量子力学 第三章3.8力学量期望值随时间的变化 守恒定律

ˆ F 1 ˆˆ ˆˆ dx ( FH HF) dx t i

ˆ d F F 1 ˆ ˆ 即： [F, H] dt t i
(1)
ˆ 此即为海森伯运动方程。 其中右边第一项是由于 F 显含时间而引
起的，即使 不随 t 变化这一项也存在；第二项是由于 随 t 变 化而引起的，即使 F 不随 t 变化这一项也存在。
ˆ 2 2 L2 2 ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ [L , H] [L , (r )] [L , ] [L2 , U(r)] 0 2r 2 r r 2r 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [L x , H] [L , H] [Lz , H] 0； ˆ2 ,L ] 0 , [L2 , L ] 0 ， L2 , L z ] 0 [ˆ ˆ [L ˆ
dH 0 则有 dt 此即为能量守恒定律。
如：无限深势阱；线性谐振子；氢原子等，能量均为守恒量。 <4>哈密顿对空间反演不变时的宇称： ˆ a. 引入宇称算符 P ：
ˆ ˆ 定义：若 P(x, t) (x, t) ，则称 P 为宇称算符。
ˆ 注：宇称算符 P 描写了空间的对称性。
ˆ b. P 的本征值：
2. 例子（运动恒量举例）
<1>自由粒子的动量
2 ˆ p ˆ 当粒子不受外力，即 H 时 2 ˆ ˆ p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 如果 0 ， [p, H] i [p x , H] j[p y , H] k[p z , H] 0 t
dp 0 ，即为量子力学中的动量守恒定律。 则有 dt
而薛定谔方程及其复数共轭方程为：
1 ˆ H ； t i
ˆ 且 H 为厄米算符：
1 ˆ (H ) t i
ˆ dF 1 ˆ ˆ 1 F ˆˆ 于是： (H) Fdx dx FHdx dt i t i
ˆ 子力学中则不然，除了在 F 的本征态中 F 有确定值（这时无需考
虑 F 随 t 的变化）外，在一般态中， F 并没有确定值，它可以以 各种几率取它的各个本征值，这时上式无意义，但 F 仍有意义， 所以我们只观察
dF 。 dt
2. Heisenberg 运动方程的推导
设 ( x , t ) 为归一化的波函数，则：
二、守恒定律
ˆ d F F 1 ˆ ˆ ˆ 1. 在运动方程 [F, H] 中，如果 F 不显含时间 t ，即 dt t i ˆ F ˆ , H] 0 (即对易)，则有 d F ＝0，即 F 平均值不随 0 ，并且 [F ˆ dt t
时间变化。这时称 F 为运动恒量，即守恒量。此即为量子力学中 的守恒定律。
ˆ 所以 P 的本征值 C 1 。
ˆ ˆ 即： P1 (x, t) 1 (x, t) ； P2 (x, t) 2 (x, t)
ˆ 称 P 的本征函数中本征值为 1 的 1 为有偶宇称态，本征值为 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ c. H 在空间反演不变时的宇称守恒：
y
x
y
ˆ ˆ L x L2 0， t t dL d L2 所以： 0； x dt dt
ˆ L y
ˆ L z ＝0 t t dL y dL z 0； 0 0； dt dt
此即为量子力学的角动量守恒定律。
<3>哈密顿不显含时间的体系能量 ˆ H 若哈密顿不显含时间， 即 0 t ˆ ˆ 而 [H, H]Βιβλιοθήκη Baidu 0
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schro
o 接地描写各力学量的变化。当然，我们也可以由 Schrdinger 方程
推出一个力学量随时间变化的一般方程，即量子力学运动方程或 海森堡运动方程，由它可以更直接的描述力学量的变化，并可得 出一些重要结论。
一、力学量的平均值随 t 的变化规律
（量子力学运动方程或 Heisenberg 运动方程）
1.
dF dF 和 dt dt
在经典力学中， 任一力学量 F 在任何时刻都有确定值， 因而
F 对时间的微商：
F( t t ) F( t ) dF lim 有确定的意义。在量 dt t 0 t
ˆ P ˆ ˆ ˆ 设 H 空间反演不变，则 H(x) H(x) ， 0 t
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 而 PH(x)(x, t) H(x)P(x, t) H(x)P(x, t )
ˆ ˆ ˆ ˆ 即 [P, H](x, t) 0 ，也即 [P, H] 0
dP 0 ，此即为宇称守恒定律，即态的奇偶性不随 t 变化。 所以 dt
推广到三维情况： r r （反演）
ˆ (, t) (, t ) （其他都可作相应证明） 。 P r r
ˆ F ( x , t )F ( x , t )dx （ x 代表所有自变量）
ˆ ˆ ˆ ˆ 考虑到 F 可能显含 t (比如 H T U(x, t ) )，则上式两边对 t 的微
商可表述为：
ˆ dF ˆ F ˆ F dx dx F dx dt t t t
<2>粒子在辏力场中运动的角动量
ˆ 2 2 L2 ˆ H (r ) U(r) 2 2 r 2r 2r r
ˆ ˆ ˆ ˆ 而 L2 , L x , L y , L z 只和 , 有关与 r 和 t 无关，
ˆ ˆ ˆ ˆ 则： [L2 , f (r)] [L x , f (r)] [L y , f (r)] [Lz , f (r)] 0
ˆ 本征方程： P(x, t) C(x, t) ˆ ˆ 则 P 2 (x, t) CP(x, t) C2 (x, t) ˆ 而 P(x, t) (x, t)
ˆ ˆ P 2 ( x , t ) P ( x , t ) ( x , t )
①
②
于是： C 2 1 ，即C 1
体系的状态随 t 的变化表现在两个方面：一是 ( r , t ) 直接描
2 写的位置几率分布 ( r , t ) 随 t 的变化；另一个是力学量随 t 的变
化。因 完全描写态，知道 ( r , t ) 后，即可求得每一个时刻 t 各 o 力 学 量 的 变 化 。 而 态 ( r , t ) 的 变 化 遵 从 Schrdinger 方 程 ， 故