11-9 斯托克斯公式 环流量与旋度
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第九讲 斯托克斯公式 环流量与旋度
➢对弧长的空间曲线积分
空间曲线弧的质量 M f ( x, y, z)ds
n
f (x,
y, z)ds
lim
0
i 1
f (i ,i , i )si
Γ：x (t), y (t), z (t), ( t )
f (x, y, z)ds f (t), (t),(t) 2(t) 2(t) 2(t)dt
r
r
r
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
z
r
P,Q,R均连续,Γ是一分段光滑有向闭曲线,
r
是Γ在点(x,y,z)处的单位切向量,
A
o
y
积分
Ads
A
d
r
Pdx
Qdy
Rdz
x
称为向量场 A沿有向闭曲线Γ的环流量.
➢物理意义
Ads
A
1y
所得的截痕,若从ox轴的正向看去,
x
取逆时针方向.
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
➢定义 设有向量场
r
➢对坐标的空间曲线积分
变力沿空间曲线弧作功
W
r F
drr
Pdx
Qdy
Rdz
Γ：x (t), y (t), z (t), (t : )
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
P
(t
),
(t
),(t
)
(t )
Q (t
),
(t ), (t
)
(t )
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
注 (2) 在斯托克斯公式中,若Σ为xoy面上的闭区域D,
: z 0 dz 0 dydz 0 dzdx 0
斯托克斯公式
特推 例广
Q x
P y
dxdy
Pdx
Qdy
格林公式
R y
Q z
dydz
P z
d
r
力场: 力场沿有向闭曲线Γ作的功 流速场: 沿有向闭曲线Γ流动的环流
磁场: 安培环路定律
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
➢环量面密度
lim Q S0 S
nr
S M
➢环量面密度
nr
lim Q S0 S
环量面密度
M
环量对面积的变化率
➢环量面密度的计算公式
被三个坐标面所截成的三角形
的整个边界,它的正向与这个
z
1
n
o
1
1y
x
三角形上侧的法向量之间符合右手规则
例2 计算 ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz, z
其中Γ是用平面
x y z 3 截立方体
1
2
(x, y, z) | 0 x 1,0 y 1,0 z 1的表面 1
Γ)具有一阶连续偏导数,则有
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
注 (1) 为便于记忆,斯托克斯公式可记为:
dydz dzdx dxdy cos cos cos
x
y
z
Σ
x
y
dS z
PQ R
PQR
Pdx Qdy Rdz
P y
r
➢旋度定义
i
M
rr jk
r rotA
R y
Q z
,
P z
R x
,
Q x
P y
x
y
z
PQR
注 旋度是一个向量
向量场的旋度
方向: 使环量面密度取得最大值的方向 大小: 环量面密度的最大值
➢旋度名称的由来
r (0, 0,)
rr ( x, y, z) rr ij
vr r rr 0 0
r k
( y, x, 0)
z r
vr
rr M (x, y, z)
o
y
xyz
x
r rr
i jk
rotvr (0, 0, 2) 2r
x y z
y x 0
线速度的旋度是旋转角速度的2倍
第二类(空间)
注 (4) 斯托克斯公式沟通了曲面积分与曲线积分的联系.
cos cos cos
Σ
x
y
z
dS Pdx Qdy Rdz
Γ
PQR
曲面积分
曲线积分
(5)当Σ为平面时, nr 为常向量,使用斯托克斯公式尤为方便.
例1 计算 zdx xdy ydz, 其中Γ为平面 x y z 1
cos
Pdx Qdy Rdz
S x
lim Q lim
P lim
S S 0
S 0
S
S 0
cos
y Q
S
cos
dS z R
cos cos cos
lim
S 0 x
y
z
P
Q
R M
R y
Q z
cos
P z
R x
cosBiblioteka Q xP ycos
nr
rot当Ar nnrr为rorrotoArttArAr时co,环sRy(r量ot面ArQ,z密nr,)度Pz取得Rx最,大Qx值
R (t ),
(t
),(t
)(t
)dt
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
➢定理
设Γ为分片光滑的空间有向闭曲线,Σ是以Γ为边界的分 片光滑的有向曲面,Γ的正向与Σ的侧符合右手规则,若
函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)与R(x,y,z)在曲面Σ 上(连同边界
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
注 (3) 积分学中的四个基本公式
原函数增量
牛 莱 公 式
计算公式 定积分
第一类(平面)
曲 第二类(平面)
线 积
推特 广例
分 第一类(空间)
格林公式二重积分 计算公式
推 特 三重积分 高斯公式
广例
第一类 第二类
曲 面 积 分
斯托克斯公式
➢对弧长的空间曲线积分
空间曲线弧的质量 M f ( x, y, z)ds
n
f (x,
y, z)ds
lim
0
i 1
f (i ,i , i )si
Γ：x (t), y (t), z (t), ( t )
f (x, y, z)ds f (t), (t),(t) 2(t) 2(t) 2(t)dt
r
r
r
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
z
r
P,Q,R均连续,Γ是一分段光滑有向闭曲线,
r
是Γ在点(x,y,z)处的单位切向量,
A
o
y
积分
Ads
A
d
r
Pdx
Qdy
Rdz
x
称为向量场 A沿有向闭曲线Γ的环流量.
