运筹学表上作业法

2.确定初始基本可行解 1）最小元素法
基本思想： 就近供应，按运价最小的优先调运原则确 定初始方案，即从单位运价表中选择运价 最小的开始确定调运关系，然后次小。若 某行（列）的产量（销量）已满足，则把 该行（列）的其他格划去。如此进行下去， 一直到给出初始基可行解为止 。
2.确定初始基本可行解
例如，某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个 生产厂，有甲、乙、丙、丁四个销售点。公司每天把三个 工厂生产的产品分别运往四个销售点，各工厂到各销售点 的路程不同，单位产品的运费不同。各工厂每日的产量、 各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品 的运价如下表。问该公司如何调运产品，在满足各销售点 需要的前提下，使总运费最小。
运输问题求解之表上作业法
1.运输问题模型及其求解思路 2.确定初始基本可行解 3.最优性检验 4.方案调整
1.运输问题模型及其求解思路
运输问题： 研究把某种商品从若干个产地运至若 干个销售地而使总运费最小的一类 问题。 目标： 总运费最小
1
1.运输问题模型及其求解思路
已知有m个产地Ai（i=1,2， … ， m ）可供应某种 物资，其供应量（产量）分别为ai ，有n个销地Bj （j=1,2， … ， n）其销量（需求量）分别为bj ，从 A到B的单位物资运价为cij 。
m n i 1 i j 1Leabharlann Baiduj
min z cij xij
s.t.

m
n
i 1 j 1
x
j 1 m
n
min z CX
ij
ai bj
x
i 1
ij
矩阵形式： s.t.
xij 0
j=1，2，…，n)

AX b X0
(i=1，2，…，m；
1.运输问题模型及其求解思路
甲 A B C 销量 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丁 10 8 5 6 产量 7 4 9
2.确定初始基本可行解
若设 ij 代表从第i个产地到第j个销售地的运输量（i=1,2,3； j=1,2,3,4)
x
min z 3x11 11x12 3x13 10x14 x21 9 x22 2 x23 8x24 7 x31 4 x32 10x33 5x34
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1.运输问题模型及其求解思路
运输问题求解思路——表上作业法 由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果直接使用线 性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些有利条 件。 人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建立了 针对运输问题的表上作业法。
1.运输问题模型及其求解思路
表上作业法是单纯形法在求解产销平衡的运输问题时的一 种简化方法，其实质仍是单纯形法，所不同的只是完成各 步采用的具体形式。 具体操作步骤如下： （1）确定一个初始基本可行解：即在m×n阶产销平衡 表上给出m+n-1个数字格（基变量）； （2）求各非基变量（空格）的检验数，即在表上 计算空格的检验数。判别式否达到最优解。如果是最优解， 则停止计算，否则进入下一步。 （3）确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。 （4）重复(2)、(3)直至得到最优解为止。
x11 x12 x13 x14 7 x21 x22 x23 x24 4 x31 x32 x33 x34 9 x11 x21 x31 3 x12 x22 x32 6 x13 x23 x33 5 x14 x24 x34 6 xij 0
2.确定初始基本可行解
B1 A1 A2 A3 两最小元素之差 3 1 7 2 B2 11 9 4 5 B3 3 2 10 1 B4 10 8 5 3 两最小元素之差
系数矩阵Ａ
1 1 · · ·1
1 1 · · ·1
A=
1 1 · · · 1 1 1 · · · 1
· · ·
1 1 · · ·1 1 1 · · · 1


m行
n行
1.运输问题模型及其求解思路
对于产销平衡的运输问题， 若产地为m个，销地为n个， 则 变量个数为m×n个， 约束条件个数为m+n， 其中包含：总产量＝总销售 故线性无关的约束条件个数为m+n-1， 基本解中的基变量个数为m+n-1。
2.确定初始基本可行解
B1
A1 3 1 7 11
B2
3 2
B3
B4
产量
5 10
0 8
5
3
8
A2
A3
3
3
9 4
3
6 10
6 5
3
6
9
销量
2.确定初始基本可行解 ２）伏格尔法
伏格尔法的基本思想：如果某一地的产品不能按最小运费 就近供应，就考虑次小运费，两者间就有一个差额。差额 越大，说明费用增量越大。因而对差额最大处，优先采用 最小运费调运。 步骤： ①分别计算表中各行和各列中最小运费和次小运费的差 额，并填入表中的最右列和最下行。 ②从行和列的差额中选出最大者，选择其所在行或列中的 最小元素，按类似于最小元素法优先供应，划去相应的行 或列。 ③对表中未划去的元素，重复① ②，直到所有的行和列 都划完为止。
销地 产地
A1 A2 : : Am
B1
c11 c21 : : cm1 b1
B2
c12 c22 : : cm2 b2
…
… … : : … …
Bn
c1n c2n : : cmn bn
产量
a1 a2 : : am
销量
1.运输问题模型及其求解思路
若设 xij 代表从第Ai个产地到第Bj个销售地的调运量，在产 a b 销平衡的条件下（ ），要确定总运输费用最小的调 运方案，可表示为如下的数学模型
s.t

2.确定初始基本可行解
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 7 3 11 B2 3 2 B3 B4 产量
4 10 1 8
5 5 6
3
7 4
3 9
4 6
6
10
3
9
Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
2.确定初始基本可行解 为保证基变量的个数有m+n-1个， 注意： 1、每次填完数，只能划去一行或一列，只 有最后一个格子例外。 2、用最小元素法时，可能会出现基变量个 数还差两个以上但只剩下一行或一列的情 况，此时不能将剩下行或列按空格划掉， 应在剩下的空格中标上0。（退化的基本可 行解）