3常染色体遗传问题

（3）线性方程模型 例题1

常染色体遗传模型

问题的提出：为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣。动植物在产生下一代的过程中，总是将自己的特征遗传给下一代，从而完成一种“生命的延续”。

在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对。人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的，其特征遗传由两个基因

A 和

a 控制。基因对是AA 和Aa 的人，眼睛是棕色,基因对是aa 的人，眼睛为

蓝色。由于

AA 和Aa 都表示了同一外部特征，或认为基因A 支配a ，也可

认为基因a 对于基因

A 来说是隐性的(或称A 为显性基因，a 为隐性基因)。

试选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论。 某植物园中植物的基因型为

AA ,Aa

,

aa 。

人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。经过若干年后，这种植物的任一后代的三种基因型分布将出现什么情形? 模型的假设

1）假设

,,(0,1,2,

)n n n a b c n = 分

别代表第n 代植物中,基因型为

AA ,Aa

和

aa 的植物占植物总数的百分率,令()(,,)n n n n x a b c '

=为第n 代植物的基因型分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分

布，显然有

0001a b c ++=

2）第1n -代与第n 代的基因型分布关系是通过下表1确定的。

表1 基因型的概率分布

模型的建立

根据假设2），先考虑第n 代中的AA 型。由于第n 代要得到AA 型的情

况为：

1°第1-n

代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；

2°第1-n 代的Aa 型与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为2

1；

3°第1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。因此，

当1,2,n

= 时，有

1111

102

n n n n a a b c ---=∙++∙------ ①

同理，有

111

2

n n n b b c --=+ ------ ②

0n c = ------------- ③

将①，②，③式相加,得

111n n n n n n a b c a b c ---++=++---- ④

将④式递推，并由假设1），可得

0001n n n a b c a b c ++=++=

将①，②，③式联立，并用矩阵表示，则有

,2,1,)1()(==-n Mx x n n ---- ⑤

其中

110210

1200

0M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

由⑤式进行递推，得第n 代基因型分布的数学模型

()

(1)

2(1)

(0)

n n n n x

Mx

M x

M x

--==== ---⑥

它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M 确定。

模型求解

为了计算n M ，对矩阵M 做相似变换，将其对角化，即求出可逆矩阵P 和对角阵D ，使

1M PDP -=

因而有

1(1,2,)n n M PD P n -==

其中

1122

330000n

n

n

n D λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦ 这里123,,λλλ是矩阵M 的三个特征值。对于⑤式中的M ，易求得其特征值和特征向量分别为

1231

1,,02

λλλ===

1231110,1,2001e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

因此

10010

0200

0D ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

，

123111(,,)012001P e e e ⎡⎤⎢⎥

==--⎢⎥

⎢⎥⎣⎦ 通过计算，得1P

P -=，因此有

1()(0)(0)1(0)()n n n n x M x PDP x PD P x --===

0001

001

111

1110120001220

010010

0n

a b c ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎛⎫

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---- ⎪⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎣⎦

00000100

111

221122

0n n n n a b c b c b c --⎡⎤++--⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

最终有

00100

111122

11220n

n n n n n n a b c b b c c --⎧

=--⎪⎪

⎪

=+⎨⎪

=⎪⎪⎩

-------⑦