三角函数一轮复习教案

第三章 三角函数知识网络：第一节 角的概念与任意角的三角函数考点梳理：1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad ，则α＝lr. (3)角度与弧度的换算①n °＝n π180rad ；②α rad ＝(180απ)°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝r α，扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2α.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4．单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆． (2)三角函数线．(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 学情自测：1．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是()A ．2B.π3C.π6D.2π32．(2012·高考)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为()A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．变式训练1：若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0,2π)终边与角θ3的终边相同的角为________．例2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．变式训练2：已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .例3（三角函数的定义）(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于()A ．－114B.114C ．－4D ．4(2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．变式训练3：设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求4sin α－3tan α的值．小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点． 2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧． 三点注意1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．课后作业(十六) 角的概念与任意角的三角函数一、选择题图3－1－21．(2013·模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 13．(2013·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是()A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称4．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，且sin α＞0，则cos α和tan α的值分别为()A.55，－2 B ．－55，－12C ．－255，－2D ．－55，－25．(2013·模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝()A.43B.34 C ．－34 D ．－43 6．已知点P (sin3π4，cos 34π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为() A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4二、填空题7．(2013·潍坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________． 8．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.9．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．三、解答题10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；(2)求AB 所在弓形的面积．12．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式考点梳理：1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．2．诱导公式学情自测：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝()A ．－1213B.1213C.512D ．±12132．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π33．sin 585°的值为() A ．－22 B.22 C ．－32 D.324．若cos α＝－35且α∈(π，3π2)，则tan α＝()A.34B.43 C ．－34 D ．－435．(2012·高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝()A ．－1B ．－22 C.22D ．1 例1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013·潍坊模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是()A.25B ．－25C ．－2D ．2 (2)(2013·模拟)已知α∈(π，3π2)，tan α＝2，则cos α＝________. 【答案】 (1)A(2)－55, 变式训练1：(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝()A ．－2425B ．－1225C.1225D.2425例2（诱导公式的应用）(1)已知tan α＝2，sin α＋cos α＜0，则sin(2π－α)·sin(π＋α)·cos(π＋α)sin(3π－α)·cos(π＋α)＝________.(2)已知α为第三象限角，f (α)＝sin(α－π2)·cos(3π2＋α)·tan(π－α)tan(－α－π)·sin(－α－π)，①化简f (α)；②若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．变式训练2：(1)(2013·模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于()A ．－32B.32C.3－12D.3＋12(2)(2013·模拟)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)， 若f (2 012)＝5，则f (2 013)＝()A ．3B ．5C ．1D ．不能确定例3（sin α±cos α与sin α·cos α的关系） (2013·模拟)已知－π＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值．变式训练3：已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求tan x 的值．小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 两个防1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．(2013·模拟)记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝() A.1－k2kB ．－1－k2kC.k1－k2D ．－k1－k22．(2013·模拟)若cos(π2＋θ)＝32，且|θ|＜π2，则tan θ＝()A ．－ 3 B.33 C ．－33D. 33．(2013·模拟)已知α∈(－π2，0)，sin(－α－3π2)＝55则sin(－π－α)＝()A.55 B.255 C ．－55 D ．－2554．(2013·模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝() A ．－43 B.54 C ．－34 D.455．(2013·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为()A ．－81727 B.81727 C.82027 D ．－820276．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan 2(2π－α)cos(π2－α)cos(π2＋α)sin(π＋α)＝()A.35B.53C.45D.54 二、填空题7．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．8．(2013·模拟)已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________.9．已知sin(x ＋π6)＝14，则sin(7π6＋x )＋cos 2(5π6－x )＝________.【解析】 原式＝－sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x )＝－14＋(1－142)＝1116.三、解答题10．已知函数f (x )＝1－sin(x －3π2)＋cos(x ＋π2)＋tan 34πcos x .(1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)设tan α＝－43，求f (α)的值．11．已知tan(α＋87π)＝a .求证：sin(157π＋α)＋3cos(α－137π)sin(207π－α)－cos(α＋227π)＝a ＋3a ＋1.．12．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个角．第三节三角函数的图象与性质考点梳理：1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域值域单调性最大值和最小值奇偶性对称性对称中心对称轴最小正周期学情自测：1．函数y＝tan 3x的定义域为()A ．{x |x ≠32π＋3k π，k ∈Z }B ．{x |x ≠π6＋k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠－π6＋k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z }2．函数f (x )＝2cos(x ＋5π2)是()A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3．(2012·高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是()A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π24．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)．5．函数y ＝2－3cos(x ＋π4)的最大值为________，此时x ＝________.典例探究：例1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012·高考)函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为()A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．\变式训练1：(1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)当x ∈[π6，7π6]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．例2（三角函数的单调性） (2012·高考)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．变式训练2:(2013·模拟)已知函数y ＝sin(π3－2x )，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．.例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点(π3，0)成中心对称图形；④在区间[－π6，0)上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．【答案】 ①②⇒③④或①③⇒②④, 变式训练3：已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列说确的是()A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 小结：两条性质1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．课后作业(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的函数是()A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x －π6)C ．y ＝2sin(x 2＋π3) D ．y ＝2sin(2x －π3)2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是()A ．{x |x ≠π4}B ．{x |x ≠－π4}C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为()A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]4．(2013·日照质检)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值为()A.5π12B.11π6C.11π12D ．以上都不对 5．