人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．32．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17113．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ） A ．4B ．37+C ．25D ．54．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B ．6C ．5D ．26．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．927．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ）A ．18-B ．116-C ．316-D ．08．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．42，0 B ．4，42C ．16，0D ．4，010．直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-11．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定二、填空题13．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值为___________.14．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．15．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 16．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.19．已知a →，b →为单位向量，2c a b →→→=-，且,3a b π→→<>=，则,a c →→〈〉=________．20．已知向量(1,3)a =，1(2,)2b =-，若单位向量c 与2a b -平行，则c =___________.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？23．已知平面直角坐标系中，点 O 为原点，()()3,1,1,2A B - ． (I)求AB 的坐标及AB ；(Ⅱ)设 e 为单位向量，且 e OB ⊥，求e 的坐标 24．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．25．（1）已知向量()1,3a =，(),2b m =，()3,4c =，且()3a b c -⊥，求实数m 的值；（2）已知(3,2)a =，(2,1)b =-，若a b λ+与a b λ+平行，求实数λ的值 26．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，//,,2AD BC BAD π∠=,3BDA BC BD π∠==．（1）求AE BD ⋅；（2）求AC 与BD 夹角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252ab a ba b a b a b++-++-≤=+=，当且仅当a b a b+=-，即a b⊥时取等号，故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.4．B解析：B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OPE PF=⋅-，求得OP的最大值，由此可求得PE PF⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O，()()()()2221 PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P为ABCD的顶点时，2OP取得最大值2，所以PE PF⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C【分析】以,AD AB为一组基底，表示向量,AE BF，然后利用12AE BF⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，判断出G 是三角形CFH 的重心，得出,CG CO 的比例，由此得出λ的值.【详解】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，连接FH ，连接BD 交AC 于O ，则//BD FH .在三角形CFH 中，,CG FG 是两条中线的交点，故G 是三角形CFH 的重心，结合23CH CF BH DF ==可知24.5CG CO =，由于O 是AC 中点，故224.529CG AC ==⨯.所以72AGCG=，由此可知72λ=，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题.7．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，3t ≤，则 22333()16⋅=-=--AP CP t t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，3(0,)2C ，设()0,P t ，其中32t ≤1(,)2AP t =-，3(0,)2CP t ==，22333()2416⋅=-=--AP CP t t t ，当34t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-．故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.8．C解析：C 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣cosθ+4sinθ＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.11．D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.12．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题13．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为：【分析】将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.【详解】因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭22111263AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即||3AB AC =， 所以=3ABAC. 故答案为：314．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B解析：1 【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案. 【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -， 如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤， 设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈，则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-，因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，整理可得113cos sin 22131sin cos 22μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以131113322(sin cos )cos sin sin()222226πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈， 当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12，所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1 【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.15．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--，因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】由已知得再两边平方求得代入可求得答案【详解】因为所以又因为所以即又所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算向量的数量积以及向量的模的计算属于中档题 解析：25-【分析】由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案. 【详解】因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =， 所以()225a b+=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.17．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题 解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =，∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.18．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基解析：58【分析】将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC 相关，可以求出 2223,827FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果. 【详解】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58. 【点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．19．【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解【详解】因为又所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义运算法则性质向量的夹角公式属于中档题解析：6π【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.【详解】因为22cos(cos,2|||||2)2|aa c aa caba bcπ→→→→→→→→→→→→→→-⋅〈〉==--===⋅，又,0a cπ→→〈≤〉≤，所以,6a cπ→→〈〉=，故答案为：6π【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题. 20．或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意∴又∴或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量解析：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【分析】由向量的坐标运算求出2a b-，并求出它的模，用2a b-除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论．【详解】由题意2(1,3)(4,1)(3,4)a b-=--=-，∴22(3)5a b-=-=，又234,552a ba b-⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，∴c=34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量，一般与a平行的单位向量有两个，它们是相反向量：a a±．只写出一个向量a a是错误的．三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-． 【分析】（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算； （Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】（Ⅰ）由题意3103a b ⋅=⨯+=；21(2b =+=．（Ⅱ）(3,3)a kb k k +=+， 因为向量a 与k +a b 互相垂直，所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-． 【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．23．（1）()4,1=-AB,17;=AB （2）25,55⎛=⎝⎭e ，或25.55⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭e【详解】试题分析：（I ）利用向量的坐标运算直接求AB 的坐标及AB ； （II ）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可． 试题（I ）()()AB 13,214,1=---=-,(AB =-=(Ⅱ)设单位向量(),e x y =， 所以221x y +=，即221x y += 又(),1,2⊥=-e OB OB , 所以20x y -+=即2x y =由2221x y x y =⎧⎨+=⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以25,⎛= ⎝⎭e ，或25.⎛=-⎝⎭e 24．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果；（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果； （3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=，所以2244361aa b b-⋅-=.又4,3a b ==， 所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝1432⨯⨯= 【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 25．（1）1m =-；（2）1λ=±. 【分析】（1）先求()313,3a b m -=--，再根据向量垂直的坐标运算即可求得1m =-； （2）先计算()32,21a b λλλ+=+-，()23,2a b λλλ+=+-+，再根据向量共线的坐标运算求解即可得1λ=±. 【详解】解：（1）根据题意有：()()()31,33,213,3a b m m -=-=--，∵ ()3a b c -⊥，∴ ()()3313120a b c m -⋅=⨯--=，解得1m =-，所以实数m 的值为：1m =-.（2）根据题意：()()()3,22,132,21a b λλλλλ+=+-=+-，()()()3,22,23,2a b λλλλλ+=+-=+-+，∵ a b λ+与a b λ+平行，∴ ()()()()32223210λλλλ+-+-+-=，解得：1λ=±.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直与平行的坐标表示，考查运算能力，是基础题.26．（1）0；（2） 【分析】（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC ====，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．【详解】解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=∠==所以BCD △为等边三角形，23BC AB AD == 又E 为DC 的中点所以1113()(),2222AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+= ⎪⎝⎭（2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ==== 222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 2AC BDAC BD θ⋅=== 【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)必修4第二章平面向量教学质量检测1.以下说法错误的是（）A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量2.下列四式不能化简为AD的是（）AB＋CD）＋BC；（AD＋MB）＋（BC＋CM）；MB＋AD－BM；OC－OA＋CD3.已知向量a=(3,4)，向量b=(5,12)，a与b夹角的余弦为：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)3×5+4×12) / (5×5+12×12)56 / 169所以选项C正确。
