专题五 规范答题5 概率与统计
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
概率与统计知识点总结
概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛硬币，正面朝上的概率是 05，意思是在大量重复抛硬币的实验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。
随机事件，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷骰子得到的点数就是随机事件。
必然事件，就是在一定条件下必然会发生的事件。
比如太阳从东方升起，这就是必然事件。
不可能事件，就是在一定条件下不可能发生的事件。
比如在地球上，水往高处流就是不可能事件。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。
二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
计算古典概型中事件 A 的概率公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），红球的个数是 5，所以摸到红球的概率就是 5/8。
三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。
比如在一个时间段内等可能地到达某一地点，或者在一个区域内等可能地取点。
几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
举个例子，在区间0, 10中随机取一个数，这个数小于 5 的概率就是 5/10 ＝ 05。
四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。
计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
高考数学中的概率与统计题详解
高考数学中的概率与统计题详解概率与统计是高考数学中的重要内容之一，涉及概率、统计两个部分。
概率是研究随机事件发生的可能性，统计则是根据观察到的现象，对总体进行推断。
在高考中，概率与统计题往往需要运用一定的公式和推理能力来解答。
下面将详细介绍高考中常见的概率与统计题，并提供相关的解题技巧。
一、概率题概率题常见于高考数学中，考察学生对随机事件和概率的理解与计算能力。
下面将从基本定义、计算公式和常见类型等方面对概率题进行详解。
1.基本定义概率是事件发生的可能性大小的度量，用一个介于0和1之间的数表示。
当事件不可能发生时，概率为0；当事件一定发生时，概率为1。
2.计算公式(1)事件A的概率：P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的可能结果数。
(2)互斥事件的概率：P(A或B) = P(A) + P(B)。
(3)独立事件的概率：P(A和B) = P(A) × P(B)。
3.常见类型(1)选择题：将概率题与其他数学知识相结合，如求百分比、比例等。
解题时应根据题目给出的条件，利用计算公式进行计算。
(2)排列组合问题：对于不同颜色、大小、形状的球，求取满足某个条件的组合数。
解题时应根据题目所给条件，使用排列组合公式进行计算。
(3)事件的复合：求两个或多个事件复合后的概率。
解题时应根据题目所给条件，利用计算公式进行计算。
二、统计题统计题常见于高考数学中，考察学生对收集、整理和分析数据的能力，以及对统计方法的应用。
下面将从数据收集与整理、统计指标和抽样调查等方面对统计题进行详解。
1.数据收集与整理统计题要求学生根据给定的数据进行分析和计算。
在实际情境中，常见的数据收集方法有观察、问卷调查、实验等。
解题时应根据题目所给的数据，进行整理和清晰的分类。
2.统计指标统计指标是对统计数据进行度量和描述的指标。
常见的统计指标有均值、中位数、众数、标准差等。
解题时应根据题目所要求的统计指标，运用相应的公式进行计算。
规范答题示范课——概率与统计解答题
1.(202X·徐州检测)已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血 液来确定患病的小白鼠.血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病.现将6只小白 鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之 后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表 示化验总次数. (1)在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求X＝3的概率； 解 记 Ai＝“第 i 次验血结果呈阳性”，i∈{1，2，3，4，5，6}，A－i 表 频数
[15.5，[18.5， [21.5， [24.5，[27.5，[30.5， [12.5，15.5)
18.5) 21.5) 24.5) 27.5) 30.5) 33.5]
5
6
9
12
8
6
4
(1)通过频数分布表估算出这 50 个社区这一天垃圾量的平均值－ x (精确到 0.1)； 解 由频数散布表得 x－＝14×5＋17×6＋20×9＋235×012＋26×8＋29×6＋32×4＝22.76≈22.8， 估计这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨.
根据条件概率的定义及古典概型可知， P(X＝3|A1)＝PP（（AA1A1）3）＝AC2212AA4455＝51. 法二 根据题意可知，在 A1 发生的条件下，X＝3 发生的充要条件是：第二次验
血的小白鼠不患病，且第三次验血的小白鼠患病， 故 P(X＝3|A1)＝P(A－2|A1)P(A3|A1A－2)＝54×41＝15.
11 分
p4 表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，
乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4＝2157≈0.003 9，此时得出错
误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
概率与统计问题解答
概率与统计问题解答引言：概率与统计是数学中的重要分支，也是现代科学研究的基础之一。
在日常生活和各个领域中，我们经常会遇到与概率与统计相关的问题。
本文将围绕概率与统计问题展开讨论，帮助学生更好地理解和解答这些问题。
1. 概率问题的解答概率是描述某个事件发生可能性的数值，解答概率问题需要掌握一些基本概念和计算方法。
1.1 概率的基本概念概率的基本概念包括样本空间、事件、事件的概率等。
样本空间是指所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，事件的概率是指某个事件发生的可能性。
1.2 概率的计算方法概率的计算方法包括古典概率、几何概率和统计概率等。
古典概率适用于等可能性事件，几何概率适用于几何模型，统计概率适用于通过统计数据计算概率。
2. 统计问题的解答统计是收集、整理、分析和解释数据的过程，解答统计问题需要掌握一些基本统计方法和概念。
2.1 数据的收集和整理数据的收集和整理是统计的第一步，可以通过问卷调查、实验观测等方式获取数据，并使用表格、图表等形式进行整理和展示。
2.2 描述统计描述统计是对数据进行整体和局部的描述和分析，包括数据的中心趋势和离散程度的度量，常用的统计指标有平均数、中位数、众数、方差等。
2.3 探索性数据分析探索性数据分析是通过图表和统计方法来探索数据的分布和关系，可以使用直方图、散点图、箱线图等进行可视化分析。
2.4 统计推断统计推断是通过样本数据对总体进行推断，包括参数估计和假设检验。
参数估计是通过样本数据估计总体参数的值，假设检验是对总体参数的假设进行检验。
3. 概率与统计问题的应用概率与统计在各个领域中都有广泛的应用，比如金融、医学、环境科学等。
以下是一些常见的应用场景：3.1 金融风险评估概率与统计可以帮助评估金融市场的风险，比如计算股票价格的波动范围、评估投资组合的风险等。
3.2 医学疾病诊断概率与统计可以用于医学疾病的诊断和治疗，比如通过疾病的发病率和检测结果的概率计算疾病的可能性。
高考数学中概率与统计的解题技巧有哪些
高考数学中概率与统计的解题技巧有哪些在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点，也是很多同学感到头疼的部分。
但其实，只要掌握了一些解题技巧，就能在这部分题目中取得较好的成绩。
首先，我们要对基本概念有清晰的理解。
概率的定义是事件发生的可能性大小，而统计则是对数据的收集、整理、分析和解释。
比如，随机事件、必然事件、不可能事件，以及概率的加法公式、乘法公式等，这些都是解题的基础。
如果对基本概念模糊不清，就很容易在解题时出现错误。
在理解概念的基础上，要善于运用公式。
比如，古典概型的概率公式 P(A) ＝ m ／ n ，其中 m 是事件 A 包含的基本事件个数，n 是基本事件总数。
还有条件概率公式 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) 等。
在使用公式时，要注意其适用条件，不能盲目套用。
对于排列组合问题，这是概率计算中的一个常见难点。
