三角函数一轮复习教案

第三章 三角函数

知识网络：

第一节 角的概念与任意角的三角函数

考点梳理：

1．角的有关概念

(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数

在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad ，则α＝l

r

. (3)角度与弧度的换算①n °＝n π180rad ；②α rad ＝(180α

π)°.

(4)弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝r α，扇形的面积为S ＝12lr ＝

1

2

r 2α.

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α

＝x ，tan α＝y

x

.

(2)三角函数在各象限的符号

一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4．单位圆与三角函数线

(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆． (2)三角函数线．

(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 学情自测：

1．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π

3

)，则α弧度数是()

A ．2B.π3C.π6D.2π

3

2．(2012·高考)下列函数中，与函数y ＝13

x

定义域相同的函数为()

A ．y ＝1sin x

B ．y ＝ln x

x

C ．y ＝x e x

D ．y ＝sin x x

3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是()

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．

5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25

5，则y ＝________.

典例探究：

例1（角的集合表示）

(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求α

2所在的象限．

变式训练1：

若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0,2π)终边与角θ

3的终边相同的角为________．

例2（弧度制的应用）

已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .

(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .

(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

(3)若α＝π

3

，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．

变式训练2：

已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，

(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .

例3（三角函数的定义）

(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－4

5

，则m 等于()

A ．－114B.11

4

C ．－4

D ．4

(2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

变式训练3：

设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝

2

4

x ，求4sin α－3tan α的值．

小结：

一条规律

三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 两个技巧

1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点． 2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧． 三点注意

1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．

2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．

课后作业(十六) 角的概念与任意角的三角函数

一、选择题

图3－1－2

1．(2013·模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()

A ．(cos θ，sin θ)

B ．(－cos θ，sin θ)

C ．(sin θ，cos θ)

D ．(－sin θ，cos θ)

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()

A ．2

B ．sin 2 C.2

sin 1

D ．2sin 1

3．(2013·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是()

A ．重合

B ．关于原点对称

C ．关于x 轴对称

D ．关于y 轴对称

4．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，且sin α＞0，则cos α和tan α的值分别为()

A.

55，－2 B ．－55，－12

C ．－255，－2

D ．－55

，－2

5．(2013·模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1

5x ，则tan α

＝()

A.43

B.34 C ．－34 D ．－43 6．已知点P (sin

3π4，cos 3

4

π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为() A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π

4

二、填空题

7．(2013·潍坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________． 8．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|

cos α＝________.

9．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2

＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的

坐标为________．

三、解答题

10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．