4.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+ 3b| =a+3b|^2 = (a+3b)·(a+3b)a·a + 6a·b + 9b·b1 + 6cos60° + 913所以选项C正确。
5.已知ABCDEF是正六边形，且AB=a，AE=b，则BC=CD=DE=a-b，所以选项A正确。
6.设a，b为不共线向量，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，则AD=BC+CD=－9a-4b，所以选项C正确。
7.设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1+e2与e1+ke2共线，则有：ke1+e2 = λ(e1+ke2)k-λ)e1 + (1-λ)ke2 = 0由于e1和e2不共线，所以k-λ=0或1-λ=0，即k=λ或k=1/λ，所以选项C正确。
8.在四边形ABCD中，AB=DC，且AC·BD=0，所以四边形ABCD是矩形，所以选项A正确。
9.已知M(－2,7)、N(10,－2)，点P是线段MN上的点，且PN=－2PM，则P点的坐标为：P = (1/3)M + (2/3)N = (1/3)(-2,7) + (2/3)(10,-2) = (6,1)，所以选项C正确。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
故所求的向量或。
2 b ka t b20．解：（1）, 0. [( 3) ] ( ) 0.x y x y 即 a t2 22a b 0,a 4,b 1,4k t(t 3) 0,即k 142t(t 3).（2）由f(t)>0, 得1 2t(t 3) 0,即t(t 3) (t 3)0,则 3 t 0或4t 3.必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。
高一下学期人教版A版必修4第二章平面向量单元测试及答案
必修4第二章平面向量单元测试班级 座位号 姓名 分数一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案一、选择题(每题5分，共50分)1.若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A.6B.5C.4D.3 2.已知两个力1F 、2F 的夹角为90°，它们的合力F 的大小为10 N ，合力F 与1F 的夹角为60°，则1F 的大小为( )A.35 NB.5 NC.10ND.25 N 3.下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a ； ③若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；⑤若非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b ； ⑥对于任意向量a ，b ，有|a ＋b|≥|a －b|； 其中正确的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．54.若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ( )A )6,3(-B )6,3(-C )3,6(-D )3,6(-5.设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ）A (3,1)B (1,1)-C (3,1)或(1,1)- D 无数多个6.已知向量03≠=b a ，且关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3πC. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32π,3π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,6π 7.已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，b a +λ与b 垂直，则λ等于( )A.－1B.1C.－2D.2 8.向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于A 2-B 2 C.21 D 12-9.已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a ，0)、B (0，a )，其中常数a ＞0，点P 在线段AB 上，且有AB t AP = (0≤t ≤1)，则OP OA ⋅的最大值为( )A.aB.2aC.3aD.2a10.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AB=4,AC=3,则=⋅BC AD ( ) A 7- B 2 C 27-D 72二、填空题(每题5分，共20分)11.已知a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则b 在a 方向上的投影为 . 12.已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =13.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为14.已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________三、解答题(每题15分，共30分) 15.已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？16.如图2，在平行四边形ABCD ， CD CF CB CE AD AB 32,31,====b a ，. (1)用a ，b 表示EF ;(2)若4,1==b a ，∠DAB =60°，分别求EF 和FE AC ⋅的值.图2参考答案及点拨一、1.C 点拨:()()()30318,33,68=+=⋅=⋅-x x c b a ， ∴x ＝4.故选C. 2.B 点拨:1F ＝⋅F cos60°＝5 N. 3.A4. A 设(,2),0b ka k k k ==-<，而53||=b ，则2535,3,(3,6)k k b ==-=-5.C 设(,)P x y ，由AB =2AP得2AB AP =，或2AB AP =-，(2,2),(2,)AB AP x y ==-，即(2,2)2(2,),3,1,x y x y =-==(3,1)P ；(2,2)2(2,),1,1,x y x y =--==-(1,1)P -6.B 点拨:设a ，b 的夹角为θ，∵关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，∴∆＝b a a ⋅-2442≥0，即b a a ⋅≥62.∴θcos 62b a a ⋅≥，又∵03≠=b a .∴21cos ≤θ，∵π≤≤θ0，∴ππ≤≤θ3. 7.C 点拨:()23,4--+=+λλλb a ， ∵b a +λ与b 垂直，∴()()()()020********,423,4=+=---+=-⋅--+λλλλλ， ∴2-=λ.8.D (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=-，则121128,2m m m -+=+=-9.D 点拨: ∵AB t AP =，∴ ()()OB t OA t OA OB t OA AP OA OP +-=-+=+=1(),,at at a -=∴()t a OP OA -=⋅12，∵10≤≤t ，∴2a OP OA ≤⋅.10.c二、9.13 点拨: b 在a 方向上的投影为a b a ⋅=1313=13. 10. →→-b a 2 设c x a y b →=+，则(,2)(2,3)(2,23)x x y y x y x y +-=-+= 24,231,2,x y x y x y -=+===- 11.0120 221()0,0,cos 2a b a a b a a a b a ba bθ-+=+====-,或画图来做12.45-22222()2585a t b a t b a t a bt b t t +=+=++=++，当45t =-时即可三、13.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反 14.答图2分析：（1）利用向量的三角形法则和向量相等及其运算即可得出; （2）利用数量积运算法则和性质即可得出. 解：（1）如答图2所示，.313231323132b a +-=+-=-=-=AD AB CB CD CE CF EF(2) ∵,60,4,1︒=∠==DAB b a ∴.260cos =︒⋅⋅=⋅b a b a∴3329194943132222=+⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a a b a EF . 易知b a +=+=AD AB AC ，∴()43163232313132313222-=-+=-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=⋅b b a a b a b a FE AC .。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．夹角是锐角D ．夹角是钝角2．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．30,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C ．33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17115．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦6．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==7．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =B ．2AD DE =C ．2AB AC AD += D ．AB AC BC -=8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ） A ．8B ．4C ．6D ．39．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．210．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B C ．2D ．211．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知单位向量,a b 满足1a b +=，则|a b -=___________. 14．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________． 15．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 16．已知点()0,1A ，()3,2B，向量()4,3AC =，则向量BC =______.17．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，P ，Q分别为线段BC 和CD 上的动点，且BP BC λ=，16DQ DC λ=，则AP BQ 的最大值为_____________.18．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.19．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.20．已知(2,1)a =，(3,4)b =，则a 在b 的方向上的投影为________．三、解答题21．在ABC 中，3AB =，6AC =，23BAC π∠=，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点.（1）求中线AD 的长；（2）求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及AB ；（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +. 23．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 24．设()2,0a →=，(3b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值. 25．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ．3．B解析：B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a aππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而0a <或1a >． 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811 mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m-=.故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段MN的中点Q的轨迹方程为2234x y+=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ+=，求得PQ的取值范围，进而可求得PM PN+的取值范围.【详解】由1MN =，可知OMN为等边三角形，设Q为MN 的中点，且3sin602OQ OM==Q的轨迹为圆2234x y+=，又()3,4P，所以，33PO PQ PO-≤≤+，即3355PQ≤≤+.由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ+=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6． B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.7．C解析：C 【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C8．D解析：D【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF . 【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D. 【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．9．A解析：A 【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．10．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以2101,12AB CE CG CG===∴== 本题选择B 选项.11．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.12．B解析：B 【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λbc ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据条件两边平方进行数量积运算可求得然后根据即可求得答案【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题解题思路如下：（1）首先根据题中条件结合向量模的平【分析】根据条件1a b +=两边平方，进行数量积运算可求得21a b ⋅=-，然后根据2()a b a b -=-即可求得答案.【详解】因为1a b ==，1a b +=，所以2222()2221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=，所以21a b ⋅=-， 所以22()223a b a b a b a b -=-=-=-⋅=，【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题，解题思路如下：（1）首先根据题中条件，结合向量模的平方等于向量的平方，求得21a b ⋅=-； （2）之后再应用向量的模的平方等于向量的平方来求解.14．【分析】根据平面向量数量积的定义求出与并计算出平面向量的模再利用公式即可求解【详解】由平面向量的数量积的定义可得即所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义以及向量的【分析】根据平面向量数量积的定义求出12e e ⋅与a b ⋅，并计算出平面向量b 的模b ，再利用公式，即可求解. 【详解】由平面向量的数量积的定义，可得1221211cos11()322e e e e π⋅=⋅=⨯⨯-=-，222222111111()(2)22122a b e e e e e e e e ⋅=+-=+⋅-=--=，22221112221(2)4444()172e e e e e e b =-=-⋅+=-⨯-+=，即7b =，所以a 在b 方向上的投影为1727a b b⋅==.故答案为：714. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】 方法一：3cos 2OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内， 所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， ,设()1cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭， 又()(()1,0OC mOA nOB m n m =+=+=，得()1,=22m λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即=212m λλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3mn=. 