要掌握好排列数和组合数的计算公式，以及解决排列组合问题的常用方法，如捆绑法、插空法、特殊元素优先法等。
例如，在计算从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数时，如果存在相邻元素需要捆绑在一起看作一个整体，再与其他元素进行排列；如果存在不相邻元素，则先排其他元素，然后将不相邻元素插入到这些元素形成的空隙中。
概率与统计中的图表问题也不容忽视。
比如，频率分布直方图、茎叶图等。
要能够从图表中获取关键信息，比如频率、平均数、中位数、众数等。
通过对图表的观察和分析，找到解题的线索。
在处理概率问题时，要学会分类讨论。
有时候一个问题可能需要分成多种情况来考虑，分别计算每种情况的概率，然后再根据题目要求进行综合。
例如，在掷骰子的问题中，可能需要分别考虑点数为奇数和偶数的情况。
另外，反证法也是一种常用的解题技巧。
当直接证明某个结论比较困难时，可以先假设其反面成立，然后推出矛盾，从而证明原结论的正确性。
在统计部分，样本均值、样本方差的计算方法要熟练掌握。
同时，要理解样本对总体的估计作用，能够根据样本数据对总体的参数进行估计和推断。
概率与统计常见问题的解题技巧
概率与统计常见问题的解题技巧一、引言概率与统计是数学中重要的分支，它们在实际生活和科学研究中都有广泛的应用。
在解题过程中，我们常常会遇到一些常见的问题和难题。
本文将介绍一些解题技巧，帮助读者更好地解决概率与统计领域的常见问题。
二、概率问题的解题技巧概率问题涉及到随机事件的发生概率。
以下是其中一些常见问题的解题技巧：1. 互斥事件的概率计算当两个事件是互斥事件（即两个事件不可能同时发生）时，可以通过计算两个事件的概率之和来得到它们的并集概率。
2. 独立事件的概率计算当两个事件是独立事件（即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率）时，可以通过计算两个事件的概率之积来得到它们的交集概率。
3. 条件概率的计算当两个事件的发生概率有关联时，需要利用条件概率的概念来计算它们的概率。
条件概率可以通过给定条件下的概率计算得出。
4. 贝叶斯定理的应用贝叶斯定理可以用于计算反向条件概率，即已知结果的情况下，计算其引起的原因的概率。
它在概率问题中有重要的应用价值。
三、统计问题的解题技巧统计问题涉及到数据的收集、整理和分析。
以下是其中一些常见问题的解题技巧：1. 数据统计的基本概念在进行统计分析时，需要了解一些基本概念，如均值、中位数、标准差等，这些概念能够帮助我们更好地理解数据的分布情况。
2. 数据收集和整理在进行统计分析之前，需要进行数据收集和整理。
这包括选择合适的样本，设计问卷调查或实验，并对数据进行清洗和归纳整理。
3. 统计推断统计推断是根据样本数据对总体进行推断。
通过样本平均值和样本标准差等统计量，可以对总体平均值和总体标准差进行估计。
4. 假设检验假设检验是用来检验研究者对总体参数的假设是否成立。
它可以帮助我们判断某个因素对样本数据是否有显著影响。
四、总结概率与统计是数学中重要的分支，解决概率与统计问题需要一定的技巧和方法。
本文简要介绍了概率问题和统计问题的一些常见解题技巧，希望能对读者在解决概率与统计问题时提供一些帮助。
数学高三数学概率与统计知识总结与题型解析
数学高三数学概率与统计知识总结与题型解析概率与统计是高中数学中的一个重要部分，也是数学高考中的一个重点考点。
掌握好概率与统计的知识对于高三学生来说非常重要。
本文将对高三数学概率与统计的知识进行总结，并解析一些常见的题型。
一、概率的基本概念和性质概率是研究随机试验结果出现的可能性的数学理论。
在概率的研究中，有几个基本概念和性质需要掌握。
1.1 试验、样本空间和事件随机试验是指具有以下三个特点的试验：可以在相同的条件下重复进行，每次试验的结果不确定，且试验的结果有多种可能性。
样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验中我们关心的一些结果。
1.2 概率的定义和性质概率的定义可以通过两种方式来描述：频率定义和古典定义。
频率定义是指当试验重复进行很多次时，事件发生的频率趋近于概率值。
古典定义是指在满足条件的情况下，事件发生的可能性与样本空间中元素个数的比值。
概率具有以下几个性质：非负性、规范性、可列可加性、互斥性和独立性。
1.3 条件概率和乘法定理条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某个事件发生的概率。
条件概率可以通过乘法定理来计算。
二、离散型随机变量离散型随机变量是指在有限或可数无限个取值中取一个确定值的变量。
离散型随机变量具有以下几个重要的性质：概率函数、分布函数、数学期望、方差等。
2.1 二项分布二项分布是指在n次独立的伯努利试验中，事件发生的次数所符合的概率分布。
如果事件发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p，那么在n次试验中，事件发生k次的概率可以由二项分布来计算。
2.2 泊松分布泊松分布是在一定时间或空间范围内，某个事件发生的概率符合的分布。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
三、连续型随机变量连续型随机变量是指在一个或者几个区间内取值的变量。
连续型随机变量具有以下几个重要的性质：概率密度函数、分布函数、数学期望、方差等。
概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型及解题思路1.正确读取统计图表的信息典例1：（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）.A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，选A.2．古典概型概率问题 典例：（全国卷理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A.B.C.D.解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.典例3： (2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6D. 0.45解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得p =0.60.75=0.8，故选A.3．几何概型问题典例4：(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13 B.12C.23 D.34解：如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机地落在图中线段AB 中,而当他到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率P=101040+=12.选B.4．类似超几何分布的离散型随机变量分布列问题（古典概型求概率）5．类似二项分布的离散型随机变量分布列问题（频率估计概率，相互独立事件概率计算）典例5（超几何分布与二项分布辨析）：某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品.（1）从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X ，求X 分布列和期望；（2）用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y ，求Y 分布列和期望;（3）用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z ，求Z 分布列和期望.分析：第（1）问中，抽取产品的总体N=10，所含次品件数M=2，都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。
概率与统计解答题解题策略及答题规范
返回首页
第25页
返回首页
求超几何分布的分布列的步骤 (1)对于超几何分布，首先要确定参数 N，M，n 的值； (2)明确随机变量的所有可能取值，以及随机变量取每一个值时对应的 k 值； (3)将 k 的值一一代入超几何分布的概率计算公式，求出对应概率； (4)写出分布列．
第26页
返回首页
为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后， 画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为 1∶2∶3，其中体重(单位：kg)在[50,55)内的有 5 人．
第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1， 第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2. 这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A＝(A1B1)∪(A2B2)，且 A1B1 与 A2B2 互 斥， 所以 P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝ P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝ 146×116＋116×12＝634.
