西北角法：运筹学表上作业法初始基可行解的确定
运输问题 表上作业法
A B C 销量（ 销量（bj）
第一步：从表4 中找出最小运价“1”， 第一步：从表4-1中找出最小运价“1”， 最小运 价所确定的供应关系为（ ），在 价所确定的供应关系为（B，甲），在（B，甲） 的交叉格处填上“3”，形成表4 的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的 甲列运价划去得表4 甲列运价划去得表4-3.
8.伏格尔法 8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤： 伏格尔法的基本步骤： 1.计算每行、列两个最小运价的差； 1.计算每行、列两个最小运价的差； 计算每行 2.找出最大差所在的行或列 找出最大差所在的行或列； 2.找出最大差所在的行或列； 3.找出该行或列的最小运价 确定供求关系， 找出该行或列的最小运价， 3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量 的供应 ； 4.划掉已满足要求的行或 4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划 去行和列， 去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个 0”； “0”； 5.在剩余的运价表中重复1~4步 在剩余的运价表中重复1~4 5.在剩余的运价表中重复1~4步，直到得到初始基可 行解。 行解。
2.表上作业法与单纯形法的关系 2.表上作业法与单纯形法的关系
表上作业法中的最小元素法和伏格尔法实质 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 表上作业法中的“位势法” 表上作业法中的“位势法”实质上是在求单 纯形表中的检验数； 纯形表中的检验数； 调运方案表中数字格的数实质上就是单纯形 法中基变量的值； 法中基变量的值； 调运方案表上的“闭回路法” 调运方案表上的“闭回路法”实质上是在做 单纯形表上的换基迭代。 单纯形表上的换基迭代。
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-14 A B C
两最小元素之差
运输问题-初始基可行解的确定
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6 14
产 量
A1 A2
A3
销 量
8
2
8
10
16
10
② ④
6
8 5
4
11
x32
22
48
8
①
14 6 ③
12 8
表 3-2
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6
产 量
A1 A2
A3
销 量
8
2
8
10
16
10
② ④
6
8 5 14 6 ① ③
4
11 12 8 ⑤ 14
表上作业法
计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2
一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 下面介绍三种常用的方法。
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地 产地
B1
11
产 量
1
2
3
A1 A2
16 9 10
0 0 1 1 1 2
A3
销 量 列 罚 数
6
8
22 48
14
8 2 2 14 5
14 6
3 3
1 2 3
销 地 产地
行罚数
B1
4
B2
12 10 5
B3 4 3 11 12 1 1 1
B4
11
2014运筹学-03-2表上作业法
销地
B3 3 x14 8 B4 10
供应
7 4
需求
3
6
5
6
20
元素差额法(VAM法) 例 设有A1, A2和A3的产品需要运到B1, B2, B3 . 元素差额法是在最小元素法的基础上改进的 和 B4四个销地，求如何调运使总运费最少？ 在确定产销关系时，不从最小元素开始，而 从运输表中各行各列的最小元素和次小元素 产地 销地 供应 B1 B2 B3. B4 之间的差额来确定产销关系
2
5
×
3 差 额
3
8
4
4
×
6
2 1
1
1 5
2 8
3 2
初始调运方案为
2 3 5 9 7 1 2 5 4 3 2 4 88
作业： 用元素差额法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
初始总运费为
