传递函数求增益

增益为 0.01 。
5
3
4 2
3
2
1
1
0
-0.382
-1
-2
0
0
-1
-3
-2
-4
-5
-3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
0
1
2
3
（a）
（b）
19
图 根轨迹和 Hs 的零、极点分布
6. 解：由图(a)可知系统的开环传递函数为
GH
ks 2 ss 12
其中 k k1 k2 ，k1为前向通路的根轨迹增益；k2为反馈通路的根轨迹增益。
% e 1 2 100% 26%
ts
3
4n
1.2 1.6
n
当 5时 当 2时
提示：该例显示了高阶系统近似为二阶系统的方法，请注意近似原则。
18
例6．已知系统闭环根轨迹和反馈通路的零、极点分布如图的(a)和(b)所示， 试确定闭环存在重极点情况下的闭环传递函数，此时反馈通路根轨迹
总复习题
例1.某系统的结构图如图所示。试求系统的传递函数
Cs Rs
。
s
s2
Rs
1
k
s
A s 1 s
1
Cs
s
结构图
1
1.解：
s
s2
Rs
1
k
s
A s 1 s
1
Cs
s
结构图 s
s2
Rs
1
k
s
B
A
s 1 s
1
Cs
s
2
（a）
s
s2
Rs
1
k
s
B
A
s 1 s
1 s
Cs
Rs
3
s
s2
1
k
s
（a）
s 1 s
s 1 s
所以
Gs
Cs Rs
1
提示：本题用等效变换法做较复杂。主要困难可能出现在分支点和相加点互相 移动时（本例中的第一步变换），其移动的思路大致是：（参考图a）当原图
的反馈点（即分支点）A前移到 A 点时，A点的反馈值比在A点反馈少了s Rs， 为了保证变换的等效性，需在相加点 B处加以补偿，大小为s Rs ，于是有了
1
s
Gs
由题意知稳态误差为
1
ess
lim
s0
s
1
s
Gs
0
所以
lim Gs
s0
则Gs 分母的常数项应为零。
设
Gs
s as2
k bs
c
则闭环系统传递函数为
14
s
1
Gs Gs
as3
k bs 2
cs
k
特征方程式为 as3 bs2 cs k s3 4s2 6s 10 0
比较系数得 即
8 0
s2 0 2
s1 16 0
s0 2
第三行元素全为零，对辅助方程 2s4 2 0
11
求导得
8s3 0
可用8，0替换第三行0，0；第四行第一列元素为零；用小正数 替换0，
继续排列劳斯阵。 劳斯阵第一列元素变号一次，说明特征方程有一个正根。劳斯阵有一行
元素全为零，说明可能有大小相等、符号相反的实根；或一对共轭虚根；或 对称于虚轴的两对共轭复根。，解辅助方程得：
1
s
Cs
k （b）
Rs
Rs
4
s
s2
1
k
s
s 1 s
s 1
1
Cs
s
s
k （b）
s 1 s
s2
k
1
1 s 1
s 1
s
1
Cs
s
k （c）
s 1 s
s2
Rs
k
1
1 s 1
s 1
s
1
Cs
s
k （c）
s 1
Rs
s2 s k
1s 1 ss 1
1 s
Cs
k 1s 1 ss 1
（d） 5
Rs
1
Cs
（e）
s 1
Rs
1
s
1
1
2
Y s
s2 s
s2 s
s
系统结构图
10
3. 解：系统的闭环传递函数为
s
s5
2 2s4
s
2
系统的特征方程为
s5 2s4 s 2 0
看出特征方程的系数不全为正，所以系统是不稳定的。为了求出S右半平面
的极点数，列劳斯阵如下： s5 1 0 1
s4 2 0 2 s3 0 0
2. 解： 因为
Y s Rs
s2
k1 k 2 as
k2
所以
Y s
s2
k1 k 2 as
k2
Rs
s2
k1 k 2 as
k2
1 s
y
lim
t
yt
lim
s0
s
s2
k1 k 2 as
k2
1 s
k1
2
又因为 所以
8
Gs
k2
ss
a
ss
n2 2
n
n
2
k2
2 n a
据题意知 解得
12
例4.闭环控制系统的结构图如图所示。试求满足下列两个条件的三阶开环传递函
数 Gs，应满足的条件: (1)由单位阶跃函数输入引起的稳态误差为零；
(2) 闭环系统的特征方程为 s3 4s2 6s 10 0。
Rs
Es Gs
Y s
系统结构图
13
4. 解：由单位阶跃引起的误差为
1
Es
1
Rs Gs
图a。下例的变换也是这个思路，碰到这类分支点和相加点需要相互移动的题目，
可用梅逊公式求解较为简单。
6
例2. 图(a)为系统结构图，图(b)为某典型单位阶跃响应。试确定
k1 ，k2 和 a 的值。
Rs
k1
k2
ss a
Y s
yt
2.18 2.0
（a）
0
0.8
t
（b）
7
（a）系统结构图 （b）阶跃响应曲线
2s4 2 2s 1s 1s js j 0
这样特征方程可写为
s 2s 1s 1s js j 0
可见，系统在S右半平面有一个根 s 1，在虚轴上有两个根 s j，s j，
在S左半平面有两个根 s 1，s 2 。
提示：该例显示了用劳斯判据是系统稳定性的方法。讨论了两种特殊情况 （劳斯阵某行元素全为零和第一列某元素为零）下劳斯阵的组成方法。
由图(b)知
H s
k2 s 2 s 1
因此，系统结构如图所示。Rs
k1
ss 1
Cs
k2 s 2
s 1
图 结构图
解得 故
%
2.18 2
100% 9% e
1 2
2
0.608
t p 0.8
n
1 2
n 4.946 rad s
k2 2 24.463
a 2 n 2 0.608 4.946 6.014
提示：该例显示了由动态性能指标求系统参数的方法。
9
例3. 系统的结构图如图所示，试判别系统的稳定性。若不稳定求在S右半 平面的极点数。
① 保持系统的稳态值不变； ② 瞬态性能变化不大。根据这个原则，原开环传递函数近似为
Gs
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ss
20000
5s
500
ss
40
5
s
1
40
ss
5
500
近似后的闭环传递函数为
s 40
n2
s2 5s 40 s2 2 n s n2
17
所以 则
n
2
2
40 n 5
n
6.325 0.395
a 1 ， b 4 ， c 6 ， k 10
G
s
s
s2
10 4s
6
15
例5. 某单位反馈随动系统的开环传递函数为
Gs
ss
20000
5s
500
试计算闭环系统的动态性能指标 % 和 ts 。
16
5. 解：这是一个高阶系统，我们注意到极点离虚轴的距离较极点离虚轴远的 多，这个极点对闭环系统瞬态性能的影响很小，因此，可以忽略该极点， 而使系统近似为二阶系统。近似原则如下：