故答案为：3.16．【分析】根据向量的坐标运算即可求出【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算向量模的坐标公式属于基础题目【分析】根据向量的坐标运算即可求出． 【详解】 因为()0,1A ，()3,2B，所以()3,1AB =，()()()4,33,11,2BC AC AB =-=-=，21BC ==【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目.17．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算求的解析式根据题意求出的取值范围再根据对勾函数的性质求最大值【详解】解：梯形中则解得；设则在上单调递增；时取得最大值故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量解析：76【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，求AP BQ 的解析式，根据题意求出λ的取值范围，再根据对勾函数的性质求最大值． 【详解】解：梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，BP BCλ=，16DQ DCλ=，则61()()()()6AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CDλλλ-=++=++2611666AB BC AB CD BC CB CDλλλλ--=+++26116122cos12021221()662λλλλ--=⨯⨯︒-⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-125536λλ=+-，011016λλ⎧⎪⎨⎪⎩，解得116λ；设125()536fλλλ=+-，则()fλ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；1λ∴=时()fλ取得最大值76，故答案为：76．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得AP BQ的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.18．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解．【详解】非零向量m→，n→满足4m→=3n→，cos m→〈，13n→〉=,n→⊥t m n→→⎛⎫+⎪⎝⎭,n→∴⋅22+||||cos,||t m n t m n n t m n m n n→→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-， 故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.19．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基解析：58【分析】将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC相关，可以求出 2223,827FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果.【详解】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==，2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58. 【点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．20．2【分析】根据向量在的方向上的投影为结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可求解【详解】由题意向量可得则在的方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应解析：2 【分析】根据向量a 在b 的方向上的投影为a b b⋅，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,1)a =，(3,4)b =，可得231410a b ⋅=⨯+⨯=，2345b =+=，则a 在b 的方向上的投影为1025a b b⋅==. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题21．（12 【分析】 （1）由于()12AD AB AC =+，进而根据向量的模的计算求解即可； （2）由于3144BM AB AC =-+，()12AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278BM AD ⋅=，故57cos BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】解:（1）由已知，236cos 93AB AC π⋅=⨯=-， 又()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644=-+=， 所以33AD =. （2）由（1）知，()131444BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+，所以()293117199361681616BM=⨯-⨯-+⨯=，从而3194BM =. ()311442BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，所以27cos8BM AD BM ADθ⋅=== 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，则()0,0A ，()3,0B ，(C -，因为D 为边BC 的中点，所以D ⎛ ⎝⎭，AD ⎛= ⎝⎭，所以332AD =.（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，0,4M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以9164BM ==，278BM AD ⋅=，所以27cos819BM AD BM ADθ⋅===. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()12AD AB AC =+，进而根据向量模的计算公式计算.22．（Ⅰ)(2,1)AB =-，5AB =Ⅱ)3t = 【分析】（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．【详解】（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =- ∴2||2AB ==（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+. ∵()tOC OB AB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t =【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系．23．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果；（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果； （3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=， 所以2244361aa b b-⋅-=.又4,3a b ==， 所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+ ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝14322⨯⨯⨯= 【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 24．（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x =-，2y =. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解. 【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=， ∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 62m bm bπ→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题. 25．（1）2）证明见解析. 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值；（2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论. 【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，故250t t -=⇒=， 即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+. ∴AB OB OA b =-=，2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ， 故A ，B ，C 三点共线． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题．26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦. 【详解】 （1）313cos32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a ab a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。
(word版)高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案,文档
一、选择题:(本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1．设点P〔3，-6〕，Q〔-5，2〕，R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，那么R点的横坐标为〔〕。
A、-9B、-6C、9D、62．=(2,3),b=(-4,7)，那么在b上的投影为〔〕。
A、B、C、D、3．设点A〔1，2〕，B〔3，5〕，将向量按向量=〔-1，-1〕平移后得向量为〔〕。
A、〔2，3〕B、〔1，2〕C、〔3，4〕D、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ABC是〔〕。
A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．||=4,|b|=3,与b的夹角为60°，那么|+b|等于〔〕。
A、B、C、D、6．O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，那么〔〕。
A、B、C、D、7．O 是ABC所在平面上一点，且满足条件，那么点O是ABC的〔〕。
A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，那么以下4个命题：(1)(·b)2=2·b2(2)|+b|≥|-b|(3)|+b|2=(+b)2(4)(b)-(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是〔〕。
A、1B、2C、3D、49．在ABC中，A=60°，b=1，，那么等于〔〕。
A、B、C、D、10．设、b不共线，那么关于x的方程x2+bx+=0的解的情况是〔〕。
A、至少有一个实数解C、至多有两个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题B、至多只有一个实数解D、可能有无数个实数解4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，那么ABCA=_________ 12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
高一数学必修四第二章平面向量检测题 人教版(附答案解析)
数学必修四 第二章平面向量检测题一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋)，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．A ．2B ．4C ．6D ．128．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，(第1题)则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足＝AB＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE (利用向量证明)．20．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值．(第19题)参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向． 2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴∥BC 且||≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵3＝45，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥，∴AB ·＝0， ∴ AB ·＋·CA ＋CA ·AB ＝·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2＝－25．思路2：∵3＝45，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB＝53，cos ∠BCA ＝BC CA＝54． 根据数积定义，结合图(右图)知·BC ＝0， ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·＋·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于点E ，则＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴ ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ ＝21(＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ ＝－＝－21＝－21(－27，－4)＝(47，2)． 19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．(第18题)∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
高中数学 第二章 平面向量综合测试题(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)
高中数学第二章平面向量综合测试题（含解析）新人教A版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量综合测试题（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量综合测试题（含解析）新人教A版必修4的全部内容。
平面向量 综合测试题（时间：120分钟 满分:150分）学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
向量a ，b ,c ，实数λ，下列命题中真命题是（ ）A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λ a ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ·b ＝a ·c ,则b ＝c2．已知向量a ＝（1，0）与向量b ＝（－1，错误!），则向量a 与b 的夹角是（ ）A 。
错误!B 。
错误!C.错误! D 。
错误!3。
设P 是△ABC 所在平面内的一点,错误!＋错误!＝2错误!，则( )A 。
错误!＋错误!＝0 B.错误!＋错误!＝0C.错误!＋错误!＝0D.错误!＋错误!＋错误!＝04．已知向量a ＝(2，3)，b ＝（－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则错误!＝( ）A ．－2B ．2C ．－错误!D 。