(1)求该考生被录用的概率； (2)设该考生在此次招聘中考试的科目总数为 ξ，求 ξ 的分布列与数学期望．
第7页
返回首页
解 (1)该考生被录用，说明该考生笔试与面试都过关，∴所求概率 P＝ 233＋C23×232×13×34×34＝152.
(2)易得 ξ 的可能取值为 3,5， P(ξ＝3)＝1－233＋C23×232×13＝1－2207＝277，
第5页
返回首页
求解与互斥事件及相互独立事件有关的数学期望或方差问题，关键是对应概率的 计算．对于简单的事件，可以直接转化为若干个相互独立事件的交事件；对于复杂的 事件，一般先划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相 互独立事件同时发生的概率计算公式求解．
新教材 人教B版高中数学必修第二册 第五章 统计与概率 知识点考点及解题方法提炼汇总
第五章统计与概率5.1统计 (1)5.1.1数据的收集 (1)第1课时总体与样本、简单随机抽样 (1)第2课时分层抽样 (5)5.1.2数据的数字特征 (8)5.1.3数据的直观表示 (14)5.1.4用样本估计总体 (21)5.3概率 (25)5.3.1样本空间与事件 (25)5.3.2事件之间的关系与运算 (28)5.3.3古典概型 (32)5.3.4频率与概率 (36)5.3.5随机事件的独立性 (38)5.4统计与概率的应用 (42)5.1统计5.1.1数据的收集第1课时总体与样本、简单随机抽样知识点总体所考察问题涉及的__对象全体__是总体个体总体中__每个对象__都是个体样本抽取的部分对象组成总体的一个样本样本一个样本中包含的__个体数目__是样本容量容量知识点普查与抽样调查一般地，对总体中__每个个体__都进行考察的方法称为普查(也称全面调查)，只抽取__样本__进行考察的方法称为抽样调查．知识点简单随机抽样(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称纯随机抽样)就是从总体中不加任何__分组__、划类、__排队__等，完全随机地抽取个体．(2)两种常见方法：①__抽签法__；②__随机数表法__．思考1：抽签法与随机数表法的异同点是什么？提示：抽签法随机数表法不同点①抽签法比随机数表法简单；②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况①随机数表法要求编号的位数相同；②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况相同点①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②都是从总体中逐个不放回地抽取知识点随机数表法进行简单随机抽样的步骤思考2：用随机数表进行简单随机抽样的规则是什么？提示：(1)定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．(2)读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，若得到的号码不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满所需号码为止．题型简单随机抽样的概念典例剖析典例1下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签；(5)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．[分析]若抽取样本的方式是简单随机抽样，它应具备哪些特点？[解析](1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为50名官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．(5)不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样．规律方法：1.如果一个总体满足下列两个条件，那么可用简单随机抽样抽取样本：(1)总体中的个体之间无差异；(2)总体个数不多．2．判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．题型抽签法典例剖析典例2要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试．请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．[分析]已知N＝30，n＝3.抽签法抽样时编号1、2、…、30，抽取3个编号，对应的汽车组成样本．[解析]应使用抽签法，步骤如下：①将30辆汽车编号，号码是1、2、3、 (30)②将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上；③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．规律方法：抽签法的5个步骤题型随机数表法典例剖析典例3假设要考查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)(B)844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211A．455068047447176B．169105071286443C．050358074439332D．447176335025212[解析]第8行第26列的数是1，依次取三位数169、555、671、998、105、071、851、286、735、807、443、…，而555、671、998、851、735、807超过最大编号499，故删掉，所以最先检验的5袋牛奶的号码依次为：169、105、071、286、443，故选B．规律方法：用随机数表法抽取样本的步骤：(1)将总体中的每个个体编号(每个号码位数一样)．(2)在随机数表中任选一个数作为起始号码．(3)从选定的数开始，按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或与前面取出的数重复，则跳过不取，如此进行下去，直到取满为止．(4)根据选定的号码抽取样本．易错警示典例剖析典例4 一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽取的可能性是__12__；第三次抽取时，每个小球被抽取的可能性是__14__．[错解] 因为简单随机抽样时每个个体被抽取的可能性均为n N ，所以两空均填12． [辨析] 本题解答错误的原因在于混淆了抽样中，样本被抽到的可能性与每次抽取中个体被抽到的可能性．[正解] 因为简单随机抽样时每个个体被抽取的可能性为n N ，所以第一个空填12，而抽样是无放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽取的可能性为16，第二次抽取时，剩余5个小球被抽取的可能性为15，第三次抽取时，剩余4个小球，每个小球被抽取的可能性为14.因此，第二个空填14．第2课时 分层抽样 知识点分层抽样1．定义一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有__明显差别__的、__互不重叠__的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按__层在总体中所占比例__进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)思考1：如何理解“层在总体中所占比例”？提示：从N 个个体中抽取n 个个体，若将总体分为A ，B ，C 三层，含有的个体数目分别是x ，y ，z ，在A ，B ，C 三层应抽取的个体数目分别是a ，b ，c ，那么a x ＝b y ＝c z ＝n N ．2．应用的广泛性(1)分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此．(2)分层抽样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法．(3)想同时获取总体的信息和各层的内部信息时，常采用分层抽样．思考2：简单随机抽样和分层抽样的联系和区别是什么？提示：类别简单随机抽样分层抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取相互联系在各层抽样时采用简单随机抽样适用范围总体中的个体数较少总体由存在明显差异的几部分组成共同点①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样题型分层抽样的概念典例剖析典例1下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(B)A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户．为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本C．从1 000名工人中抽取100人调查上班途中所用的时间D．从生产流水线上抽取样本检查产品质量[分析]根据分层抽样的特点选取．[解析]A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．规律方法：分层抽样的依据(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)样本能更充分地反映总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．题型分层抽样中的有关计算典例剖析典例2(1)某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师__182__人．(2)某网站针对“2020年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：支持A方案支持B方案支持C方案35岁以下的人数200400800 35岁以上(含35岁)的人数100100400的人中抽取了6人，求n的值．②从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？[解析](1)设该校其他教师有x人，则16x＝5626＋104＋x，解得x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182人．(2)①由题意得6100＋200＝n200＋400＋800＋100＋100＋400，解得n＝40．②35岁以下的人数为5500×400＝4人，35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1人．[母题探究]将本例的条件改为“A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A方案有16人”，求样本的容量n．