(2013·模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则()A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 二、填空题7．(2013·模拟)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________.8．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值围是________．9．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，(1)求f (π4)的值；(2)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及相应的x 值．.11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8，(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．12．(2013·潍坊模拟)已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a ·b＋1，其中A ＞0，ω＞0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x ＝π12时，f (x )取得最大值3.(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数应用考点梳理：1．2.3.由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象思考：1．五点作法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，首先确定哪些数据？【提示】 先确定ωx ＋φ，即先使ωx ＋φ等于0，π2，π，3π2，2π，然后求出x 的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？学情自测：1．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为()A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π32．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为() A ．1B ．4 C.14D ．23．将函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动π10个单位，得到图象的函数解析式为()A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π20)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图3－4－1所示，则()图3－4－1A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．(2012·高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象() A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位典例探究：例1（函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换）(1)(2012·高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()(2)(2013·模拟)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是() A.23B.43C.32D ．3 变式训练1：(1)(2013·模拟)要得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象()A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位(2)(2013·质检)将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为()A ．y ＝sin(12x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin 12xD ．y ＝sin(12x －π6)例2（作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象） 已知函数f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x .图3－4－2(1)将f (x )化为y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f (x )在[0，π]上的图象．变式训练2：已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)．(1)求函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 【例3（求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式）(1)(2013·模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图3－4－3所示，则f (0)的值是________．图3－4－3(2)(2013·模拟)已知函数f (x )＝A sin(π6x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图3－4－4所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R 的坐标为(2,0)．若∠PRQ ＝2π3，则y ＝f (x )的最大值及φ的值分别是()图3－4－4A ．23，π6 B.3，π3 C.3，π6 D ．23，π3变式训练3：如图3－4－5是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()图3－4－5A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6例4（三角函数模型的简单应用）如图3－4－6为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？图3－4－6变式训练4：以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．小结：一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．课后作业(十九) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的应用 一、选择题1．(2013·模拟)要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点()A ．向右平移π6个长度单位B ．向左平移π6个长度单位C ．向右平移π3个长度单位D ．向左平移π3个长度单位图3－4－72．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图3－4－7所示，那么f (0)＝() A ．－12 B ．－1 C ．－32D ．－ 33．(2013·威海质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，|φ|＜π2)的图象如图3－4－8所示，为了得到函数g (x )＝cos 2x 的图象，则只要将函数f (x )的图象()图3－4－8A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度4．(2013·模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图3－4－9所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为()图3－4－9A ．－32 B ．－62C. 3 D ．－ 3 5．(2013·模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)(ω＞0)与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)(|φ|＜π2)的对称轴完全相同，则φ的值为()A.π4 B ．－π4 C.π2 D ．－π2图3－4－106．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图3－4－10，则f (π24)＝()A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3 二、填空题7．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)＝________.8．(2013·荆州模拟)已知f (x )＝cos(2x ＋φ)，其中φ∈[0,2π)，若f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则φ＝________. 9．(2013·模拟)若将函数y ＝sin(ωx ＋5π6)(ω＞0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin(ωx ＋π4)的图象重合，则ω的最小值为________．三、解答题10．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1.(1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样变化得到．11．(2013·模拟)设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜0)的最小正周期为π，且f (π4)＝32.图3－4－11(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )＞22，求x 的取值围．12．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f (π8)的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．考点梳理：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式2．形如a sin x ＋b cos x 的式子化简a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2)．思考：若sin α＋cos β＝m ，cos α＋sin β＝n ，你能用m 、n 表示sin(α＋β)吗？【提示】 由sin α＋cos β＝m 得sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝m 2，由cos α＋sin β＝n 得cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝n 2，∴2＋2sin(α＋β)＝m 2＋n 2，∴sin(α＋β)＝12(m 2＋n 2－2)．学情自测：1． sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是()A.12B.32 C ．－12 D ．－322．cos 28°cos 73°＋cos 62°cos 17°的值是() A ．－12 B.33 C.22 D.323．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝() A.18 B ．－18 C.47 D ．－474．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝()A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.2105．(2012·高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝()A ．－34 B.34 C ．－43 D.43典例探究：例1（三角函数式的化简） 化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ(0＜θ＜π)．变式训练1：化简：(1)2＋2cos 8＋21－sin 8；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(x ＋π4).例2（三角函数的给值求值）(1)(2012·高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．(2)(2013·模拟)已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)＝________.【答案】 (1)17250(2)－45变式训练2：已知0＜β＜π2＜α＜3π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．例3（三角函数的给值求角）已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1) 求sin α的值；(2)求β的值．变式训练3：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，试求角β的值．小结：一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的围是防止增解的有效措施． 两个技巧1.拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)．2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等．三种变化1.变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等． 3．变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．课后作业(二十) 和角公式一、选择题1．(2013·模拟)3－sin 70°2－cos 210°＝() A.12 B.22 C ．