错误!5．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·（a ＋2b ）＝( ）A ．4B ．3C ．2D ．06．已知点A （－1,1），B (1,2)，C (－2，－1），D （3，4），则向量错误!在错误!方向上的投影为( ）A 。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ） A ．23B ．72C ．103D ．432．已知向量,a b ，满足||1,||2a b ==，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤，则向量,a b 的夹角的取值范围是（ ）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为34．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 5．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．6．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A．3 B．2 C ．52D．327．已知非零向量,OA a OB b==，且BC OA⊥，C为垂足，若(0)OC aλλ=≠，则λ等于( )A．a ba b⋅B．2a ba⋅C．2a bb⋅D．a ba b⋅8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且2DE AE=，2CF BF=．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PFλ=成立的点P有（）个．A．2 B．4 C．6 D．09．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若2FP QF=，则||QF=（）A．8 B．4 C．6 D．310．已知O是三角形ABC内部一点，且20OA OB OC++=，则OAB∆的面积与OAC∆的面积之比为（）A．12B．1 C．32D．211．已知ABC∆为等边三角形，则cos,AB BC=( )A ．3B．12-C．12D312．ABC是边长为23的正三角形，O是ABC的中心，则()()OA OB OA OC+⋅+=（）A．2 B．﹣2 C．634-D．634-二、填空题13．已知平面向量,,a b c满足()()||2,||2||a cbc a b a b-⋅-=-==.则c的最大值是________.14．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为1F，2F，且12F F=，1F与2F的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[]0,π； ③当2πθ=时，1F G =；④当23πθ=时，1F G =.其中正确结论的序号是______.15．已知向量2a =，1b =，223a b -=，则向量a ，b 的夹角为_______. 16．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 17．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 18．已知点()0,1A ，()3,2B，向量()4,3AC =，则向量BC =______.19．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.20．已知a →，b →为单位向量，2c a b →→→=-，且,3a b π→→<>=，则,a c →→〈〉=________．三、解答题21．已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且()01AP AB λλ=≤≤. （1）若等边三角形ABC 的边长为6，且13λ=，求CP ； （2）若CP AB PA PB ⋅≥⋅，求实数λ的取值范围. 22．已知||6a =，||4=b ，(2)(3)72a b a b -⋅+=-. （1）求向量a ，b 的夹角θ； （2）求|3|a b +.23．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =，()3,b k =-，()2,4c =-.（1）若()//(2)ma c a c +-，求m ； （2）若()a a b ⊥+，c a b λμ=+，求λμ+.24．已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =． （1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标．25．对于任意实数a ，b ，c ，d ，表达式ad bc -称为二阶行列式（determinant ），记作a b c d，（1）求下列行列式的值：①1001；②1326；③251025--； （2）求证：向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=；（3）讨论关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.26．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值； （2）若2t =，求向量a ，b 的夹角.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b bb λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立；所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=2．B解析：B 【分析】根据向量不等式得到7a b +≤，平方得到1a b ⋅≤，代入数据计算得到1cos 2α≤得到答案. 【详解】由||1a =，||2b =，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤ 可得：()()27a b c a b c a c b c +⋅≤+⋅≤⋅+⋅≤ 可得:()227a b +⋅≤,7a b +≤平方得到2227a b a b ++⋅≤，即1a b ⋅≤1cos 1,cos ,23a b a b παααπ⋅=⋅≤∴≤∴≤≤故选：B 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键.3．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．4．A解析：A 【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大， 而由x+y=11x ⎧⎨=⎩ 可得A （1，0），此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1B ．2C ．3D ．42．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．123．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）A ．10B ．210C ．10D ．204．设平面向量()a=1,2，()b=2,y -，若a b ，则2a b -等于（ ） A ．4B ．5C ．35D ．455．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为36．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭，7．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣8．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-9．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ） A ．18-B ．116-C ．316-D ．010．如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P 的中心，18PP x ⊥轴，若坐标轴上的点M （异于点O ）满足0i j OM OP OP ++=（其中1,8i j ≤≤，且i 、j N *∈），则满足以上条件的点M 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-12．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．23二、填空题13．已知单位向量,a b 满足1a b +=，则|a b -=___________.14．O 为坐标原点，已知向量()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+，则OD 的最小值为_______________15．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.16．如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.17．已知(2,1)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则b =__________18．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.19．在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.20．已知平面单位向量a ，b 满足1a b -≤．设向量2a b +与向量2a b -的夹角为θ，则cos θ的最大值为______． 三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .22．已知()1,2a =，()2,1b =-，k 为何值时， （1）ka b +与a b -垂直？ （2）ka b +与a b -平行？23．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值. （2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小.24．已知()sin ,a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数3()2f x a b =⋅+． （1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）若方程1()3f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，求()12cos x x +的值．25．设()2,0a →=，(b →=.（1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值；（2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值. 26．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，()n a kb k R =-∈. （1）若n 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；（2）若向量()1,1c =-，且n 与向量kb c +平行，求实数k 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．3．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．4．D解析：D 【分析】利用向量共线定理即可得出y ，从而计算出2a b -的坐标，利用向量模的公式即可得结果. 【详解】//,220a b y ∴-⨯-=，解得4y =-，()()()221,22,44,8a b ∴-=---=，2248a b ∴-=+= D.【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．6．D解析：D 【分析】设出(,)c x y =，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解. 【详解】设(,)c x y =，向量()1,2a =，()2,3b =-，可得(1,2),(3,1)c a x y a b +=+++=-， 由()//c a b +，可得3(1)2(2)x y -⨯+=+，即3270x y ++=， 由()c a b ⊥+，可得30x y -=， 联立方程组327030x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得77,93x y =-=-，即77(,)93c =--.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.8．B解析：B 【分析】求出2a b -)2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.9．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，2t ≤，则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，C ，设()0,P t ，其中t ≤1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-． 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.10．D解析：D 【分析】分点M 在x 、y 轴进行分类讨论，可得出点i P 、j P 关于坐标轴对称，由此可得出点M 的个数. 【详解】分以下两种情况讨论：①若点M 在x 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于x 轴对称，由图可知，1P 与8P 、2P 与7P 、3P 与6P 、4P 与5P 关于x 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个；②若点M 在y 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于y 轴对称，由图可知，1P 与4P 、2P 与3P 、5P 与8P 、6P 与7P 关于y 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个.综上所述，满足题中条件的点M 的个数为8.故选：D. 【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.11．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．12．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+，因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】根据条件两边平方进行数量积运算可求得然后根据即可求得答案【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题解题思路如下：（1）首先根据题中条件结合向量模的平【分析】根据条件1a b +=两边平方，进行数量积运算可求得21a b ⋅=-，然后根据2()a b a b -=-即可求得答案.【详解】因为1a b ==，1a b +=，所以2222()2221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=，所以21a b ⋅=-， 所以22()223a b a b a b a b -=-=-=-⋅=，【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题，解题思路如下：（1）首先根据题中条件，结合向量模的平方等于向量的平方，求得21a b ⋅=-； （2）之后再应用向量的模的平方等于向量的平方来求解.14．【分析】根据题意得表示的区域为及内部的点进而得当时取得最小值再计算即可得答案【详解】又为非负实数且所以表示的区域为及内部的点当时取得最小值因为所在的直线方程为即则取得最小值为故答案为：【点睛】本题考解析：【分析】根据题意得D 表示的区域为ABC 及内部的点，进而得当⊥OD AB 时，OD 取得最小值，再计算即可得答案.【详解】()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，又,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+， 所以D 表示的区域为ABC 及内部的点， 当⊥OD AB 时，OD 取得最小值， 因为AB 所在的直线方程为()()5251114y x x --=-=---，即60x y +-=， 则OD 取得最小值为322=. 故答案为：32.【点睛】本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确D 表示的区域，是中档题.15．【分析】根据向量线性关系的几何应用有令结合已知条件有即可列方程组得到关于k 的表达式表示x+y 最后由基本不等式即可求得最小值【详解】由题意连接可得如下示图∵在△ABC 中＝2即有若令则有又＝x ＝y （x ＞ 解析：213+【分析】根据向量线性关系的几何应用有1233AD AB AC =+，令DE k DF =结合已知条件有11x kyAD AB AC k k =+++，即可列方程组，得到关于k 的表达式表示x + y ，最后由基本不等式即可求得最小值 【详解】由题意，连接AD 可得如下示图∵在△ABC 中BD ＝2DC ，即有1233AD AB AC =+ 若令DE k DF =，则有111kAD AE AF k k =+++ 又AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0） ∴11x kyAD AB AC k k =+++ 即113213x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩有1(1)321(1)3x k y k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(0)k > ∴22221113333k k x y k k +=++≥⋅=+2k = min 22()13x y +=+故答案为：221+【点睛】本题考查了向量线性关系的几何应用，及利用基本不等式求最值，通过定向量与其它向量的线性关系找到等量关系，进而构建函数并结合基本不等式求最值16．