[解析]由于A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5，样本中A方案有16人，则210＝16n，解得n＝80．规律方法：分层抽样中的求解技巧(1)样本容量n总体的个体数N＝该层抽取的个体数该层的个体数．(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．题型分层抽样的方案设计典例剖析典例3一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，写出用分层抽样的方法抽取样本的过程．[分析]分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配，确定各层抽取的个体数之后，可采用简单随机抽样在各层中抽取个体．[解析]三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14,2和4．对112名业务人员进行编号，用随机数表法抽样抽取14人．再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码．将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．规律方法：分层抽样的注意事项分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比，等可能抽样．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．[特别提醒]保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点所有层按同一抽样比，等可能抽样．易错警示典例剖析抽样方法选择不当导致所得样本不具有代表性典例4某单位有职工120人，欲从中抽取20人调查职工的身体状况．领导安排工会某干部负责抽样，他应该怎样做？[错解]将120名职工编号，用随机数表法抽样抽取20人作为样本．[辨析]年龄对人的身体状况有较大影响，这种不考虑年龄抽取的样本不能准确反应单位职工的身体状况．[正解]先将这120名职工根据年龄分为老年组、中年组、青年组，再按1 6的比例在各组中抽取相应的人数，即用分层抽样的方法抽取样本．5.1.2数据的数字特征知识点最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示． 知识点平均数1．定义：如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．这一公式在数学中常简记为x －＝1n ∑i ＝1n x i ．2．求和符号∑具有的性质(1)∑i ＝1n (x i ＋y i )＝∑i ＝1n x i ＋∑i ＝1n y i ．(2)∑i ＝1n (kx i )＝k ∑i ＝1n x i ．(3)∑i ＝1n t ＝nt ．3．如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数是a x －＋B ．思考1：(1)x 5＋x 6＋…＋x 15如何用符号∑表示？(2)如何证明∑i ＝1n (kx i )＝k ∑i ＝1nx i?提示：(1)x 5＋x 6＋…＋x 15＝∑i ＝515x i ．(2)∑i ＝1n (kx i )＝kx 1＋kx 2＋…＋kx n＝k (x 1＋x 2＋…＋x n )＝k ∑i ＝1nx i ．知识点中位数1．如果一组数有奇数个数，并按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数．2．如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数．知识点百分位数1．定义：一组数的p %(p ∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p %的数据不大于该值，且至少有(100－p )%的数据不小于该值．2．计算方法：设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数．规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是x n (即最大值)．思考2：中位数和百分位数的关系是什么？提示：中位数是50%分位数．知识点众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．知识点极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．知识点方差与标准差(1)如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，则方差s 2＝1n i ＝1n (x i －x －)2，方差的算术平方根称为标准差．(2)如果x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，……，ax n ＋b 的方差是a 2s 2．思考2：(1)方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含义是什么？(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？提示：(1)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度．(2)标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．题型最值、平均数、众数的确定典例剖析典例1 某公司员工的月工资情况如表所示： 月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 员工/人125820122(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？[解析] (1)该公司员工月工资的最大值为8 000元，最小值为700元，众数为1 000元．平均数为150(8 000×1＋5 000×2＋4 000×5＋2 000×8＋1 000×20＋800×12＋700×2)＝1 700(元)．(2)用众数，因为最大值为8 000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿1 000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理．规律方法：1.把数据从小到大排列，根据定义即可确定最值和众数． 2．平均数的求法 (1)用定义式； (2)用平均数的性质；(3)在容量为n 的一组数据中，若数据x 1有n 1个，x 2有n 2个，…，x k 有n k 个，且n ＝n 1＋n 2＋…＋n k ，则这组数据的平均数为1n (n 1x 1＋n 2x 2＋…＋n k x k )＝n 1n x 1＋n 2nx 2＋…＋n kn x k ．题型中位数、百分位数的计算典例剖析典例2 (1)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，则该组数据的中位数是__7.5__；(2)甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49．乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51．求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数． [解析] (1)已知数据从小到大排列为：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共10个数，所以中位数是7＋82＝7.5．(2)两组数据都是12个数，而且12×25%＝3,12×75%＝9,12×90%＝10.8， 因此，甲运动员得分的25%分位数为x 3＋x 42＝20＋252＝22.5，甲运动员得分的75%分位数为x9＋x102＝37＋392＝38，甲运动员得分的90%分位数为x11＝44．乙运动员得分的25%分位数为x3＋x42＝14＋162＝15，乙运动员得分的75%分位数为x9＋x102＝31＋382＝34.5，乙运动员得分的90%分位数为x11＝39．规律方法：1.求中位数的一般步骤(1)把数据按大小顺序排列．(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．2．求百分位数的一般步骤(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，x n．(2)计算：求i＝np%的值．(3)求值：分数p%分位数i不是整数xi0，其中i0为大于i的最小整数i是整数x i＋x i＋12题型极差、方差、标准差的计算典例剖析典例3已知一组数据：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6．(1)求极差；(2)求方差；(3)求标准差．[解析](1)最大值为6，最小值为2，极差为4．(2)可将数据整理为x23456频数34562每一个数都减去4x－4－2－1012频数34562120×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0，120×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝32．因此，所求平均值为4，方差为32． (3)由(2)知标准差为62． 规律方法：求方差的基本方法(1)先求平均值，再代入公式s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，或s 2＝1n ∑i ＝1n x 2i －x 2．(2)用性质．(3)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s 2． 题型分层抽样的方差典例剖析典例4 甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？[解析] 设甲班50名学生的成绩分别是a 1，a 2，…，a 50，那么甲班的平均成绩和方差分别为x －甲＝a 1＋a 2＋…＋a 5050＝80.5(分)，s 2甲＝(a 1－x －甲)2＋(a 2－x －甲)2＋…＋(a 50－x －甲)250＝500． 设乙班40名学生的成绩分别是b 1，b 2，…，b 40，那么乙班的平均成绩和方差分别为x －乙＝b 1＋b 2＋…＋b 4040＝85(分)，s 2乙＝(b 1－x －乙)2＋(b 2－x －乙)2＋…＋(b 40－x －乙)240＝360． 