5 9 4 7 3 1 2 2 3 4 4 2 100
作业： 用最小元素法求解下列问题的调运方案
产地
B1 A1 x11 A2 x21 A3 x31 7 x32 1 x22 4 x33 3 x12 9 x23 10 x34 B2 11 x13 2 x24 5 9
供 应
9 9-3 9-3-6 5 5-2 5-2-3 7 7-1 21
3
A2 A3 需求
1
6-6 6
初始调运的运费为
3 2 6 9 2 3 3 4 1 2 6 5 110
管理运筹学之第七章 运输问题
2、判断是否最优；——闭回路法、位势法
3、若不是最优，进行调整，直到找到最优解。
例：某公司有三个生产厂商和四个销售公司，运价，产量， 销量如下表： 运
销 地
B1
3 1 7 3
B2
11 9 4 6
B3
3 2 10 5
B4
10 8 5 6
产量
7 4 9 20|20
产
费
地
A1 A2 A3
销量
1、确定初始基本可行解——西北角法 运
目标函数：
min f
c
i 1 j 1
m
n
ij
x ij
约束条件：
j 1 n
x ij s i ( i 1, 2 ,..., m ) x ij d j ( j 1, 2 ,..., n )
i 1
m
x ij 0
注意：
运输问题可能的一些变化：
1、目标函数是求最大值。如运输公司要求营业额最大化。
销 地
B1 2 10 7 2
B2 11 3 8 3
B3 3 5 1 4
B4 4 9 2 6
D 0 0 0 4
产量 7 5 7 19
A1 A2 A3 销量
例：有三个地方B1、B2、B3 分别需要煤3000、1000、2000吨， 由A1,A2两个地方来供应，其供应量分别为4000，1500吨，其 运价如下表：
1 广州
2 大连
解：Xij表示从I到j的运输量。
min f 2 x13 3 x14 3 x 23 x 24 2 x 35 6 x 36 4 x 45 3 x 37 6 x 38 4 x 46 6 x 47 5 x 48 4 x 28
运筹学【运输问题】考研必备
22
13
12 0
最小元素法(2)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
132 712来自10 62715
19 13 12 0 13 0
最小元素法(3)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19 13 0 12 0 13 0
解: 西北角法
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
(1) 从图的西北角开始, 填入a1与b1较小的值,b1=2, 即从A1运 给B1(2吨)B1已满足, 划去b1列, 并将a1=4-2=2
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
例2
供应地 运价 销售地 1 a1=14 供 应 量 1 6 7 5
b1=22
a2=27
2
a3=19
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
b2=13
销 售 量
3
b3=12
4
b4=13
解:
初始基础可行解—最小元素法(1)
1 1 6 7
2 5
3 3
4 14
2
8
4
2
7
27
15
12
3 5 9 10 6 19 13
如何调运产品才能使总运费最小？
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
第二节运输问题求解表上作业法
22
这样，利用单位产品变化（运输的 单位费用）可计算出它们对目标函数的 综合影响，称这个综合影响为该非基变 量对应的检验数。
上面计算的两个非基变量的检验数
为 24 = -1，22 = 1。
闭回路方法原理就是通过寻找闭回路 来找到非基变量的检验数。
表4-11 初始基本可行解及检验数
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
11
3
10
[1] [2]
4
3
A2
1
9
2
8
3 [1]
1 [-1]
A3
7
4
10
5
[10]
6 [12]
3
销量
3
6
5
6
产量 7 4 9
20(产销平衡)
25
显然，当所有非基变量的检验数 均大于或等于零时，现行的调运方案就 是最优方案，因为此时对现行方案作任 何调整都将导致总的运输费用增加。
mn
Min f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t.