【分析】利用表示向量再由可求得实数的值【详解】所以则为线段的中点则因此故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数考查计算能力属于中等题解析：14-【分析】利用AB 、AC 表示向量AD ，再由12AE AD =可求得实数λ的值. 【详解】()22BC CD BD BC ==-，所以，32BD BC =， 则()33132222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， E 为线段AD 的中点，则11332444AE AD AB AC AB AC λ==-+=+，因此，14λ=-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】根据向量垂直得数量积为0从而求得的值利用求模公式求得向量的模【详解】若则即求得故故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法意在考查学生的数学运算的学科素养属中档题【分析】根据向量垂直得数量积为0，从而求得t 的值，利用求模公式求得向量的模. 【详解】(2,1)a =-，(1,)b t =，2a b -()3,2t =--，若(2)a b a -⊥，则(2)0a b a -⋅=，即()620t ++=，求得8t故 b ==【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.18．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC=++，所以()()350 OA AB AO AC AO+-+-=，所以935AO AB AC=+，即1539AO AB AC=+.因为BD DCλ=，即()AD AB AC ADλ-=-,化简得111AD AB ACλλλ=+++，设11k kAO k AD AB ACλλλ==+++，所以113519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题解析：53-【分析】用AB、AC表示向量MB、MC，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC⋅的值.【详解】O为BC的中点，()12AO AB AC∴=+，3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=，()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC ∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】设的夹角为由题可得则可化简得出即可求出最值【详解】是单位向量设的夹角为则由可得即可得则当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题考查数量积的运算律解题的关键是先得出的夹角为满足的再将所求化为可求解析：14-【分析】设,a b 的夹角为α，由题可得1cos 2α≥，则可化简得出cos θ=-求出最值. 【详解】,a b 是单位向量，1a b ∴==，设,a b 的夹角为α，则由1a b -≤可得21a b -≤，即222cos 1aa b b α-⋅⋅+≤，可得1cos 2α≥， 则()()22222222cos 224444a b ab a b a ba ab b a a b bθ+⋅-==+⋅-+⋅+⋅-⋅+==-=- 当1cos 2α=时，cos θ取得最大值为14-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查数量积的运算律，解题的关键是先得出,a b 的夹角为α满足的1cos 2α≥，再将所求化为cos θ=-. 三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1）1（2）-1【分析】（1）分别表示出ka b +与a b -，再利用数量积为0求解即可； （2）若ka b +与a b -平行，则等价于22131k k -+=，化简即可； 【详解】 （1）()()()1,22,12,21ka b k k k +=+-=-+()3,1a b -=当()()ka a b b +⊥-时()()2,213,10k k -+⋅=36210k k ∴-++= 1k ∴=时()()ka a b b +⊥-（2）当()ka b +与()a b -平行时22131k k -+= 1k ∴=-1k ∴=-时，()ka b +与()a b -平行【点睛】本题考查向量加法与减法的坐标运算，由两向量平行与垂直求参数，属于基础题 23．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+， 则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±，故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-，所以()()22233520a b a b a a b b+⋅-=+⋅-=，令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=.【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λab ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.24．（Ⅰ）5()212k x k Z ππ=+∈; （Ⅱ）13. 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标表示求出()f x ,利用二倍角公式与辅助角公式化简()f x ，结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；（2）由方程1()3f x =在()0,π（上的解为12,x x ，及正弦函数的对称性可求12x x +，进而可得结果． 【详解】解：(),a sinx =，(),b cosx cosx =-，()2311212222232cos x f x a b sinxcosx x sin x sin x π+⎛⎫∴=⋅+===-- ⎪⎝⎭()1令112232x k πππ-=+可得512x k ππ=+，k z ∈∴函数()f x 图象的对称轴方程512x k ππ=+，k z ∈ ()2方程()13f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，由正弦函数的对称性可知12526x x k ππ+=+，1x ，()20,x π∈，()1212562x x cos x x π∴+=∴+=-.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 25．（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x =-，2y =. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解. 【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=， ∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 62m bm bπ→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题.26．（1）53-；（2）12-. 【分析】 （1）求出()3,12n k k =--+，解方程(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=即得解；（2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，解方程(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+即得解.【详解】（1）由已知得()3,12n a kb k k =-=--+，()27,4a b -=-，所以()20n a b ⊥-=，即(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=， 解得53k =-； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，因为()//n kb c +，所以(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+， 解得12k =-. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭， 当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭， 据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-， 由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2） 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】 （1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 （1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】 （1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点， 所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝， 所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -． 所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1， 故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =， 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-， 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<， 则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-， 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=， 故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。
(完整)高一数学必修四平面向量测试题及答案,推荐文档
7. ・一> r亠，则点O 是厶ABC W （ 、外心 4个命题：O 是厶ABC 所且满足条件C、内心 设八、b 、 均为平面内任意非零向量且互不共线, （1）（ ” • b ）2= ” 2 • b 2（2）|“ +b | > | “ -b |（4）（ b 厂）“ -（—a ） b 与『不A 8. D则下列（3）| 訂 +b | 2=（和 +b ）2定垂直。
其中真命题的个数是（ C9. 在厶ABC 中, A=60°, b=1,:;匸一 1 : L. _ : _ 等于(26^3~3~10.设订、b 不共线，则关于A 至少有一个实数解C 至多有两个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题 的方程 打x 2+b x+ T=0的解的情况是（11.在等腰直角三角形ABC 中，斜边 AC=2£2，贝U AB CA = ________12.已知ABCDE 为正六边形，且 AC =a , AD =b ,则用a , b 表示AB 为 ____________ . 13 .有一两岸平行的河流，水速为1，速度为*的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝第二章平面向量测试题、选择题：（本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设点 P (3, -6 ), Q (-5 , 2), R 的纵坐标为-9，且P 、Q R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ）A -9 B、-6 C 、9 D 、6 2.已知卫=（2,3）, b =(-4,7)，贝U N 在b 上的投影为（ ）。
•-佢AV13B、 ： C 、 1D. 十—>3.设点A (1 , 2), B （ 3, 5）,将向量毘E 按向量d =（ -1 , -1 ）平移后得向量三丄为（）。
A (2, 3) B、(1, 2) C 、(3, 4) D 、(4, 7)4.若（a+b+c ）（b+c-a ）=3bc ，且 sinA=sinBcosC ，那么△ ABC >（）。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(含答案解析)
一、选择题1．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ）A ．4B ．25C ．3+D ．62．已知向量,a b ，满足||1,||2a b ==，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤，则向量,a b 的夹角的取值范围是（ ）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）A B ．210C ．10D ．204．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．25．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定6．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．37．已知向量1,22AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，5AC =，3AB BC ⋅=，则BC =（ ）A ．3B ．C ．4D ．8．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．29．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（ ）A B ．C ．D 10．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B C ．2D 11．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-12．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A ．2BCD 二、填空题13．已知在ABC 中，AB =5AC =，6A π∠=.若()0BE AC λλ=<，AE BE =，则AE BC ⋅=_____.14．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 15．已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________. 16．已知点()0,1A ，()3,2B，向量()4,3AC =，则向量BC =______.17．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.18．已知,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角是120，||a b -=_________________. 19．已知P 为圆22(4)2x y +-=上一动点，点()1,1Q ，O 为坐标原点，那么OP OQ ⋅的取值范围为________．20．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．三、解答题21．如图，在菱形ABCD 中，1,22BE BC CF FD ==.（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值； （2）若||6,60AB BAD =∠=︒，求AC EF ⋅.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)A --，()2,3B ，(2,1)C --． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在y 轴上一点P 满足BC AP ⊥，求BPC ∠． 23．已知||2,||3,a b a ==与b 的夹角为120°． （1）求(2)(3)a b a b -⋅+与||a b +的值； （2）x 为何值时，xa b -与3ab 垂直？24．已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 25．