如果不知道a 1，a 2，…，a 50和b 1，b 2，…，b 40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为x －＝50x －甲＋40x －乙50＋40＝50×80.5＋40×8590＝82.5(分)，方差s 2＝50[s 2甲＋(x －甲－x －)2]＋40[s 2乙＋(x －乙－x －)2]50＋40＝50×[500＋(80.5－82.5)2]＋40×[360＋(85－82.5)2]90＝50×500＋50×4＋40×360＋40×6.2590≈442.78．规律方法：若样本中有两层，第一层有m 个数，分别为x 1，x 2，…，x m ，平均数为x －，方差为s 2；第二层有n 个数，分别为y 1，y 2，…，y n ，平均数为y －，方差为t 2，则样本的均值为a －＝m x －＋n y－m ＋n，方差为m [s 2＋(x －－a －)2]＋n [t 2＋(y －－a －)2]m ＋n．易错警示典例剖析典例5 下面是某赛季甲、乙两名篮球队员每场比赛得分情况： 甲：4 14 14 24 25 31 32 35 36 36 39 45 49 乙：8 12 15 18 23 27 25 32 33 34 41 则甲、乙得分的中位数之和是( B ) A ．56分 B ．57分 C ．58分 D ．59分[错解] D 因为甲的中位数是32，乙的中位数是27，所以甲、乙得分的中位数之和是59．[辨析] 本题易忽视求乙得分的中位数时，没有将数据从小到大排列起来，将原始数据中的中间一个数误认为就是乙得分的中位数而导致错误．因此理解样本的数字特征的含义较为重要．[正解] 由题可知甲得分的中位数为32分，乙得分的数据从小到大排列为：8,12,15,18,23,25,27,32,33,34,41，故乙得分的中位数为25分，因此甲、乙两人得分的中位数之和为57分．5.1.3 数据的直观表示柱形图(也称为条形图) 知识点作用 形象地比较各种数据之间的数量关系特征(1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例．(2)每一矩形都是__等宽__的折线图知识点作用形象地表示数据的变化趋势特征一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的__数据__扇形图(也称为饼图、饼形图)知识点作用形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的__比例__特征每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成__正比__茎叶图知识点作用(1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的__最值__、__中位数__等数字特征(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息(3)比较两组数据的集中或分散程度特征所有的茎都竖直排列，而叶沿__水平__方向排列(2)茎叶图的优点是什么？提示：(1)应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．(2)茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据．知识点画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤(1)找出最值，计算极差．(2)合理分组，确定区间．(3)整理数据．(4)作出有关图示.频数分布直方图纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的__高度__与频数成正比频率分布直方图纵坐标是__频率组距__，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1思考2：频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律．知识点频数分布折线图和频率分布折线图把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的__中点__用线段连接起来，且画成与横轴相交．题型柱形图与折线图典例剖析典例12020年1月6日的《中国青年报》报道：“根据调查，有担当(76.3%)和踏实(74.5%)的年轻人最被受访者欣赏．奋进(54.7%)、坚毅(54.1%)、有梦想(50.2%)、有闯劲儿(40.1%)、沉稳(36.7%)、直率(34.6%)、幽默(33.4%)、活泼(27.2%)、庄重(20.3%)、洒脱(20%)也是受访者欣赏的品质．”为形象地表示这一调查结果．(1)作出柱形图；(2)作出折线图．[解析](1)柱形图如图①．(2)方法一：取图①中各小矩形上面的中点用线段连接起来(图略)，即得折线图．方法二：直接作出折线图如图②其中横轴上的1,2,3，…，12分别表示“有担当”，“踏实”，…，“洒脱”．规律方法：1.柱形图中，各小矩形宽相等．2．注意横、纵轴的意义．3．由柱形图可以作出折线图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接，取各小矩形下边的中点并标注上数字，要说明标注数字所对应的数据类型．题型扇形图典例剖析典例2某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为__50__；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为__1_015__小时．[解析]由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)，该产品的平均使用寿命为50×1 020＋20×980＋30×1 030100＝1 015(小时)．规律方法：在扇形图中，部分数据在全部数据中的比例等于对应扇形的圆心角度数与360°之比，等于对应扇形的弧长与周长之比，也等于对应扇形面积与圆面积之比．题型茎叶图的画法及应用典例剖析典例3下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图：(1)甲、乙两名运动员的最高得分各是多少？(2)哪名运动员的成绩好一些？[解析](1)甲、乙两名运动员的最高得分分别为51分，52分．(2)从茎叶图可以看出，甲运动员得分大致对称，乙运动员的得分除一个52分以外，也大致对称．而甲运动员的平均得分高于乙运动员的平均得分，因此甲运动员的成绩更好．规律方法：1.利用茎叶图进行数据分析时，通常从茎叶图中各个“叶”上的数字多少来分析该组数据的分布对称性、稳定性等．2．如果茎叶图中的数据大致集中在某一行附近，那么说明这组数据比较稳定．3．茎叶图只适用于样本数据较少的情况．题型频率分布表和频率分布直方图典例剖析典例4从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[70,80)的学生占总体的百分比．[分析]计算频率、列表与绘图．[解析](1)频率分布表如下：成绩分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16合计50 1.00(2)绘制频率分布直方图如图，由题意知组距为10，取小矩形的高为频率组距，计算得到如下的数据表：成绩分组频率小矩形的高[40,50)0.040.004[50,60)0.060.006[60,70)0.20.02[70,80)0.30.03(3)由频率分布直方图可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是0.03×10＝0.3＝30%．规律方法：绘制频率分布直方图的方法：(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系．(2)把横轴分成若干段，每一段对应一个组．(3)在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作长方形，它的高等于该组的频率组距.每个长方形的面积恰好是该组的频率，这些长方形构成了频率分布直方图．易错警示典例剖析典例5某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：kg)：61605959595858575757575656565656565655555555545454545353535252525251515150504948列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．[错解](1)极差61－48＝13．(2)取组距2，分组132＝6.5分7组．(3)分点及分组如下：48～50,50～52,52～54,54～56,56～58,58～60,60～62．(4)列频率分布表：。
大题规范解答-全得分系列之概率与统计的综合问题答题模板
概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算，统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．“大题规范解答——得全分”系列之(十)概率与统计的综合问题答题模板[典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，P (K 2≥k )0.05 0.01 k3.8416.635[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息 观察条件―→ 100名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷，女体育迷10名 −−−−−−→借助直方可确定图非体育迷及体育迷人数2．审结论，明解题方向观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 −−−→需要确定a ，b ，c ，d 及K 2的值3．建联系，找解题突破口由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→计算K 2可判断结论1．审条件，挖解题信息观察条件―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” −−−−−−→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数2．审结论，明解题方向观察所求结论―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 −−−−→分分析类1名女性观众或两名女性观众3．建联系，找解题突破口由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数−−−−−→列法列出举举所有基本事件并计数为n 和至少有1名女性的基本事件，计数为m mP n−−−−→代入＝求概率[教你准确规范解题](1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100(3分)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．