维线性时、空不变系统分析

F( fx, fy ) f (x, y)exp[j2π( fxx fy y)]dxdy F f(x, y) （2.7a）
f (x, y) F( fx, fy ) exp[ j2π( fxx fy y)]dfxdfy F -1 F( fx, fy ) (2.7b)
式中， x, y, f x , f y 均为实变量。
h(x2, y2;,) L { (x1 , y1 )} (2.5)
图 2.1 线性系统的脉冲响应
将脉冲响应代入式 (2.4), 得到系统输出为:
g(x2, y2 ) f (,)h(x2, y2;,)dd (2.6)
式 (2.6) 通常称为“叠加积分”，它描述了空间线 性系统的输入和输出之间的关系。
也就是满足叠加性和均匀性的系统。可见，线性 系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个 激励所产生的响应的线性组合。
2.1.2 脉冲响应和叠加积分 任何输入函数都可以分解为某种“基元”函数的
线性组合，相应的输出函数便可通过这些基元函 数的线性组合来求得，基元函数通常是指不能再 进行分解的基本函数单元。在线性系统分析中， 常用的基元函数有 函数、阶跃函数、余弦函数和 复指 数函数等。对光学系统来说，主要有二维 函数和复指数函数。 首先研究 函数作为基元函数的情况。根据
2.2.2 可分离变量函数的傅立叶变换
一般函数的二维傅里叶变换是很复杂的，但如果 函数在直角坐标系中是可分离的，即:
பைடு நூலகம்
f (x, y) fx (x) f y ( y)
(2.8)
利用一维和二维傅里叶变换定义可证明，
它的二维傅里叶变换也是可分离的，可以 表示成两个一维傅里叶变换的乘积
F { f (x, y)} F { fx (x)}F { fy ( y)}
第 2 章 二维线性时、空不变系统分析
内容提要：
一个信息系统是某种装置，当施加激励时，便产 生相应的响应。激励常称为系统的输入，响应则 称为系统的输出。例如电路网络，它的输入和输 出是一维时间序列电信号，光学成像系统的输入 和输出是物与像，是二维空间分布的图像信号。
本章介绍线性时、空系统的理论，常见的时空信 号及其傅立叶变换，图像信号的采集，为二维光 电信息系统分析奠定数学基础。
函数的筛选性质，任何输入都可以表达为:
f (x1, y1) f ( ,) (x1 , y1 )dd
上式表明，函数f (x1, y1) 可以分解成为在x1 y1 平 面上不同位置处无穷多个幅度为 f ( ,) 的 ( ,)
函数的线性组合，f (,) 为坐标位于 ( ,) 处的
函数在叠加时的权重。输入 f (x1, y1) 通过系统后的 输出为:
g(x2, y2,t) L { f (x1, y1,t)}
(2.1)
系统对任何两个输入的和 的响应分别为
g1(x2, y2,t) L { f1(x1, y1,t)}
(2.2a)
g2 (x2, y2,t) L { f2 (x1, y1,t)}
(2.2b)
如果该系统对以上两个任意输入的线性组合
(1)
在任一 (x, y) 区域绝对可积；
(2) f (x, y) 在任一矩形区域，必须只有有限个间
断f (点x, 和y) 有限个极大极小点；
(3)
没有无穷大间断点。
f (x, y)
f (x, y) fx (x) f y ( y)
物理上存在的信号均存在傅里叶变换。从应用角 度来看，可以认为傅里叶变换总是存在的。
(2.9)
实际上，许多光学元器件能够用可分离变量函数 表示，如光学十字架，因此，这一性质是很有用 的。
2.2.3 具有圆对称函数的二维傅里叶变换——傅里叶 -贝塞尔变换
光学系统通常是以传播方向为光轴的轴对称系统。 在垂直于光轴的物(像)平面、透镜平面、光瞳平面 上放置的透镜、光瞳等元器件常常具有圆对称性。 此时用极坐标比直角坐标更方便。假设平面上的 极坐标为；平面上的极坐标为，则：
a1 f1(x1, y1,t) a2 f2(x1, y1,t) 的响应为，
L {a1 f1(x1, y1,t) a2 f2(x1, y1,t)} L {a1 f1(x1, y1,t)}L {a2 f2(x1, y1,t)}
a1L { f1(x1, y1,t)} a2L { f2(x1, y1,t)} a1g1(x2, y2,t) a2g2(x2, y2,t) 这里a1和a2为任意复常数，则称该系统为线性系统。
式 (2.7b) 表示函数 f (x, y)是各种频率为 fx , f y 的余(正) 弦函数的叠加，叠加时的权重因子是 F( fx , f y ) 。因 此, F( f x , f y ) 常称为函数 f (x, y) 的频谱。
傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可 积和狄里赫利条件是其中一种，它可具体表述为：
Lxg{121(x(2xyy,12y2 ,t1),y1L{f11)(}x1, yh1(, tx)2} 2 , y2 2 ;0,0)
2.1 二维线性时、空不变系统
2.1.1 二维线性系统的定义
数学上，可以把二维系统定义为一个用算符L{ } 来表示的变换，该算符把在 x1 y1 平面上定义的二
维输入函数 f (x1, y1,t) 变换为定义在 x2 y2平面上的 二维输出函数g(x2, y2,t), 记为
g(x2 , y2 ) L { f (,) (x1 , y1 )dd}
根据线性系统的性质，可将算符L{ }先作用于各 基元函数，再把各基元函数得到的响应叠加起来， 得到:
g(x2, y2 ) f (,)L { (x1 , y1 )dξd} (2.4)
L { (x1 , y1 )}的意义是物面上位于 ( ,)处的单 位脉冲激励通过系统后的输出，把它定义为系统 的脉冲响应函数(见图2.1)
2.2 二维傅里叶变换
傅里叶变换是研究线性不变系统的重要数学工具 在光信息系统中用来研究光学系统的频谱特性。 本节先简要介绍二维傅里叶变换，然后给出典型 函数的二维傅里叶变换。
2.2.1 二维傅里叶变换的定义及存在条件 若函数 f (x, y)在整个x y平面上绝对可积且满足狄
里赫利条件，其傅里叶变换及傅里叶逆变换存在， 并可定义为：