j=1
xij
si
i = 1,2,…,m
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
40
2.运输问题求解
—表上作业法
只要在模型中的产量限制约束（前m
个不等式约束）中引入m个松弛变量 xin+1 i= 1,2,…,m 即可，变为：
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运筹学第三章 运输问题
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
运筹学-表上作业法
B1
B2
B3
B4
产量
A1 3
11
3 4 10 3 7
A2 1 3 9
2 18
4
A3 7
4 6 10
5 39
销量
3
6
5
6
Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
13
2.确定初始基本可行解
为保证基变量的个数有m+n-1个， 注意：
❖1、每次填完数，只能划去一行或一列，只 有最后一个格子例外。
B1
B2
11 = 1
3
12 = 2 22= 1
B3
B4
4
3
1
24 = -1
31 = 10
6
33 = 12
3
3
6
5
6
产量 7 4 9
❖最优标准：所有检验数ij ≥0
27
3.最优性检验 ❖2、位势法
❖ 闭回路法的缺点：当变量个数较多时，寻找闭回路以及计算 两方面都容易出错。
位势法检验步骤：
❖ 1）设产地Ai对应的位势量为ui ，销地Bj对应的位势量为vj； ❖ 2势）U由i ，ijV=Cj ，ij-（即UCii+j-V（j）Ui,+利V用j）对=基0，变令量U而1=言0；有ij=0，计算位 ❖ 3）再由ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数ij
❖2、用最小元素法时，可能会出现基变量个 数还差两个以上但只剩下一行或一列的情 况，此时不能将剩下行或列按空格划掉， 应在剩下的空格中标上0。（退化的基本可 行解）
14
2.确定初始基本可行解
B1
第六章2-运输初始解的求法
请大家分别计算一下用以上三种方法求得的可行解对应的目标函
第二节 运输问题初始基本可行解的求法
请大家分别计算一下用以上三种方法求得的可行解对 应的目标函数值，看看那个值更小一些。 应的目标函数值，看看那个值更小一些。 由以上可见； 由以上可见；伏格尔格法同最小元素法除在确定供 求关系的原则上不同外，其余步骤相同， 求关系的原则上不同外，其余步骤相同，伏格尔法求 得的初始解比用最小元素法给出的初始解更接近最优 解。 上面只说求得的解是可行解， 上面只说求得的解是可行解，那么它是不是基本可 行解呢，下面的定理将给出结论。 行解呢，下面的定理将给出结论。 定理：西北角法、最小元素法、差值法得到的x 定理：西北角法、最小元素法、差值法得到的 ij的值 是一组基本可行解，没有画“ 是一组基本可行解，没有画“×”的地方对应的变量 的地方对应的变量 正好是基变量。 正好是基变量。
第二节 运输问题初始基本可行解的求法
列变
列不变
列变
列变
x i1 j1 ,
行不变
x i1 j 2 ,
行变
x i2 j2 ,
行不变
x i 2 j3 , … , x i s j s ,
x i s j1
最终变到同一列（或同一行） 最终变到同一列（或同一行） 其中i表示行标 表示列标 表示行标， 也各不相同。 其中 表示行标，j表示列标 各不相同 ； 也各不相同。
第二节 运输问题初始基本可行解的求法
二．求初始基本可行解的方法 西北角法（参考课本例题） 西北角法（参考课本例题） 西北角法的一般步骤； 西北角法的一般步骤； 先决定左上角变量的值， 先决定左上角变量的值 ， 令这个变量取尽 可能大的值， 可能大的值 ， 并将这个数字标在对应运费 的右上角。 的右上角。 在填数的格子所在的行或列的应该为0的格 在填数的格子所在的行或列的应该为 的格 子上打“ 若行或列都应该取0， 子上打 “ ×”若行或列都应该取 ， 则在行 若行或列都应该取 上打“ 上打 “ ×”后， 就不能在列上打 “ ×”；反 后 就不能在列上打“ ； 在列上“ 后就不能在行上打“ 之 ， 在列上 “ ×”后就不能在行上打“ ×”。 后就不能在行上打 。
西北角法：运筹学表上作业法初始基可行解的确定
《运筹学》第三版（清华大学出版社）P79例1，表上作业法，运用西北角法确定初始基可行解。
西北角法是从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如此进行下去，直至得到一个基本可行解的方法。
西北角法的例子： P79例1从表1中可知，总的产量=总的销量，故产销是平衡的。
第一步：列出运价表和调运物资平衡表。
运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的运价表和供需平衡表（简称平衡表），如表1，2所示。
第二步：编制初始调运方案。
首先在表2的西北角方格（即左上角方格，对应变量x11），尽可能取最大值：x11=min{3,7}=3将数值3填入该方格(见表3)。
由此可见x21,x31必须为0，即第一列其他各方格都不能取非零值，划去第一列。
在剩下的方格中，找出其西北角方格x12，x12=min{6,7-3}=4将4填入它所对应方格，第一行饱和，划去该行。
再找西北角方格x22，x22=min{6-4,4}=2将2填入x22所对应方格，于是第二列饱和，划去该列。
继续寻找西北方格为x23，x23=min{5,4-2}=2将2填入x23所对应方格，第二行饱和，划去该行。
剩下方格的西北角方格为x33，x33=min{5-2,9}=3将3填入x33所对应方格，第三列饱和，划去该列。
最后剩下x34方格，取x34 = 6。
这样我们就找到了m＋n-1＝3＋5-1＝7个基变量，它们为：x11 = 3,x12 = 4,x22 = 2,x23 = 2,x33 = 3,x34 = 6。
显然它们用折线连接后不形成闭回路。