(6分)(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．(9分)用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，(11分)事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.(12分)[常见失分探因]忽视直方图纵轴表示为频率组距导致每组人数计算失误.K 2的计算不准确、导致结果判断出错.1.“超级体育迷”人数计算错误导致失误.2.由5人中任取2人列举出所有可能结果时重复或遗漏某一情况导致失误.————————————[教你一个万能模板]—————————————————第一步理清题意，理解问题中的条件和结论．尤其是直方图中给定的信息，找关键量 第二步由直方图确定所需的数据，列出2×2列联表―→第三步利用独立性检验的步骤进行判断―→第四步确定基本事件总数及所求事件所含基本事件的个数―→第五步利用概率公式求事件的概率―→第六步反思回顾、检查关键点易错点及答题规范1．(2012·佛山模拟)已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为( )A ．6.5 hB ．5.5 hC ．3.5 hD ．0.3 h解析：选A 将600代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5中得需要的时间为6.5 h. 2．(2013·衡阳联考)已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 ym35.57已求得关于y 与x 的线性回归方程y ^＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7D ．0.5解析：选D 回归直线必过样本中心点(1.5，y )，故y ＝4，m ＋3＋5.5＋7＝16，得m ＝0.5.3．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 解析：选C 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．4．已知x 、y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ^＝( ) A ．2.5 B ．2.6 C ．2.7D ．2.8解析：选B 因为回归方程必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝2，y ＝4.5，则将(2,4.5)代入y ^＝0.95x ＋a ^可得a ^＝2.6.5．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不．正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．6．(2013·合肥检测)由数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)求得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x 0，y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x ，y )．7．(2012·唐山模拟)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________ cm.解析：根据回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.198．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)解析：由观测值k ＝27.63与临界值比较，我们有99%的把握说打鼾与患心脏病有关．答案：有关9．(2012·宁夏模拟)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a . ∴a ＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：6810．已知x ，y 的一组数据如下表：x 1 3 6 7 8 y12345(1)从x ，y (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．解：(1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P ＝925.(2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 1＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫92－52＝12. ∵S 2<S 1，∴直线y ＝12x ＋12的拟合程度更好．11．(2012·东北三省联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 50岁以上 合计(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析． 解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计201030(2)K 2＝30(8－128)212×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10＞6.635，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关．12．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x /年 3 5 6 7 9 推销金额y /万元23345(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．解：(1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y^＝b^x＋a^.则b^＝∑x＝15(x i－x)(y i－y－)∑x＝15(x i－x)2＝1020＝0.5，a^＝y－b^x－＝0.4，∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y^＝0.5x＋0.4.(3)由(2)可知，当x＝11时，y^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．1．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：x 681012y 235 6则y对x的线性回归直线方程为()A.y^＝2.3x－0.7 B.y^＝2.3x＋0.7C.y^＝0.7x－2.3 D.y^＝0.7x＋2.3解析：选C∵∑i＝14x i y i＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4.∴b^＝158－4×9×436＋64＋100＋144－4×81＝0.7，a^＝4－0.7×9＝－2.3.故线性回归直线方程为y ^＝0.7x －2.3.2．(2012·东北三校联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则有________的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．附：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.828解析：因为7.069与附表中的6.635最接近(且大于6.635)，所以得到的统计学结论是：有99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．答案：99%3．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票．按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：支持 不支持 总计 北京暴雨后 x y 50 北京暴雨前 20 30 50 总计AB100已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为25.(1)求列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；(2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2≤k )0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A ， 由已知得P (A )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)由(1)知北京暴雨后支持为4050＝45，不支持率为1－45＝15，北京暴雨前支持率为2050＝25，不支持率为1－25＝35.条形统计图如图所示，由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度．(3)K 2＝100(30×40－20×10)250×50×40×60＝1000 00050×20×60＝503≈16.78＞10.828.故至少有99.9%的把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关．1．以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)的一组数据：房屋面积x (m 2) 80 105 110 115 135 销售价格y (万元)18.42221.624.829.2若销售价格y 和房屋面积x 具有线性相关关系． (1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解：(1)由题意知，x ＝80＋105＋110＋115＋1355＝109，y ＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25＝23.2.设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝1n(x i －109)(y i －23.2)∑i ＝1n(x i －109)2＝3081 570≈0.196 2， a ＝y －b x ≈23.2－0.196 2×109＝1.814 2，故回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (2)由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．2．(2012·徐州二模)在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率． 解：(1)2×2列联表如下：患色盲 不患色盲 总计 男 38 442 480 女 6 514 520 总计449561 000(2)假设H 0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中2×2列联表中数据，可求得K 2＝1 000×(38×514－6×442)2480×520×44×956≈27.14，又P (K 2≥10.828)＝0.001，即H 0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.。
