八上培优6 等边三角形与全等三角形

八上培优6 等边三角形与全等三角形

20190920

一．选择题（共6小题）

1．如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于M，连BM．若∠ABM=40°，则∠APB=（）

A．40°B．45°C．50°D．60°

2．如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（）

A．B．C．D．不能确定

3．如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，若∠AEB=70°，则∠EBD的度数是（）

A．115°B．120°C．125°D．130°

4．如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=65°，则∠AEB的度

数是（）

A．115°B．120°C．125°D．130°

5．如图，OE是等边△AOB的中线，OB=4，C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边△ACD，连接ED，下列说法正确的是（）

A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1

C．ED有最大值D．ED没有最大值也没有最小值

6．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（）

A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°

二．填空题（共3小题）

7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC于点E、M、F，交BC的延长线于点G，给出下列四个等式：①∠1=（∠2+∠3）；

②∠1=（∠3﹣∠2）；③∠4=（∠3﹣∠2）；④∠4=∠1．其中，正确的是（填序号）．

8．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM 的周长最小值为cm．

9．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．当t=秒时，△DFE与△DMG全等．

三．解答题（共14小题）

10．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向B点运动，动点G以1cm/s 的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．

（1）求：AM=cm，=；

=2S△DGC；

（2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S

△AED

（3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；

（4）若BD=8，则CD=cm．

11．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．

（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；

（2）如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC．

12．已知，点D、E分别是等边△ABC的边BC、AB上的点，∠ADE=60°．（1）如图1，当点D是BC的中点时，求证：AE=3BE；

（2）如图2，点M在AC上，满足∠ADM=60°，求证：BE=CM；

（3）如图3，作CF∥AB交ED的延长线于点F，探究三条线段BE、CF、CD 之间的数量关系，并给出证明．

13．已知△ABC中，AC=BC，

（1）如图1，分别过A、B做AM⊥BC，BN⊥AC，垂足分别为点M、N，AM 与BN相交于点P，求证：AP=BP；

（2）如图2，分别在AC的右侧、BC的左侧做等边△ACE和等边△BCD，AE 与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G，求证：点G是AB的中点；（3）在（2）的条件中，当∠ACB的大小发生变化时，设直线CD与直线AE相交于H点，当∠ACB等于度时，使得AH=CD．

14．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

15．如图，在等腰三角形△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．

（1）如图①，若BC=BD，求证：CD=DE；

（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=1，求DE﹣BE 的值．

16．在边长为4的等边△ABC中．

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=18°，求∠AQB的度数；

（2）点P、Q在BC边上的两个动点（不与点B、C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM，依题意将图2补全，并求证：PA=PM．

（3）在（2）中，当AM的值最小时，直接写出CM的长．

17．在等边△ABC中，

（1）点E在AB上，点D在CB的延长线上，∠EDC=∠ECD，如图1，试确定线段AE与DB之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，点E在AB上，AE=3BE，连接CE，作∠BCM=∠AEC，CM=CE，连接AM交BC于P点，求BP：CP的值；

（3）如图3，△ABC的边长为6，点E在AB上，点D在BC上，以DE为边作等边△DEF，若点F在△ABC外，BE=x（3＜x＜6），连接CF，且有CF⊥BC，直接写出CD的长，（用含有x的式子表示）