这就是西北角法所找初始基可行解，所对应的目标值为：2×200＋1×250＋3×150＋1×150＋3×250＋3×300＋4×200＝4000我们找到的初始基可行解可通过各行方格中数值之和是否等于产量，各列方格中数值之和是否等于销量来简单验证。
运输问题
5．提示：（1）产销平衡问题。（2）虚设一个销地G。（3）虚设一个产地B1，初始解
最好用差值法给出。
6．（1）x11=x22=x33=1，其余xij= 0。（2）x13=x22=x34=x41=1，其余xij=0。
（1）
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
B6
产量
A1
20
10
30
A2
30
20
50
A3
10
10
50
5
75
A4
20
20
销量
20
40
30
10
50
25
（2）
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
B6
产量
A1
30
30
A2
20
30
50
A3
10
30
10
25
75
A4
20
20
销量
20
40
30
10
20
25
（3）
销地
产地
B1
B2
B3
B4
人员
任务
E
J
G
R
甲
2
15
13
4
乙
10
4
14
15
丙
9
14
16
13
丁
7
8
11
9
答案与提示
一．1．×；2．×；3．√；4．√；5.×.
试对给出运输问题初始基可行解的西北角法
3.3试对、最小元素法、和vogel法进行比较，分析给出的解之质量不同的原因。
3.7试判断表3-30和表3-31中给出的调运方案可否作为表上作业法迭代时的基可行解？为什么？表3-313.11表3-36示出一个运输问题及它的一个解，试问：(1) 表中给出的解是否为最优解？请用位势法进行检验。
C由1变为3，所给的解是否仍为最优解？若不是，请求出最优解。
(2) 若价值系数24(3) 若所有价值系数均增加1，最优解是否改变？为什么？(4) 若所有价值系数均乘以2，最优解是否改变？为什么？4.2 利用图解法解下列目标规划问题：(1) min {}+++-+1323211),2(,d P d d P d Pst.⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+++-+-+-+-3,2,10,,,40401502213322211121i d d x x d d x d d x d d x x i i (2) min {})5.1(,,),(4342312431---+++++d d P d P d P d d PSt.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++=-+++-+-+-+-+-4,3,2,10,,,1530100402144233122211121i d d x x d d x d d x d d x x d d x x i i4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：（1） min {})35(,,),(2343322111++--+-++d d P d P d P d d Pst.⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+++-+-+-+-3,2,10,,,1400325005800213322211121i d d x x d d x d d x d d x x i i (2) min {}+--+-+144332211),35(,,d P d d P d P d PSt.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++=-+++-+-+-+-+-4,3,2,10,,,457090802144233122211121i d d x x d d x d d x d d x x d d x x i i4.4对于目标规划问题min {})53(),35(,,3243234211++--+-++d d P d d P d P d PSt.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+=-+++-+-++-+-+-4,3,2,10,,,10457080214413322211121i d d x x d d d d d x d d x d d x x i i（1） 用单纯形法求问题的满意解；（2） 若目标函数变为min {}+++---++4432332211),53(),35(,d P d d P d d P d P则满意解有什么变化？（3） 分别对第二和第三优先级各目标权系数作灵敏度分析。
运输问题表上作业法
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）
=80+100-（90+75）=15。
得到初始调运方案为： x11=100,x13=100,x22=150,x23=100
总运价为： 9* 0 10 100 *100 60* 5 15 100 *100 3087
2西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务,而是优先满足运输表中西北角左上角 上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
取
中ij最小0者对应的变量为换
入变量；
2、当迭代到运输问题的最优解时,如果 有某非基变量的检验数等于0,则说明该 运输问题有多重最优解；
3当运输问题某部分产地的产量和,与某部分销 地的销量和相等时,在迭代过程中间有可能有某 个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行 和一列,这时就出现了退化.为了使表上作业法 的迭代工作能顺利进行下去,退化时应在同时划 去的一行或一列中的某个格中填入0,表示这个 格中的变量是取值为0的基变量,使迭代过程中 基变量个数恰好为m+n-1个.