数学初中必考概率与统计知识点解析与解题技巧
数学初中必考概率与统计知识点解析与解题技巧数学作为一门重要的学科，概率与统计是其不可或缺的一部分。
在初中阶段，学生们需要掌握一定的概率与统计知识，并且能够灵活运用于解题过程中。
本文将对数学初中必考的概率与统计知识点进行解析，并给出解题技巧。
一、基本概念1. 随机事件与必然事件：随机实验中发生的事件称为随机事件，一定发生的事件称为必然事件。
2. 样本空间与样本点：所有可能结果组成的集合称为样本空间，每个具体的结果称为样本点。
3. 事件的概率：事件A发生的可能性大小称为事件A的概率，用P(A)表示。
二、概率计算1.事件的概率计算公式：对于一个随机事件A，其概率可以通过“有利结果个数/样本空间元素个数”来计算。
2.事件的互斥与对立事件：若两个事件不可能同时发生，则称其为互斥事件；若事件A发生的概率等于其对立事件发生的概率，则称A 为事件的对立事件。
3.事件的可能性：事件的概率不会小于0，也不会大于1，即0≤P(A)≤1。
三、概率性质1.加法公式：对于两个互斥事件A和B，其和事件的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2.条件概率：在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)，可以通过计算P(A∩B)/P(A)得到。
3.乘法公式：对于两个相互独立的事件A和B，其交事件的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
四、统计1.频数和频率：统计数据中某个数据出现的次数称为频数，频数与总数据个数之比称为频率。
2.人数众多的全员调查和人数较少的抽样调查。
3.简单随机抽样：从样本空间中抽取n个样本，且每个样本被抽中的概率相等。
五、解题技巧1.审题准确：在解题过程中，要仔细阅读题目，理解题目所要求的内容，确定解题思路。
2.建立数学模型：根据题目所给条件，将问题转化为数学表达式，建立相应的数学模型。
3.巧用概率计算公式：对于题目中涉及概率的计算，可以灵活应用概率计算公式进行解题。
4.注意条件概率：对于条件概率问题，要注意计算概率的先后顺序，根据题目条件计算出相应的概率。
高中数学必考知识点概率与统计应用题解析及解题技巧总结
高中数学必考知识点概率与统计应用题解析及解题技巧总结在高中数学中，概率与统计是一个重要的知识点，也是必考内容之一。
掌握好概率与统计的应用题解析和解题技巧，对于高考的数学成绩至关重要。
本文将对概率与统计应用题进行解析，并总结一些解题技巧，帮助同学们更好地应对这一考点。
一、概率与统计应用题解析1.概率应用题解析概率应用题主要涉及事件的概率计算、样本空间、互斥事件、独立事件等概念。
解决这类题目需要综合运用这些概念，并结合具体条件进行分析。
下面以一个具体的例子来进行解析。
例：某班有男生20人，女生25人。
从中抽取1名学生，求抽到女生的概率。
解析：这是一个从有限总体中抽取的概率题。
首先，我们需要确定样本空间。
样本空间即抽取一个学生可能出现的所有情况，根据题目的条件，样本空间为45人。
而事件A为抽到女生，其中有25人符合条件。
所以，事件A的概率为 P(A) = 25/45。
2.统计应用题解析统计应用题主要涉及频数、频率、平均数、中位数、众数、方差等概念。
解决这类题目需要根据给定的数据进行分析，并选择合适的统计方法。
下面以一个具体的例子来进行解析。
例：某班有30人，考试的成绩如下：80，85，90，75，65，70，60，95，90，85，80，85，90，75，65，70，60，95，90，85，80，85，90，75，65。
求这组数据的平均数。
解析：根据题目的要求，我们需要求这组数据的平均数。
平均数的计算公式为：平均数 = 所有数据的和 / 数据的个数。
将给定的数据相加得到660，数据的个数为30，所以该组数据的平均数为660/30=22。
二、解题技巧总结1.理解题目背景和要求在解决概率与统计应用题时，首先需要理解题目的背景和要求。
通读题目，搞清楚需要计算概率还是统计指标，明确题目的核心内容。
2.识别关键信息在理解题目的基础上，要能够识别出问题中涉及的关键信息。
关键信息可以是已知的条件、所给数据、需要计算的值等。
《概率统计》知识点归纳总结(含答案)
《概率统计》知识点归纳总结1.加法公式结合独立性)()()()()(B P A P B P A P B A P -+=+例如：7.0)(,6.0)(==B P A P88.07.0*6.07.06.0)()()()()(=-+=-+=+B P A P B P A P B A P2. 分布函数的性质P39(其中分布函数)(x F 不是连续函数,非严格意义的单调递增性)3.方差的性质，二项分布）（p n B X ,~,泊松分布）（λπ~Y 的方差2,3.0,4===λp n44.312*97.0*3.0*4*16916)3()4()34(D =+=+=+=-DY DX Y D X D Y X4. ),(~2nN X σμ),N(~X 2σμ正态总体，b]U[a,~X 均匀总体),N(~X 2σμ正态总体,n X D X E 2)(,)(σμ==b]U[a,~X 均匀总体,n a b X D b a X E 12)()(,2)(2-=+=5总体均值()E X 的无偏估计量(系数相加等于1)；P178:12(1)2121X 21X + ；5432151515151X 51X X X X ++++ 6加法公式结合独立性)()()()()(B P A P B P A P B A P -+=⋃减法公式结合独立性)()()()()()(B P A P A P AB P A P B A P -=-=-7.已知随机变量X 的分布律为记X 的分布函数为，则3F = 1 .8.平均值就是数学期望，P59:24; P117:11 9.置信区间10.假设检验中，犯第一类错误的概率就是显著性水平α犯第一类错误的概率，显著性水平α为 0.03，则在原假设 H 0成立的条件下，拒绝H 0的概率为___0.03________接受H 0的概率为______0.97_________ 11.A 和B 互斥（互不相容）,A 和B 对立事件，P9,性质v12.概率等于0的事件，不一定是不可能的事件13.离散型随机变量，联合分布能唯一确定边缘分布，反之不成立14随机变量P143:(3.8)，),1(~t 2n F15.显著性水平α是犯第I 类错误（弃真错误的概率）计算题： 16. 已知概率密度函数，利用概率密度函数求待定系数，分布函数，计算概率概率密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0)(3x x Ae x f x 求{}01P X <<17.联合分布求边缘分布，判断独立性，判断是否相关，P7518.已知概率密度求方差（用方差的性质先化简），概率密度用P58:21(2),计算)13(XD19已知离散型随机变量的分布律求参数的最大似然估计值；P176:4(1),答案P6620全概率公式，贝叶斯公式的应用3. 已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.03.求（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．2、设A 表示合格品，A 表示次品，B 表示被检合格，则()0.95,()0.05,()1()0.98,()0.03P A P A P B A P B A P B A ===-== （1） 由全概率公式，得()=()()()()=0.950.98+0.050.03=0.9325P B P A P B A P A P B A +⨯⨯（2）由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+=0.950.980.99840.950.980.050.03⨯=⨯+⨯3、某公司有甲、乙、丙三位秘书，让他们把公司文件的45%，40%，15% 进行归档，根据以往的经验，他们工作中出现错误的概率分别为0.01，0.02，0.05.现发现有一份文件归错档，试问该错误最有可能是谁犯的？解：设事件i A 表示“文件由第i 位秘书归档”()1,2,3i =，B 表示“文件归错档”. 依题意，()10.45P A =, ()20.4P A =, ()30.15P A =,()10.01P B A =, ()20.02P B A =,()30.05P B A =由全概率公式可知()()()()()()()112233P B P B A P A P B A P A P B A P A =++0.010.450.020.40.050.15=⨯+⨯+⨯0.02=()()()()1110.010.450.2250.02P B A P A P A B P B ⨯===()()()()2220.020.40.40.02P B A P A P A B P B ⨯===()()()()3330.050.150.3750.02P B A P A P A B P B ⨯===由此可见，这份文件由乙归错档的可能性最大.21. 正态分布计算概率；P59:28 答案P27。
概率与统计概率与统计问题的解题方法与技巧
概率与统计概率与统计问题的解题方法与技巧概率与统计问题的解题方法与技巧概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它在生活中的应用广泛。
在解决概率与统计问题时，我们需要一些方法与技巧来帮助我们理清思路、解决困惑。
本文将探讨一些解题方法与技巧，希望能对读者有所帮助。
一、概率问题的解题思路在解决概率问题时，我们首先需要明确问题的背景和要求，例如给定的条件、需要求解的概率等。
然后，我们可以根据问题的特点选择合适的计算公式或方法来解决问题。
下面是一些常见的解题思路：1. 计数法对于一些离散的、可枚举的概率问题，我们可以利用计数法来解决。
例如排列组合、二项式系数等概念可以帮助我们快速计算出概率。
同时，也可以运用排除法、互补事件等思路进行推理和计算。
2. 条件概率当问题给出了一些条件时，我们可以利用条件概率来求解。
