三角恒等变换综合测试题

三角恒等变换综合测试题

（时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π

12=（ ） A ．－

32 B ．－12 C ．1

2

D ．32 2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为（ ）

A ．－32

B ．－12

C ．1

2

D ．

32

3．tan15°＋1

tan 15°

=（ ）

A ．2

B ．2＋ 3

C ．4

D ．4

3

3

4．在△ABC 中，tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C =（ ） A ．45° B ．135° C ．150° D ．30°

5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是（ ）

A ．43

B ．34

C ．53

D ．12

6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π

6－x 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝π D ．x ＝3π

2

7．函数y ＝2sin x （sin x ＋cos x ）的最大值为（ ） A ．2＋1 B ．2－1 C ． 2 D ．2 8．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为（ ）

A ． 2

B ．－22

C ．2

D ．2或－2

2

9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π

3＋2α的值是（ ） A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79

10．已知sin （45°＋α）＝5

5

，则sin2α=（ ）

A ．－45

B ．－35

C ．35

D ．45

11．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是（ ）

A ．向左平移π2个单位

B ．向右平移π

4个单位

C ．向右平移π2个单位

D ．向左平移π

4

个单位

12．已知cos （α－β）＝35，sin β＝－5

13

，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α=（ ） A ．3365 B ．6365 C ．－3365 D ．－63

65

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13．方程sin x ＋3cos x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 14．3tan 15°＋13－tan 15°

的值是________．

15．已知α是第三象限角且sin α＝－2425，则tan α

2＝________．

16．设α为第四象限的角，若

5

13

sin 3sin =αα，则α2tan ＝________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π

2．求：tan （α＋β）及α＋β的值．

18．（12分）求值：1sin 10°－3

sin 80°

．

19．（12分）在△ABC 中，sin （A －B ）＝15，sin C ＝3

5，求证：tan A ＝2tan B ．

20．（12分）求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值与最小值． 21．（12分）已知函数f （x ）＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g （x ）＝12sin2x －14

． （1）求函数f （x ）的最小正周期；

（2）求函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的最大值，并求使h （x ）取得最大值的x 的集合． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2sin 2⎝⎛⎭⎫

π4＋x －3cos2x ． （1）求f （x ）的周期和单调递增区间；

（2）若关于x 的方程f （x ）－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．

第三章 三角恒等变换综合测试题答案

一、选择题

1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．C 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．A 提示：

1．⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32

． 2．原式＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin30°＝1

2

．

3．原式＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝1sin 15°cos 15°＝2

sin 30°

＝4．

4．由题意得tan A ＋tan B ＝－1＋tan A tan B ，所以tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B

1－tan A tan B ＝－1，所以A ＋B ＝135°，C ＝45°．

5．因为0<θ<π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，34π，所以2

2

⎫π

2＋x ＝cos x ． 7．y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

4＋1，所以y max ＝2＋1． 8．因为π<2θ<2π，所以π2<θ<π，则tan θ<0，tan2θ＝2tan θ

1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2（舍去），所以tan θ＝－22

．

9．cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝79

． 10．sin （α＋45°）＝

22（sin α＋cos α）·＝55，所以sin α＋cos α＝105，两端平方得1＋sin2α＝2

5

，所以sin2α＝