➢物理意义
Ads
A
1y
所得的截痕,若从ox轴的正向看去,
x
取逆时针方向.
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
➢定义 设有向量场
r
➢对坐标的空间曲线积分
变力沿空间曲线弧作功
W
r F
drr
Pdx
Qdy
Rdz
Γ：x (t), y (t), z (t), (t : )
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
P
(t
),
(t
),(t
)
(t )
Q (t
),
(t ), (t
)
(t )
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
注 (2) 在斯托克斯公式中,若Σ为xoy面上的闭区域D,
: z 0 dz 0 dydz 0 dzdx 0
斯托克斯公式
特推 例广
Q x
P y
dxdy
Pdx
Qdy
格林公式
R y
Q z
dydz
P z
d
r
力场: 力场沿有向闭曲线Γ作的功 流速场: 沿有向闭曲线Γ流动的环流
磁场: 安培环路定律
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
➢环量面密度
lim Q S0 S
nr
S M
➢环量面密度
nr
lim Q S0 S
环量面密度
M
环量对面积的变化率
➢环量面密度的计算公式
被三个坐标面所截成的三角形
的整个边界,它的正向与这个
z
1
n
o
1
1y
x
三角形上侧的法向量之间符合右手规则
例2 计算 ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz, z
其中Γ是用平面
x y z 3 截立方体
1
2
(x, y, z) | 0 x 1,0 y 1,0 z 1的表面 1
Γ)具有一阶连续偏导数,则有
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
注 (1) 为便于记忆,斯托克斯公式可记为:
dydz dzdx dxdy cos cos cos
x
y
z
Σ
x
y
dS z
PQ R
PQR
Pdx Qdy Rdz
P y
r
➢旋度定义
i
M
rr jk
r rotA
R y
Q z
,
P z
R x
,
Q x
P y
x
y
z
PQR
注 旋度是一个向量
向量场的旋度
方向: 使环量面密度取得最大值的方向 大小: 环量面密度的最大值
➢旋度名称的由来
r (0, 0,)
rr ( x, y, z) rr ij
vr r rr 0 0
r k
( y, x, 0)
z r
vr
rr M (x, y, z)
o
y
xyz
x
r rr
i jk
rotvr (0, 0, 2) 2r
x y z
y x 0
线速度的旋度是旋转角速度的2倍
第二类(空间)
注 (4) 斯托克斯公式沟通了曲面积分与曲线积分的联系.
cos cos cos
Σ
x
y
z
dS Pdx Qdy Rdz
Γ
PQR
曲面积分
曲线积分
(5)当Σ为平面时, nr 为常向量,使用斯托克斯公式尤为方便.
例1 计算 zdx xdy ydz, 其中Γ为平面 x y z 1
cos
Pdx Qdy Rdz
S x
lim Q lim
P lim
S S 0
S 0
S
S 0
cos
y Q
S
cos
dS z R
cos cos cos
lim
S 0 x
y
z
P
Q
R M
R y
Q z
cos
P z
R x
cosBiblioteka Q xP ycos
nr
rot当Ar nnrr为rorrotoArttArAr时co,环sRy(r量ot面ArQ,z密nr,)度Pz取得Rx最,大Qx值
R (t ),
(t
),(t
)(t
)dt
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
➢定理
设Γ为分片光滑的空间有向闭曲线,Σ是以Γ为边界的分 片光滑的有向曲面,Γ的正向与Σ的侧符合右手规则,若
函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)与R(x,y,z)在曲面Σ 上(连同边界
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
注 (3) 积分学中的四个基本公式
原函数增量
牛 莱 公 式
计算公式 定积分
第一类(平面)
曲 第二类(平面)
线 积
推特 广例
分 第一类(空间)
格林公式二重积分 计算公式
推 特 三重积分 高斯公式
广例
第一类 第二类
曲 面 积 分
斯托克斯公式