条件概率指的是在某一条件下发生某一事件的概率。
我们可以通过利用条件概率公式和已知条件来计算所求概率。
3. 独立性如果事件A与事件B相互独立，那么它们的概率乘积等于事件A与事件B同时发生的概率。
利用独立性的特点，我们可以简化计算过程，快速求解概率问题。
二、统计问题的解题方法与技巧统计问题与概率问题相辅相成，经常需要通过统计现象来得出结论，或者通过已知条件来进行预测。
下面是一些解题方法与技巧：1. 数据整理与描述在解决统计问题时，我们首先需要整理和描述数据，以便更好地理解问题和找到解决方案。
可以通过频数分布表、直方图、散点图等方式将数据进行可视化呈现，从而更清晰地观察数据特点。
2. 推理统计与抽样在统计问题中，我们常常需要通过一部分样本来推断整体的特征。
这时，我们可以借助抽样方法来提取样本，并利用统计推断方法来得出结论。
通过合理的样本容量和抽样方法，我们可以更准确地估计总体的特征。
3. 假设检验假设检验是统计学中常用的方法之一，它用于检验研究者提出的假设是否成立。
在解决与统计有关的问题时，我们可以通过假设检验来得出结论，并进行相关的推理和判断。
概率与统计题型及解题方法
概率与统计题型及解题方法
概率与统计题型有很多种，以下列举几种常见的题型及解题方法： 1. 概率计算题：给定一组事件，求某个事件发生的概率。
解题
方法：使用概率的定义，将所求事件的样本空间对应的元素个数除以总的样本空间的元素个数。
2. 条件概率题：已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
解题方法：使用条件概率公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
3. 互斥事件题：两个事件A、B不能同时发生，求它们中至少一个发生的概率。
解题方法：使用互斥事件的概率公式P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 独立事件题：两个事件A、B发生与否互不影响，求它们同时发生的概率。
解题方法：如果事件A、B是独立事件，那么P(A∩B) = P(A) * P(B)。
5. 随机变量题：给定一个随机变量X，求其概率分布、期望、
方差等。
解题方法：根据随机变量的定义和性质，计算所求的概率或统计量。
6. 正态分布题：给定一个正态分布的随机变量X，求其概率或
统计量。
解题方法：根据正态分布的性质和标准正态分布的表格，计算所求的概率或统计量。
以上只是概率与统计题型的一部分，还有很多其他类型的题目。
解题方法主要是根据题目给出的条件和问题的要求，使用概率的定义、
性质、公式等进行计算和推导。
同时，熟练掌握一些常见的概率分布（如二项分布、泊松分布、指数分布等）和统计量（如均值、方差、协方差等）的计算方法也是解题的关键。
数学高考数学中的概率与统计题解题方法与思路总结
数学高考数学中的概率与统计题解题方法与思路总结概率与统计是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的一项重要内容。
考查概率与统计的题目在高考中占据一定比例，掌握好解题方法与思路对于考生来说是至关重要的。
本文将对高考数学中的概率与统计题解题方法与思路进行总结，并提供一些实用的技巧和示例，帮助考生更好地应对这类题目。
一、概率题解题方法与思路在高考数学中，概率题目主要包括事件与概率、排列组合与概率、概率的计算与运用等内容。
以下是一些解题方法与思路的总结：1. 理清题意：在解概率题前，首先要仔细阅读题目，理解题目所描述的背景和条件。
确定给定事件和所求事件，并结合题目中的条件将问题转化为一个概率问题。
2. 构建样本空间：根据题目所给条件，建立一个恰当的样本空间。
样本空间是所有可能的结果组成的集合，对于复杂的问题，可以利用树状图、表格等方式来构建样本空间，帮助理清逻辑关系。
3. 确定事件：根据题目要求，确定所关注的事件，并通过分析题目中的条件，对事件进行限定条件，以便进行计算。
4. 计算概率：利用概率的定义，计算所求事件发生的概率。
常用的计算方法有等可能原理、排列组合等概率的性质。
5. 运用概率：在解概率题时，还需要掌握条件概率、独立事件等相关概念和计算方法。
根据题目给出的条件，利用已知的概率计算所求的概率，注意要根据条件的不同进行不同的计算。
二、统计题解题方法与思路统计是高考数学中的另一个重要内容，主要包括频率分布、参数估计、假设检验等。
以下是一些解题方法与思路的总结：1. 构建频数表：对于给定的数据，首先要进行整理和分类，然后利用频数表将数据进行统计。
频数表是将数据按照一定的规则分组，统计各组的频数。
2. 绘制统计图表：根据频数表，可以绘制统计图表，如直方图、频率多边形等。
统计图表可以直观地展示数据的分布情况，对于理解问题和进行进一步分析具有重要意义。
3. 计算统计指标：在统计题中，常常需要计算一些统计指标，如平均数、标准差等。
数学概率与统计题解题技巧和方法
数学概率与统计题解题技巧和方法数学概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的发生规律以及对数据进行分析和推断的方法。
在学习和解题过程中，我们常常会遇到一些难题，需要用到一些解题技巧和方法。
本文将介绍一些常见的数学概率与统计题解题技巧和方法，希望能对大家的学习和解题有所帮助。
一、概率题解题技巧和方法概率是研究随机事件发生的可能性的数学分支。
在解概率题时，我们可以运用以下几个技巧和方法：1. 列举法：对于一些简单的概率问题，我们可以通过列举样本空间中的所有可能结果来计算概率。
例如，一个骰子的点数为1到6，我们可以列举出所有可能的结果，并计算出每个结果的概率。
2. 排列组合：对于一些复杂的概率问题，我们可以使用排列组合的方法来计算概率。
例如，从10个人中选出3个人组成一个委员会，我们可以使用组合的方法来计算出不同的选取方式的概率。
3. 条件概率：条件概率是指在已知一些相关信息的情况下，发生某个事件的概率。
在解题时，我们可以使用条件概率的公式来计算概率。
例如，已知某人患有某种疾病的概率为0.01，而该疾病的检测准确率为0.95，我们可以使用条件概率的公式来计算该人真正患病的概率。
二、统计题解题技巧和方法统计是研究数据收集、整理、分析和推断的数学分支。
在解统计题时，我们可以运用以下几个技巧和方法：1. 数据整理：在解题前，我们首先需要对给定的数据进行整理和归类。
例如，将一组数据按照大小排序，或者将一组数据按照类别进行分类。
2. 中心趋势的度量：中心趋势是指一组数据的平均水平。
在解题时，我们可以使用平均数、中位数和众数等指标来度量数据的中心趋势。
例如，求一组数据的平均数时，我们可以将所有数据相加，然后除以数据的个数。
3. 变异程度的度量：变异程度是指一组数据的离散程度。
在解题时，我们可以使用方差和标准差等指标来度量数据的变异程度。
例如，求一组数据的方差时，我们可以计算每个数据与平均数的差的平方，然后求这些平方的平均数。
统计和概率知识点总结
第一章数据的收集、整理与描述1、全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2、抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
3、总体：要考察的全体对象称为总体。
4、个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
5、样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
6、样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
7、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
8、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
9、频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
10、频率：频数与数据总数的比为频率。
11、组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。
第二章 数据的分析1、平均数：一般地，如果有n 个数,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。
2、加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（这里nf f f k =++ 21）。
那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。
3、中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
4、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。
5、极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
6、在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
规范答题5概率与统计
[命题分析]概率与统计问题有两个考查方向：(1)通过阅读各种统计图表，寻找规律的统计类或综合类问题；(2)以综合事件为载体，通过对事件进行分解求事件发生的概率；也可能通过随机变量的分步求概率.典例(12分)(2020·全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为
1
2.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.
步骤要点规范解答阅卷细则
(1)读懂题意：通过阅读题目找出最本质的事件及其发生规律.
(2)确定模型：根据已知条件和要求结论确定问题模型，理清条件结论间的联系. (3)计算作答：通过分解事件计算概率或作出决策. 解(1)记事件M为“甲连胜四场”，
则P(M)＝⎝⎛⎭⎫1
24
＝1
16.2分
(2)记事件A为“甲输”，事件B为“乙输”，事
件C为“丙输”，
则四局内结束比赛的概率为P′＝P(ABAB)＋
P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4×⎝⎛⎭⎫
1
24
＝1
4
，
所以需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P′＝
3
4.6分
(3)记事件A为“甲输”，事件B为“乙输”，事
件C为“丙输”，
记事件M为“甲赢”，记事件N为“丙赢”，
则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、
(1)第(1)问
只有式子没
有文字表述
扣1分；
(2)事件没
有标记但表
述清楚可不
扣分，否则
酌情扣分；
(3)后两问
只要事件分
解正确即得
2分；
(4)没有最
后结论扣2
分；
(5)其它方。