u 1 v1 c11 90
u u
1 2
v3 v2
c13 c 22
100 65
u 2 v 3 c 23 75
运筹学表上作业法
ui
u 01 u -1 2
3
7 v2 1 4 6 v9 2 10
1
5 3 v3 3 v4 10
u 3 -5
3.最优性检验
B1 A1 A2 3
(1)
B2 11
(2)
B3 3 4 2 8 10
B4 3
ui
0 -1
1
9
3
7 2 4 6 9 3 10
1
5 3 10
A3
vj
-5
ij=Cij-（Ui+Vj） 11=C11-（U1+V1）=3-(0+2)=1
12=C12-（U1+V2）=11-(0+9)=2
3.最优性检验
B1 A1 A2 A3
11=1
B2
12=2 22=1
B3 4
B4 3
24= -1
产量 7 4 9
1）设产地Ai对应的位势量为ui ，销地Bj对应的位势量为vj； 2）由ij=Cij-（Ui+Vj）,利用对基变量而言有ij=0，计算位 势Ui ， Vj ，即Cij-（Ui+Vj） = 0，令U1=0； 3）再由ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数ij
3.最优性检验
4.方案调整
闭回路调整法步骤： 1、入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那 么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少） 2、出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上， 选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量 作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基 变量都为正）
2
运输问题-初始基可行解的确定42页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹42、只有在来自群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
运输问题-初始基可行解的确定
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
试对给出运输问题初始基可行解的西北角法
3.3试对、最小元素法、和vogel法进行比较，分析给出的解之质量不同的原因。
3.7试判断表3-30和表3-31中给出的调运方案可否作为表上作业法迭代时的基可行解？为什么？表3-313.11表3-36示出一个运输问题及它的一个解，试问：(1) 表中给出的解是否为最优解？请用位势法进行检验。
C由1变为3，所给的解是否仍为最优解？若不是，请求出最优解。
(2) 若价值系数24(3) 若所有价值系数均增加1，最优解是否改变？为什么？(4) 若所有价值系数均乘以2，最优解是否改变？为什么？4.2 利用图解法解下列目标规划问题：(1) min {}+++-+1323211),2(,d P d d P d Pst.⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+++-+-+-+-3,2,10,,,40401502213322211121i d d x x d d x d d x d d x x i i (2) min {})5.1(,,),(4342312431---+++++d d P d P d P d d PSt.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++=-+++-+-+-+-+-4,3,2,10,,,1530100402144233122211121i d d x x d d x d d x d d x x d d x x i i4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：（1） min {})35(,,),(2343322111++--+-++d d P d P d P d d Pst.⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+++-+-+-+-3,2,10,,,1400325005800213322211121i d d x x d d x d d x d d x x i i (2) min {}+--+-+144332211),35(,,d P d d P d P d PSt.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++=-+++-+-+-+-+-4,3,2,10,,,457090802144233122211121i d d x x d d x d d x d d x x d d x x i i4.4对于目标规划问题min {})53(),35(,,3243234211++--+-++d d P d d P d P d PSt.⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-+=-+++-+-++-+-+-4,3,2,10,,,10457080214413322211121i d d x x d d d d d x d d x d d x x i i（1） 用单纯形法求问题的满意解；（2） 若目标函数变为min {}+++---++4432332211),53(),35(,d P d d P d d P d P则满意解有什么变化？（3） 分别对第二和第三优先级各目标权系数作灵敏度分析。
运输问题-初始基可行解的确定
产 量
12
3
11 16 0 0
9 10 1 1
68
22 1 2
14 6 48
3 3
销 地 产地
A1
A2
A3
销量
列1
罚
数2 3
B1
B2
4
12
2
10
8
5
14
8 14
2
5
2
2
B3 4
3
11
12 1 1 1
行罚数
B4
产 量
12
3
11 16 0 0 0
92
8 10 1 1 1
6 8 22 1 2 14 6 48
4
12
A1 8
8
4
11
16
②
A2
2
10
3
6
4
9 10
④
A3
8
5
11
6 14
8
x34
22
销量 8
14 6 12 8 1448①ຫໍສະໝຸດ ③⑤表 3-2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
4
12
4
11
A1 8
8
2
10
3
9
A2
6
4
A3
8
5
11
6
8
销量 8
14 6 12 8 14
产 量
16 ②
10
④
2214 ⑥
48
①
③
⑤
⑥
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）： x11 8, x12 8, x22 6, x23 4, x33 8, x34 14, 其余变量全等于零。 此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6).