2 D.322．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于() A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4 3．(2013·模拟)设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有()A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b4．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan(π4＋α)等于()A ．7B ．－7 C.17 D ．－175．(2013·模拟)已知α为锐角，cos α＝55，则tan(π4＋2α)＝() A ．－3 B ．－17 C ．－43D ．－76．(2013·模拟)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝() A.33 B ．－33 C.539 D ．－69二、填空题7．(2013·模拟)已知tan(x ＋π4)＝2，则tan xtan 2x 的值为________．＝1－tan 2x 2＝12(1－19)＝49.8．已知sin(θ＋π3)＝35，θ∈(π6，23π)，则cos θ＝________.9．(2013·北四市模拟)若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝________.【三、解答题10．已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．11．(2013·黄冈模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋2π3)的值．12．已知函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.第六节 倍角公式与半角公式考点梳理：1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2，tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.2．用sin α，cos α表示tan α2tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a)．4．“1”的妙用sin 2α＋cos 2α＝1，cos 2α＋2sin 2α＝1,1＝2cos 2α－cos 2α，sin π2＝cos 0＝tan π4＝1.tan α2＝sin α1＋cos α的推导过程吗？学情自测：1．若sin 76°＝m ，用含m 的式子表示cos 7°为()A.1＋m 2B.1－m 2C ．±1＋m2D. 1＋m22．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是()A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 3．化简2＋cos 2－sin 21的结果是()A ．－cos 1B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1 4．(2012·高考)若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝()A.35B.45C.74D.345．(2013·模拟)函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________．典例探究：例1（三角函数式的化简）化简：(1tanα2－tan α2)·1－cos 2αsin 2α.变式训练1： 已知函数f (x )＝1－x1＋x .如果α∈(π2，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为________．例2（三角函数式的求值）(1)(2012·高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝()A ．－32B ．－12C.12D.32(2)(2013·模拟)已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos 2αsin(π4＋α)＝________.【答案】 (1)C(2)1013变式训练2:已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos(π4＋x )·sin x的值．例3:（三角变换的简单应用）(2012·高考)设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈[0，π2]时，g (x )＝12－f (x )，求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．g (x )＝错误!,变式训练3：(2012·高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．小结：一个转化把函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，是求函数周期、最值、值域、单调区间等的关键．三种形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明． (1)三角函数的化简常用方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两边角、函数名、结构之间的关系化异为同．第七节 正弦定理和余弦定理学习目标：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 考点梳理：思考：1．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的什么条件？“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的什么条件？2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A 为锐角、直角、钝角？ 学情自测：1．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝()A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 22．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝() A.63 B.223 C ．－63 D ．－2233．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有() A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定4．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________. 5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 典例探究：例1（利用正、余弦定理解三角形）(2013·模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .变式训练1：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．例2（判定三角形的形状）(2013·模拟)已知△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n＝(cos 2A 2，cos 2A )，且m ·n ＝72.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．变式训练2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．例3（与三角形面积有关的问题）)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .变式训练3：(2012·高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．小结：一条规律在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 一点注意已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解． 两种途径判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.课后作业(二十二) 正弦定理和余弦定理一、选择题1．(2013·模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝()A ．－12 B.12C ．－1D ．12．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值围是() A ．(0，π6] B ．[π6，π] C ．(0，π3]D ．[π3，π)3．(2013·模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosA2＝bcosB2，c 2＝a 2＋b 2－ab ，则△ABC 的形状是()A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于() A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋3945．(2013·模拟)已知△ABC 的面积为32，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则∠ACB ＝() A ．30° B ．60° C ．90° D ．150°6．(2012·高考)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为()A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 二、填空题7．(2013·潍坊模拟)在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a ＝2b sinA ，ac ＝8，则△ABC 的面积是________．8．(2012·高考)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.9．(2013·模拟)△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－c 2＝b ，且b ＝3c cos A ，则b ＝________.三、解答题10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．．11．(2012·高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .12．(2013·模拟)已知f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ，且周期T ＝π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，f (A )＝1，c ＝2，S △ABC ＝32，求a 的值．第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例考点梳理：1．仰角和俯角 2．方位角和方向角 学情自测：1．如图3－8－3所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为()A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km图3－8－32．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为()A.1762海里/时 B ．346海里/时 C.1722海里/时 D ．342海里/时3．(2011·高考)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．4．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________米．图3－8－45．(2013·模拟)如图3－8－4，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m．则这条河的宽度为________m. 典例探究：例1（测量距离问题）(2013·调研)如图3－8－5所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？图3－8－5变式训练1：某单位在地震救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 000 m 的C、D两地(A、B、C、D在同一个平面上)，测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图3－8－6)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)图3－8－6例2（测量高度问题）(2013·质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度(声音的传播速度为340米/秒)变式训练2：某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶A仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，求该塔的高度．例3（测量角度问题）在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船；在A 处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？6小时．10变式训练3：如图3－8－8所示，位于A处的信息中心获悉：在其正向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．图3－8－8.小结：一个程序解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从。