人教A版高中数学必修5第三章3.4基本不等式教案第一课时教案

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课题: §3.4

2

a b + 第1课时

授课类型:新授课 【学习目标】

1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;

2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;

3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣

【能力培养】

培养学生严谨、规范的学习能力,辩证地分析问题的能力,学以致用的能力,分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

2

a b +≤的证明过程; 【教学难点】

2

a b +≤等号成立条件 【板书设计】

【教学过程】

1.课题导入 基本不等式2

a b ab +≤的几何背景: 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据

中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风

车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不

等关系吗?

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关

系。

2.讲授新课

1.问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。

2.总结结论:一般的,如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

3.思考证明:你能给出它的证明吗?

证明:因为 2

22)(2b a ab b a -=-+

当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时

所以,0)(2≥-b a ,即.2)(22ab b a ≥+ 4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式2

a b ab +≤ 特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ,可得2a b ab +≥,

通常我们把上式写作:(a>0,b>0)2a b ab +≤ 2)从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤

用分析法证明:

要证 2

a b ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证(2),只要证 a+b- ≥0 (3) 要证(3),只要证 ( - )2 (4) 显然,(4)是成立的。当且仅当a=b 时,(4)中的等号成立。

3)理解基本不等式2

a b ab +≤的几何意义 探究:课本第110页的“探究”

在右图中,AB 是圆的直径,点C 是AB 上的一点,AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE ,连接AD 、BD 。你能利用这个图

形得出基本不等式2a b ab +≤

的几何解释吗?

易证Rt △A CD ∽Rt △D CB ,那么CD 2=CA ·CB

即CD =ab .

这个圆的半径为2b a +,显然,它大于或等于CD ,即ab b a ≥+2

,其中当且仅当点C 与圆心重合,即a =b 时,等号成立. 因此:基本不等式2a b ab +≤

几何意义是“半径不小于半弦” 评述:1.如果把2

b a +看作是正数a 、b 的等差中项,ab 看作是正数a 、b 的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中,我们称

2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

[补充例题]

例1 已知x 、y 都是正数,求证:

(1)y

x x y +≥2; (2)(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.

分析:在运用定理:

ab b a ≥+2

时,注意条件a 、b 均为正数,结合不等式的性质(把

握好每条性质成立的条件),进行变形.

解:∵x ,y 都是正数 ∴y x >0,x

y >0,x 2>0,y 2>0,x 3>0,y 3>0 (1)x

y y x x y y x ⋅≥+2=2即x y y x +≥2. (2)x +y ≥2

xy >0 x 2+y 2≥222y x >0 x 3+y 3≥23

3y x >0 ∴(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥2xy ·2

22y x ·233y x =8x 3y 3

即(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3. 3.随堂练习

1.已知a 、b 、c 都是正数,求证

(a +b )(b +c )(c +a )≥8abc 分析:对于此类题目,选择定理:

ab b a ≥+2

(a >0,b >0)灵活变形,可求得结果.

解:∵a ,b ,c 都是正数

∴a +b ≥2ab >0 b +c ≥2bc >0

c +a ≥2ac >0

∴(a +b )(b +c )(c +a )≥2ab ·2bc ·2ac =8abc

即(a +b )(b +c )(c +a )≥8abc .

4.课时小结

本节课,我们学习了重要不等式a 2+b 2≥2ab ;两正数a 、b 的算术平均数(

2b a +),几何平均数(ab )及它们的关系(2

b a +≥ab ).它们成立的条件不同,前者只要求a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问

题:ab ≤222b a +,ab ≤(2

b a +)2.

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