已知(2,0)a=，||1b =．（1）若a 与b 同向，求b ；（2）若a 与b 的夹角为120，求a b +． 26．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值； （2）若a b ⊥，求||a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1a a b =-=， 所以22222cos ,1a a ba ab a b b =-=-〈〉+=，则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-， 所以2b t =， 则()23232a b a b -=-22124a a b t b =-+== ()2222a b a b a a b t b +=+=++418t t =+=+，所以29832a b a b t -+-=+，利用基本不等式知：2a b a b +≤+≤，≤=，=此时t =.则32a b a b -++的最大值为 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，最后利用基本不等式即可解决.2．B【分析】根据向量不等式得到7a b +≤，平方得到1a b ⋅≤，代入数据计算得到1cos 2α≤得到答案. 【详解】由||1a =，||2b =，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤ 可得：()()27a b c a b c a c b c +⋅≤+⋅≤⋅+⋅≤ 可得:()227a b +⋅≤,7a b +≤平方得到2227a b a b ++⋅≤，即1a b ⋅≤1cos 1,cos ,23a b a b παααπ⋅=⋅≤∴≤∴≤≤故选：B 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键.3．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．4．C解析：C根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA ≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.6．C解析：C由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,3BD CD ==，所以3AD CD ==，26AC CD ==，所以32cos63()342AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.7．B解析：B 【分析】首先设出点A （0,0）、C （x ，y ）的坐标，由已知条件5AC =，3AB BC ⋅=列出关于x 、y 的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量BC 的坐标形式，并表示出向量BC 的模，将以上列出的关于x 、y 的式子整体带入即可求得BC .【详解】 设(0,0)A ,(),C x yBC AC AB =-()13,2x y ⎛ ⎝- =⎭13,2x y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭= 3AB BC ⋅=1313,,32222x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即38x y += （1）5AC =又2225x y ∴+= （2）2213()22C x y B ⎛⎫-+- ⎪ ⎝=⎪⎭ 22(3)1x y x y =+-++将（1）（2）代入上式解得：258132BC =-+=故选B 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点C 的坐标然后再求解向量BC 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.8．A解析：A 【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．9．B解析：B 【分析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥， 对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==，∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立， ∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos 12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos 3θ=-， 又0πθ≤≤，∴sin 3θ==， ∴sin 3tan 2cos 3θθθ===-.故选：B . 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以2101,12AB CE CG CG===∴== 本题选择B 选项.11．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．12．B解析：B 【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，，设点P 为(,)x y ，05x ，03y，3255AP AB AC λ=-，(x ∴，3)(55y=，20)(55λ-，53)(32λ=-，23)λ-，∴3223xyλλ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3(3)y x∴=-，①直线BC的方程为5x=，②，联立①②，得523xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，此时||AP最大，22||5(23)37AP∴=+=．故选：B．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题．二、填空题13．-1【分析】利用已知可得从而求得即可得再运算向量的数量积的运算律即可【详解】解：如图∵∴∵∴在中∵∴∵∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查向量的线性关系向量的数量积运算律属于中档题解析：-1【分析】利用已知可得//BE AC，6ABE BAEπ∠=∠=，从而求得2AE BE==，即可得25BE AC=-，再运算向量的数量积的运算律即可.【详解】解：如图，∵()0BE ACλλ=<，∴//BE AC，∵AE BE =，6A π∠=.∴在ABE △中，6ABE BAE π∠=∠=，∵23AB =，∴2AE BE ==，∵5AC =，∴25BE AC =-， ∴()()AE BC AB BEAC AB ⋅=+-()25AB AC AC AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2272732235122555525AB AC AB AC =⋅--=⨯⨯⨯--⨯ 1=-.故答案为：-1.【点睛】本题考查向量的线性关系，向量的数量积运算律，属于中档题.14．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以 解析：32【详解】 两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以3k =.15．【分析】易得结合可得又可得即可求解【详解】则则又故答案为：【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算考查了向量模的三角不等式的应用考查计算能力属于中等题解析：5⎡⎣【分析】 易得()2225a b+=，结合()()22225a ba b+≤+=，可得5a b +≤.又a b a b +≥±，可得2a b ±≥，即可求解.【详解】1a b +=，2a b -=，2221a a b b ∴+⋅+=，2224a a b b -⋅+=，()2225a b∴+=，则()()22225a ba b+≤+=，则5a b +≤.又a b a b +≥±，2a b ∴+≥，25a b ∴≤+≤.故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算，考查了向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】根据向量的坐标运算即可求出【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算向量模的坐标公式属于基础题目【分析】根据向量的坐标运算即可求出． 【详解】 因为()0,1A ，()3,2B，所以()3,1AB =，()()()4,33,11,2BC AC AB =-=-=，21BC ==【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目.17．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.18．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题 3【分析】根据数量积公式得出a b ⋅的值，再由2||()a b a b -=-得出答案. 【详解】111cos1202a b ⋅=⨯⨯︒=-22222||()2||2||1113a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=++=3【点睛】本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题.19．【分析】先将圆的方程化为参数方程设利用数量积运算结合三角函数的性质求解【详解】因为圆的方程所以其参数方程为：设所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函 解析：[2,6]【分析】先将圆的方程化为参数方程,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，设,4)P θθ+，利用数量积运算结合三角函数的性质求解. 【详解】因为圆的方程22(4)2x y +-=，所以其参数方程为：,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设,4)P θθ，所以2cos (4)2sin()44πθθθ⋅=++=++OP OQ ，因为[]sin()1,14πθ+∈-，所以[2,6]⋅∈OP OQ . 故答案为：[2,6] 【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）1-；（2）9-. 【分析】（1）利用平面向量基本定理，取AB AD 、为基底，利用向量加减法可解； （2）把所有的向量用基底AB AD 、表示后，计算AC EF ⋅. 【详解】解：（1）因为1,22BE BC CF FD ==， 所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=-，所以21,32x y =-=， 故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. （2）∵AC AB AD =+， ∴2212121()23236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅⎪⎝⎭∵ABCD 为菱形∴||=||6AD AB = ∴2211||||cos 66AC EF AB AB BAD ⋅=--∠. 11136369662=-⨯-⨯⨯=-，即9AC EF ⋅=-. 【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.22．（1）；（2） 【分析】（1）计算AB AC +和AB AC -可得；（2）先求出P 点坐标，再求PB 和PC 的夹角即得． 【详解】（1）由题意(3,5)AB =，(1,1)AC =-，(2,6)AB AC +===(4,4)AB AC -==所以所求对角线长为 （2）设(0,)P y ，则由BC AP ⊥得3(1)(2)12(2)0(1)y ----⨯=-----，3y =-，即(0,3)P -，(2,6)PB =，(2,2)PC =-，cos 2PB PC BPC PB PC⋅∠===所以BPC ∠= 【点睛】关键点点睛：根据向量加减法的几何意义，以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的对角线长就是,AB AC 和与差的模．而求BPC ∠，可以算作是,PB PC 的夹角，也可以用两直线的夹角公式求解．23．（1）34-2）当245x =-时，xa b -与3a b 垂直．【分析】（1）先由数量积的定义求出3a b ⋅=-，由数量积的运算性质可得22(2)(3)253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-，222||||2a b a b a a b b +=+=+⋅+，将条件及a b ⋅的值代入，可得答案. （2）由xa b -与3a b 垂直，可得22()(3)(31)30xa b a b xa x a b b -⋅+=+-⋅-=，将条件代入可求出x 的值.【详解】（1）||||cos ,23cos1203a b a b a b ︒⋅=〈〉=⨯⨯=-．22(2)(3)25324153934a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯--⨯=-．222||||2469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=（2）因为()(3)xa b a b -⊥+，所以22()(3)(31)3493270xa b a b xa x a b b x x -⋅+=+-⋅-=-+-=，即245x =-． 所以当245x =-时，xa b -与3a b 垂直．【点睛】本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题. 24．（1）23λ=；（2）12-. 【分析】（1）先建立方程131cos 03πλ-⨯⨯⨯=，再求解出23λ=即可. （2）先求出()332n n m ⋅-=，再求出33n m -=，接着求出1cos 2θ=，最后求cos2θ. 【详解】解：（1）由()2131cos03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求参数、平面向量的夹角公式、差向量的模的求法、二倍角的余弦公式，是中档题.25．（1）(1,0)b =；（2）3(,2a b +=-或33(,2a b +=． 【分析】（1）先设(,)b x y =，再根据向量共线定理即可求解即可； （2）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解． 【详解】解：（1）设(,)b x y =，由题意可得，存在实数0λ>，使得b a λ=， 即(x ，)(2y λ=，0)(2λ=，0)，所以2x λ=，0y =， 由||1b =可得241λ=，即12λ=或12λ=-（舍)，所以(1,0)b =， （2）设(,)b x y =，所以1·cos12021()12a b a b =︒=⨯⨯-=-， 又因为()()·2,0,2a b x y x =⋅=，故21x =-即12x =-，因为||1b =，所以221x y +=，故y =当2y =，12x =-时，33(,2a b +=，当y =12x =-时，3(,2a b +=-．【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档试题．26．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-；（2）由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=，所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =．【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.。
高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案)