4.2 表上作业法(一)：确定初始基可行解
表4-13
12
表4-11
表4-12
第三步：对表4-12中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小
运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。重复第
一、二步。直到给出初始解为止。用此法给出例1的初始解列于表
4-13。
表4-13
由以上可见：伏格尔法同最小元素法除在确定供求关系的原则上不 同外，其余步骤相同。
伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出的初始解更接近最优解
本例用伏格尔法给出的初始解就是最关注桃报：奉献教育（店铺）
8
证 若表中确定的第一个基变量为xi1j1它对应的系数列向量为:
Pi1 j1 ei1 em j1
因当给定xi1j1的值后，将划去第i1行或第j1列，即其后的系数列向量 中再不出现ei1或em+j1，因而不可能用解中的其他向量的线性组合表 示。 类似地给出第二个，…，第(m+n-1)个。这(m+n-1)个向量都不可能 用解中的其他向量的线性组合表示。故这(m+n-1)个向量是线性独 立的。
产销不平衡的运输问题及其求解方法
1
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质 是单纯形法。但具体计算和术语有所不同。可归纳为：
(1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表上用最小元素法或 伏格尔(Vogel)法给出m+n-1个数字，称为数字格。它们就是初始 基变量的取值。
(2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。
然后在未划去的元素中再找最小元素，再确定供应关系。 这样在产销平衡表上每填入一个数字，在运价表上就划去一行或一
列。表中共有m行n列，总共可划(m+n)条直线。但当表中只剩一 个元素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时，应在运价表上 同时划去一行和一列。 此时把单价表上所有元素都划去了，相应地在产销平衡表上填了 (m+n-1)个数字。即给出了(m+n-1)个基变量的值。 (2) 这(m+n-1)个基变量对应的系数列向量是线性独立的。
西北角法解题步骤
西北角法是一种求解线性规划问题的方法，其步骤如下：
1. 确定问题的目标函数和约束条件。
目标函数是我们希望最大化或最小化的函数，约束条件是限制我们的决策变量的取值范围的条件。
2. 找到问题的最优解。
最优解是指在满足约束条件的情况下，使目标函数达到最大值或最小值的决策变量的取值。
最优解可以通过求解线性规划问题的标准形式来找到。
3. 确定最优解的位置。
最优解通常位于问题的可行解区域的某个角落，即最优解的决策变量的取值可能是整数或有限小数。
因此，我们需要找到问题的最优解的位置，以便我们可以确定最优解的决策变量的取值。
4. 确定最优解的方向。
最优解的方向是指从问题的可行解区域的某个点出发，沿着最优解的方向移动到最优解的位置的方向。
最优解的方向可以通过计算决策变量的梯度向量来确定。
5. 确定最优解的位置。
一旦我们确定了最优解的方向，我们可以沿着最优解的方向移动到最优解的位置。
最优解的位置可以通过计算最优解所在的格子的决策变量的取值来确定。
6. 确定最优解的值。
一旦我们确定了最优解的位置，我们可以计算最优解所在的格子的决策变量的取值，从而确定最优解的值。
最优解的值是目标函数在最优解的位置上的函数值。
7. 检查最优解是否满足约束条件。
一旦我们确定了最优解的位置和值，我们需要检查最优解是否满足约束条件。
如果最优解不满足约束条件，则我们需要重新开始求解过程，直到找到一个满足约束条件的最优解为止。
10.表上作业法初始可行解的确定-优化[12页]
