2021年广东省中考数学解答题压轴题练习及答案 (21)

2021年广东省中考数学解答题压轴题练习
1．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是CH＝AB；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1＝∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE＝90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4＝∠HBC，即可判断出CH＝BC，最后根据AB＝BC，判断出CH＝AB即可．
（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1＝∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE＝90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4＝∠HBC，即可判断出CH＝BC，最后根据AB＝BC，判断出CH＝AB即可．
（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK ＝DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK＝CH＝AB；最后根据CK＝AC+AK＝AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BE，，
在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∵点E是DC的中点，DE＝DF，
∴点F是AD的中点，
∴AF＝CE，
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1＝∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE＝90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠4＝90°，∠1+∠HBC＝90°，
∴∠4＝∠HBC，
∴CH＝BC，
又∵AB＝BC，
∴CH＝AB．
故答案为：CH＝AB．
（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH＝AB仍然成立．
如图2，连接BE，，
在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∵AD＝CD，DE＝DF，
∴AF＝CE，
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1＝∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE＝90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠4＝90°，∠1+∠HBC＝90°，
∴∠4＝∠HBC，
∴CH＝BC，
又∵AB＝BC，
∴CH＝AB．
（3）如图3，，
∵CK≤AC+AK，
∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，
∵∠KDF+∠ADH＝90°，∠HDE+∠ADH＝90°，
∴∠KDF＝∠HDE，
∵∠DEH+∠DFH＝360°﹣∠ADC﹣∠EHF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠DFK+∠DFH＝180°，
∴∠DFK＝∠DEH，
在△DFK和△DEH中，
∴△DFK≌△DEH，
∴DK＝DH，
在△DAK和△DCH中，
∴△DAK≌△DCH，
∴AK＝CH
又∵CH＝AB，
∴AK＝CH＝AB，
∵AB＝3，
∴AK＝3，AC＝3，
∴CK＝AC+AK＝AC+AB＝，即线段CK长的最大值是．。