《平面向量》测试卷考试时间：120分钟满分：150分一.选择题.(本大题共1２小题,每小题5分,共6０分) 1.对于任意向量a b 和，下列命题中正确的是（)A.若,a b 满足a b >,且a b 与同向,则a b >B.a b a b +≤+ C ．a b a b ⋅≥ D.a b a b -≤-2.已知平面向量(1,1),(1,1)a b ==-，则向量1322a b -等于（)A ．(2,1)--ﻩ B.(2,1)- Ｃ.(1,0)- D.(1,2)- 3．下列各组向量中，可以作为基底的是（） A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D .1213(2,3),(,)24e e =-=-4.已知5,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则（ ) A.A B D 、、三点共线B.A B C 、、三点共线 C.B C D 、、三点共线Ｄ.A C D 、、三点共线５.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b AC c ===则a b c ++等于（) A.0Ｂ.32Ｄ.226.已知,,,,OA a OB b OC c OD d ====且四边形ABCD 为平行四边形，则() A.0a b c d +++=Ｂ.0a b c d -+-= C.0a b c d +--=D ．0a b c d --+=7.若(2,3),(4,7)a b ==-,则b a 在方向上的投影为()36513565８.在三角形ABC 中,,AB c AC b ==，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ )Ａ.2133b c + Ｂ．5233b c - C.2133b c - D.1233b c + ９.如图，正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++=（) A.0B.BE Ｃ.AD D ．CF10.已知点O N P 、、在三角形ABC 所在平面内，且OA OB OC ==,0NA NB NC ++=,PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则点O N P 、、依次是三角形ABC 的（ )A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心 11.如图，三角形OAB 中,3,2ON NA OM MB ==,AM 和BN 交于点G ,OG mOA nOB =+,则（）AA.11,23m n ==B.11,32m n ==C.11,63m n ==D.11,26m n ==１２.定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下:对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令a b mq np ⊗=-．下列说法错误的是（ ）Ａ.若a b 与共线，则0a b ⊗= B.a b b a ⊗=⊗C.,R λ∈∀都有()()a b a b λλ⊗=⊗D.2222()()a b a b a b ⊗+⋅= 二.填空题．（本大题共４小题，每小题5分,共20分）１3.已知向量(2,1),(1,),(1,2)a b m c =-=-=-,若a b +平行于c ，则m =.14.已知三角形ABC 的三个顶点坐标分别为(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C ,则tan A 的值为. １5.我们知道，(1,0),(0,1)a b ==是一组单位正交基底.请再任意写出一组单位正交基底.１6.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为，DE DC ⋅的最大值为．三.解答题．（本大题共6小题，其中17题１0分，其余5个小题每题１2分,共70分)17.平面向量的数量积a b ⋅是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等、三角形的三条中线交于一点、三角形的三条垂线交于一点、三角形的三条角平分线交于一点等．请选择其中一个命题,给出具体证明.18．已知平面直角坐标系中，点O 为原点,(3,4),(5,12)A B ---. (1)求AB 的坐标及AB ;（2）若,OC OA OB OD OA OB =+=-,求OC 及OD 的坐标; (3）求OA OB ⋅．１9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ----. (1)求以线段,AB AC (２）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅=,求实数t 的值 20.如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==, 点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上, 若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值．21．已知,m n 为单位向量，夹角为3π． (1）求cos 35,2m n m n 〈+-〉；（2)若22,3m n km n π〈-+〉=,求实数k 的值．2２.已知(2,1),(3,2),(1,4)A B D -.(１）求证：AB AD ⊥；(２）若四边形ABCD 是矩形，试确定C 点的坐标;(3)若点M 为直线OD 上的一个动点，当MA MB ⋅取最小值时，求OM 的坐标.《平面向量》答案解析一.选择题．(本大题共12小题,每小题5分,共６０分)BDBAD BAADC AB二.填空题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．1- 14．43１5.(cos ,sin ),(sin ,cos )a b θθθθ==-(答案不唯一) １６.1,1三.解答题.（本大题共6小题,其中17题１0分，其余5个小题每题12分,共70分)22222222=,2=+==(+)2ABC C AB AC CBAB AC CBAB AB AC CB AC CB AC CB AC CBAC π=+∴=++⋅⊥∴17.解:勾股定理：三角形中，不妨设则有 证明： 又2220CB AB AC CB⋅=∴=+18.(1)(8,8),82(2)(3,4)(5,12)(2,16)(3,4)(5,12)(8,8)(3)(3,4)(5,12)33AB AB OC OD OAOB =-==--+-=-=----=-⋅=--⋅-=解:19.(1)(3,5),(1,1),(2,6),(4,4)210,42(2)(2,1)AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC OC AB tOC ==-+=-=∴+=-=∴=--∴-=解：由题意知则 所求的两条对角线长分别为 (3,5)(2,)(23,5)()(23,5)(2,1)511()05110115t t t t AB tOC OC t t t AB tOC OC t t ---=++∴-⋅=++⋅--=---⋅=∴--=∴=-220.,(1)()()222(1)2DF xAB CF x ABAB AF AB AD DF AB AD xAB xAB xxBF BC CF BC ABAE==-⋅=⋅+=⋅+==∴=∴=+=+-∴解:方法一：设则222()(1)212()(1)2211)2211)2422BF AB BE BC ABAB BC BCABAB BC⎡⎤⋅=+⋅+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⋅+-⎢⎥⎣⎦=-+=-⨯+⨯=方法二：以(0,0),(2,0),(2,1),(,2)(2,0),(,2),(2,1),(2)2(,2)1(2A AB x AD yA B E F xAB AF x AE BF xAB AFxxAE BF∴====-⋅=∴⋅=∴=∴⋅=为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则(12)⋅-=121.(1)29(35)(2),357,232(35)(2)33cos35,2143523(2)(2)(),223,a bm n m n m n m nm n m nm n m nm n m nm n km n km n km⋅=∴+⋅-=+=-=+⋅-∴〈+-〉==+--⋅+=-=解:由题意知232cos31,1()2n k kkk kπ+=+∴=∴=-=或舍(1)(1,1),(3,3),0(2)(,),(3,3)(3,2)0,5(0,5)(3)(,),(,),(AB AD AB AD AB ADC x y AD BC x y x y C M a b OM a b OD ==-∴⋅=∴⊥=-=--∴==∴==-22.解:由题意得 设则由得 设则21,4),,144(2,1)(3,2)(2,14)(3,24)1778714,3417O M D a bb aMA MB a b a b a a a a a a a MA MB b ∴=-∴=-∴⋅=--⋅--=-+⋅-+=++∴=-⋅=三点共线 当,时可取得最小值，此时 714(,)3417OM ∴=-。
新课标人教版高一数学必修4第二章平面向量练习题及答案全套
新课标⼈教版⾼⼀数学必修4第⼆章平⾯向量练习题及答案全套第⼆章平⾯向量 21 平⾯向量的实际背景及基本概念 1下列各量中不是向量的是com C位移 D密度 2下列说法中错误的是 A零向量是没有⽅向的 B零向量的长度为0 C零向量与任⼀向量平⾏ D零向量的⽅向是任意的 3把平⾯上⼀切单位向量的始点放在同⼀点那么这些向量的终点所构成的图形是 A⼀条线段B⼀段圆弧C圆上⼀群孤⽴点 D⼀个单位圆 4下列命题①⽅向不同的两个向量不可能是共线向量②长度相等⽅向相同的向量是相等向量③平⾏且模相等的两个向量是相等向量④若a≠b则a≠b 其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中正确的是若则 B 若则 C 若则D 若则 6在△ABC中ABACDE分别是ABAC的中点则 A 与共线 B 与共线C 与相等D 与相等7已知⾮零向量a‖b若⾮零向量c‖a则c与b必定8已知ab是两⾮零向量且a与b不共线若⾮零向量c与a共线则c与b必定9已知1 2若∠BAC60°则 10在四边形ABCD中且则四边形ABCD是22 平⾯向量的线性运算 com 向量的加法运算及其⼏何意义 1．设分别是与向的单位向量则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 2在平⾏四边形中ABCD则⽤ab表⽰的是 A．a＋a B．bb C．0 D．a＋b 3若则 A⼀定可以构成⼀个三⾓形 B⼀定不可能构成⼀个三⾓形 C都是⾮零向量时能构成⼀个三⾓形 D都是⾮零向量时也可能⽆法构成⼀个三⾓形 4⼀船从某河的⼀岸驶向另⼀岸船速为⽔速为已知船可垂直到达对岸则 AB C D 5若⾮零向量满⾜则comＤ 6⼀艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶船的实际航⾏的速度的⼤⼩为求⽔流的速度 7⼀艘船距对岸以的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶到达对岸时船的实际航程为8km求河⽔的流速 8⼀艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶同时河⽔的流速为船的实际航⾏的速度的⼤⼩为⽅向与⽔流间的夹⾓是求和 9⼀艘船以5kmh的速度在⾏驶同时河⽔的流速为2kmh则船的实际航⾏速度⼤⼩最⼤是kmh最⼩是kmh com 向量的减法运算及其⼏何意义 1在△ABC中 a b则等于 Aab B-a-bCa-b Db-a 2下列等式①a0a ②baab ③--aa ④a-a0 ⑤a-ba-b正确的个数是A2 B3 C4D5 3下列等式中⼀定能成⽴的是 A B -C D - 4化简-的结果等于 A B C D 5如图在四边形ABCD中根据图⽰填空 ab bc c-d abc-d 6⼀艘船从A点出发以2kmh的速度向垂直于对岸的⽅向⾏驶⽽船实际⾏驶速度的⼤⼩为4 kmh则河⽔的流速的⼤⼩为 7若ab共线且ab＜a-b成⽴则a与b的关系为8在正六边形ABCDEF中 m n则 9已知ab是⾮零向量则a-bab时应满⾜条件 10在五边形ABCDE中设a b c d⽤abcd表⽰ com 向量数乘运算及其⼏何意义 1．下列命题中正确的是 A． B．C． D． 2．下列命题正确的是 A．单位向量都相等 B．若与是共线向量与是共线向量则与是共线向量C．则 D．若与是单位向量则 3 已知向量2若向量与共线则下列关系⼀定成⽴是 B C‖ D‖或 4对于向量和实数λ下列命题中真命题是 A若则或 B若则或 C若则或 D若则 5下列命题中正确的命题是 A且 B或 C若则 D若与不平⾏则 6已知是平⾏四边形O为平⾯上任意⼀点设则有 A B C D 7向量与都不是零向量则下列说法中不正确的是 A向量与同向则向量与的⽅向相同 B向量与同向则向量与的⽅向相同C向量与反向且则向量与同向D向量与反向且则向量与同向8若ab为⾮零向量且abab则有 Aa‖b且ab⽅向相同BabCa－bD以上都不对 9在四边形ABCD中－－等于 AB C D 23平⾯向量的基本定理及坐标表⽰ com 平⾯向量基本定理 1若ABCD是正⽅形E是DC边的中点且则等于 AB C D 2 若O为平⾏四边形ABCD的中⼼ 4e1 6e2则3e2－2e1等于 A B C D 3 已知的三个顶点及平⾯内⼀点满⾜若实数满则的值为 A2 B C3 D6 4 在中若点满⾜则 A BC D 5 在平⾏四边形ABCD中M为BC的中点则 A B CD 6如图在平⾏四边形ABCD中EF分别是BCCD的中点 DE与AF相交于点H 设等于_____ 7已知为的边的中点所在平⾯内有⼀点满⾜设则的值为______ 8在平⾏四边形ABCD中E和F分别是边CD和BC的中点或其中R 则 _________ 9．在ABCD中设对⾓线试⽤表⽰10．设是两个不共线向量已知2k 3 2 若三点A B D共线求k的值 comcom 平⾯向量的正交分解和坐标表⽰及运算 1 若则A11 B－1－1 C37 D-3-7 2下列各组向量中不能作为平⾯内所有的向量的基底的⼀组是ＡＢＣＤ 3已知平⾯向量则向量ＡＢＣＤ 4若向量与向量相等则 Ax1y3 Bx3y1 Cx1y -5 Dx5y -1 5点B的坐标为12的坐标为mn则点A的坐标为 A B C D 6在平⾏四边形ABCD中AC为⼀条对⾓线若则 A．－2－4B．－3－5C．35D．24 7已知向量则_____________________ 8已知向量则的坐标是 9已知点O是平⾏四边形ABCD的对⾓线交点25-23则坐标为坐标为的坐标为10．已知x1y1x2y2线段AB的中点为C则的坐标为 com 平⾯向量共线的坐标表⽰ 1 已知平⾯向量且则＝ A B C D 2．已知向量且与共线则等于 A B 9 C D1 3．已知｜｜｜｜若与反向则等于 A-410 B4-10 C -1D 1 4．平⾏四边形ABCD的三个顶点为A-21B-13C34则点D的坐标是A21 B22 C 12 D23 5．与向量不平⾏的向量是 A B CD 6已知ab是不共线的向量＝λa＋b＝a＋µb λµ∈R 那么ABC三点时λµ满⾜的条件是 A．λ＋µ＝2 B．λ－µ＝1 C．λµ＝－1 D．λµ＝1 7与向量同⽅向的单位向量是_______8设向量若向量与向量共线则9．已知A-1-2B48C5x如果ABC三点共线则x的值为 10．已知向量向量与平⾏｜｜4求向量的坐标 24平⾯向量的数量积 com量的数量积的物理背景及其含义 1下列叙述不正确的是 A向量的数量积满⾜交换律 B向量的数量积满⾜分配律 C向量的数量积满⾜结合律 Da·b是⼀个实数 2已知a6b4a与b的夹⾓为６０°则a2b·a-3b等于 A72 B-72 C36 D-36 3 已知向量121则向量与的夹⾓⼤⼩为 A B CD 4已知a1b且a-b与a垂直则a与b的夹⾓是A60°B30°C135°D４５° 5若平⾯四边形ABCD满⾜则该四边形⼀定是A．正⽅形 B．矩形 C．菱形 D．直⾓梯形 6若向量则与⼀定满⾜ A与的夹⾓等于B C D 7下列式⼦中其中的abc为平⾯向量正确的是A．B．ab·c a·bcC．D． 8设a3b5且aλb与a－λb垂直则λ＝ 9已知ab2i-8ja-b-8i16j其中ij是直⾓坐标系中x轴y轴正⽅向上的单位向量那么a·b 10已知a⊥bc与ab的夹⾓均为60°且a1b2c3则a2b-c２＝______ 11已知a1b1若a‖b求a·b2若ab的夹⾓为６０°求。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试(答案解析)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1BC ．7D ．32．点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（ ） A ．重心，外心，内心 B ．重心，外心，垂心 C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心3．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）A B ．210C ．10D ．204．设平面向量()a=1,2，()b=2,y -，若a b，则2a b-等于（ ） A ．4B ．5C ．D ．5．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4C ．3D ．26．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ）A 1BC 1D ．22+7．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN=，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A．5+⎡⎣ B．10⎡-⎣ C．5-+⎡⎣D ．10-+⎡⎣8．已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则λ等于( )A ．a b a b⋅ B ．2a b a⋅ C ．2a b b⋅ D ．a b a b⋅9．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．263-C ．63D ．22310．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．42，0B ．4，42C ．16，0D ．4，011．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．2312．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) A ．33 B ．37C ．39D ．41二、填空题13．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．14．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.17．