![10.表上作业法初始可行解的确定-优化[12页]](https://img.taocdn.com/s3/m/07c160faf18583d0486459e4.png)
《现代物流运筹学》
主讲教师：王东辉
西北角法
最小元素法
伏格尔法
01
02
03
初始方案的确定
A1 A2 A3
销量
B1 B2 3 11 19 74
36
B3 B4 3 10 28 10 5
56
产量 7 4 9
总产=总销
先给作业表中左上角运输格安排最大运量，然后划去该格所在的行或列， 重复进行，直到求出初始方案为止。
10
1
6
9
20 10
5
49 64 77
35
84
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3
B4 产量
5 53
10 4 4 9
31
6 19
64
20
10 7 5
77
35
84
只有5个有数格， 不是基本可行解吗？
感谢观看
《现代物流运筹学》
主讲教师：王东辉
步骤
首先从调运表中左上角点(1，1)开始，先选X11为基变量，并令X11 等于对应产量和销量中的最小值，即，给该调运格最大可能运输量；
第二步， 若a1- X11=0，则划去a1所在行，否则，划去bl，所在列； 第三在调运表余下表格中选取左上角上的点，重复上述步骤，直 到最后必选取Xmn为基变量，这时同时划去最后一行和最后列。
有何疑问？
B1 B2 B3 B4 产量
A1
34
7
A2
22
4
A3
3
6
9
销量 3 6
5
6
34
Z
cij xij 3 3 11 4 9 2 2 2 103 5 6 108
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《运筹学》第三版（清华大学出版社）P79例1，表上作业法，运用西北角法确定初始基可行解。
西北角法是从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如此进行下去，直至得到一个基本可行解的方法。
西北角法的例子：P79例1
从表1中可知，总的产量=总的销量，故产销是平衡的。
第一步：列出运价表和调运物资平衡表。
运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的运价表和供需平衡表（简称平衡表），如表1，2所示。
第二步：编制初始调运方案。
首先在表2的西北角方格（即左上角方格，对应变量x11），尽可能取最大值：
x
=min{3,7}=3
11
将数值3填入该方格(见表3)。
由此可见x21,x31必须为0，即第一列其他各方格都不能取非零值，划去第一列。
在剩下的方格中，找出其西北角方格x12，x
=min{6,7-3}=4
12
将4填入它所对应方格，第一行饱和，划去该行。
再找西北角方格x22，
x
=min{6-4,4}=2
22
将2填入x22所对应方格，于是第二列饱和，划去该列。
继续寻找西北方格为x23，
x
=min{5,4-2}=2
23
将2填入x23所对应方格，第二行饱和，划去该行。
剩下方格的西北角方格为x33，
x
3=min{5-2,9}=3
3
将3填入x33所对应方格，第三列饱和，划去该列。
最后剩下x34方格，取x34 = 6。
这样我们就找到了m＋n-1＝3＋5-1＝7个基变量，它们为：x11= 3,x12= 4,x22 = 2,x23 = 2,x33 = 3,x34 = 6。
显然它们用折线连接后不形成闭回路。
这就是西北角法所找初始基可行解，所对应的目标值为：
2×200＋1×250＋3×150＋1×150＋3×250＋3×300＋4×200＝4000
我们找到的初始基可行解可通过各行方格中数值之和是否等于产量，各列方格中数值之和是否等于销量来简单验证。
利用西北角法找初始基可行解简单可行，但也存在问题。
例如在表3中可见c
= 4，单价高于该行其他各方格，最简单想法是单价小的情况下多运些货物，35
这样总运费会更小些，最小元素法就改进了西北角法的缺点。