已知向量(1,1,0)a →=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →=-，若,,a b c →→→是共面向量，则x =__________．18．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.19．设向量a ，b ，c ，满足1a b ==，12a b ⋅=-，a c -与b c -的夹角为60︒，则c 的最大值等于________20．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .已知AC BC =，AC BC ⊥，AD BD ⊥，且O 是AC 的中点，若2AD AB CD CB ⋅-⋅=，则AC BD ⋅的值为__________.三、解答题21．已知平面向量34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2||2b =，a与b 夹角为4π.（1）求向量a 在b 方向上的投影； （2）求a b -与a b +夹角的余弦值.22．如图所示，在ABC 中，已知3CA =，4CB =，60ACB ∠=︒，CH 为AB 边上的高.（1）求CA AB ⋅；（2）设CH mCB nCA =+，其中m ，n ∈R ，求m ，n 的值. 23．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角.24．已知平面向量(6,19)a =-，(2,1)b =，(3,4)c =-. （1）求满足a mb nc =+的实数m ，n ； （2）若()(2)a kb c b +⊥-，求实数k 的值.25．（1）已知向量()1,3a =，(),2b m =，()3,4c =，且()3a b c -⊥，求实数m 的值；（2）已知(3,2)a =，(2,1)b =-，若a b λ+与a b λ+平行，求实数λ的值 26．（1）已知平面向量a 、b 的夹角为3π，且1a =，2b =，求2a b +与b 的夹角； （2）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =-，()1,c λ=，若()a b c +⊥，求λ的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．B解析：B 【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】 解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==，||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．3．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称， ∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．4．D解析：D 【分析】利用向量共线定理即可得出y ，从而计算出2a b -的坐标，利用向量模的公式即可得结果. 【详解】//,220a b y ∴-⨯-=，解得4y =-，()()()221,22,44,8a b ∴-=---=，2248a b ∴-=+= D.【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=． ∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．7．B解析：B 【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 60OQ OM ==Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -≤≤+，即335522PQ -≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡+=∈+⎣.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．B解析：B 【解析】试题分析：BC OA ⊥,即()200BC OC OC OB OC OC OB OC ⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即220a a b λλ-⋅=，20,a b aλλ⋅≠∴=．考点：平面向量的数量积的应用.9．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+， 所以13a b ⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a b a b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.10．D解析：D 【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣cosθ+4sinθ＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．11．D解析：D【分析】 根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解. 【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以13BD BC =, 由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D.【点睛】 本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．B解析：B【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，，设点P 为(,)x y ，05x ，03y ， 3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，53)(32λ=-，23)λ-， ∴3223x y λλ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 3(3)y x ∴=-，①直线BC 的方程为5x =，②，联立①②，得523x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 此时||AP 最大，22||5(23)37AP ∴=+=．故选：B ．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题．二、填空题13．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B 解析：1【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -，如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤，设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈， 则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-， 因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩， 整理可得113cos 22131cos 22μθθλθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以131113322(cos )cos sin()26222626πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈， 当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12， 所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.14．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：0,53⎡⎤+⎣⎦ 【分析】 用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦.故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()23,0C ， 由中心坐标公式可得：0023200,3G ⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭，即223,33G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 据此有：223,33GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，423,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：2422203333339GB GC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 16．【分析】延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切线与BD 的交点D 结合数量积的几何意义可得点A 运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切 解析：2-【分析】延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，结合数量积的几何意义可得点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小，设CP x =，将结果表示为关于x 的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，由数量积的几何意义，CA CB ⋅等于CA 在CB 上的投影与CB 之积，当点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小；设BC 中点P ，连MP ，MA 1，则四边形MPDA 1为矩形；设CP =x ，则CD =2-x ，CB =2x ，CA CB ⋅=()()222224212x x x x x --⋅=-=--，[]02x ∈，， 所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-，故答案为：2-.【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.17．-2【详解】由于不共线且和共面根据平面向量的基本定理有即即解得 解析：-2【详解】由于,a b 不共线，且和c 共面，根据平面向量的基本定理，有c ma nb =+，即()(),1,2,,2x m n m n -=--，即122x m n m n =--⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，解得1,112m n x ===--=-.18．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】 由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN=AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 19．【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆 解析：2【分析】作向量OA a =，OB b =，OC c =，根据已知条件可得出a 与b 的夹角为120︒，A ，O ，B ，C 四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.【详解】解：如下图，作向量OA a =，OB b =，OC c =，∴CA a c =-，CB b c =-，1a b ==，1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅⋅=-， ∴a 与b 的夹角为120︒，即120AOB ∠=︒.∴120AOB ∠=︒.又a c -与b c -的夹角为60︒，即CA 与CB 夹角为60︒，∴A ，O ，B ，C 四点共圆. ∴当OC 为直径时c 最大，在AOB 中，由余弦定理得：2222cos1203AB OA OB OA OB =+-⋅︒=， ∴3AB =. ∴AOB 的外接圆的直径为2sin120AB =︒. ∴A ，O ，B ，C 四点共圆的圆的直径为2.∴c 的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.20．【分析】如图设先求出再根据得到再求的值得解【详解】如图四点共圆为圆的直径设所以由相交弦定理得在直角△中由勾股定理得在△中由余弦定理得因为所以又所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的 解析：3-【分析】如图，设12OA OC BC t ===，先求出,,OD AD CD ,再根据2AD AB CD CB ⋅-⋅=得到52t =，再求AC BD ⋅的值得解. 【详解】如图，,,,A B C D 四点共圆，AB 为圆的直径.设12OA OC BC t ===，所以225AB t OB t ==，由相交弦定理得5OD =， 在直角△AOD 中，由勾股定理得5AD =， 在△COD 中，由余弦定理得225t CD =. 因为2AD AB CD CB ⋅-⋅=， 2222cos 2cos(180)255t t DAB t DAB ∠--∠=， 又cos 10AD DAB AB ∠==,所以5t =. 所以212125=(2)(5)cos(180)35545AC BD t t t α⋅+-=-=-=-. 故答案为：3-【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．(1)2 2;(2)5 5. 【解析】试题分析：(1)由向量数量积的几何意义可求向量a 在b 方向上的投影;(2)由向量夹角公式可求a -b 与a +b 的夹角的余弦值试题(1)|a |=|(34,55)|=1 ∴向量a 在b 方向上的投影为a cosθ=a ?bb =2(2)cos<a -b ,a +b >=()()a b a b a b a b-+-+ |a -b |2=|a |2+|b |2-2ab =12,|a b -|a b +|2=|a |2+|b |2+2ab =52,|a b + (a b -)(a b +)=a 2-b 2=12cos<,a b a b -+>=()()a b a b a b a b-+-+=5. 22．（1）3-，（2）310,1313m n == 【分析】 （1）用,CB CA 表示AB ，然后代入CA AB ⋅中化简即可得答案；（2）根据向量垂直和共线向量列出方程组可求出,m n 的值.【详解】解：（1）因为AB CB CA =-，3CA =，4CB =，60ACB ∠=︒， 所以2()CA AB CA CB CA CA CB CA ⋅=⋅-=⋅- 2cos 60CA CB CA =︒- 2134332=⨯⨯-=-， （2）因为CH AB ⊥,所以0CH AB ⋅=，即()0mCB nCA AB +⋅=，所以()()0mCB nCA CB CA +⋅-=, 22()0mCB n m CB CA nCA +-⋅-=，所以166()90m n m n +--=，即1030m n -=，因为,,A B H 三点共线，所以1m n +=，所以310,1313m n == 【点睛】 此题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加减法法则的应用，属于中档题23．（1）2）6π. 【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a ab a a a b θ+==+⨯可求θ 【详解】解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒∴1||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=-∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ 则2()3cos ||||42383a ab a a a b θ+====+⨯ 0θπ∴6πθ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题 24．（1）3m =，4n =；（2）203k =. 【分析】（1）根据a mb nc =+可得关于,m n 的方程组，解方程组后可得实数m ，n 的值. （2）求出,2a kb c b +-的坐标后，利用向量垂直的坐标形式可求实数k 的值.【详解】 解：（1）由(2,)mb m m =，(3,4)nc n n =-得：(23,4)mb nc m n m n +=-+ 且(6,19)a mb nc =-=+所以236,419,m n m n -=-⎧⎨+=⎩得3m =，4n =.（2）因为(62,19)a kb k k +=-++，2(7,2)c b -=-，且()(2)a kb c b +⊥-，所以7(62)2(19)0k k -⨯-++⨯+=， 所以203k =. 【点睛】 如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；25．（1）1m =-；（2）1λ=±.【分析】（1）先求()313,3a b m -=--，再根据向量垂直的坐标运算即可求得1m =-；（2）先计算()32,21a b λλλ+=+-，()23,2a b λλλ+=+-+，再根据向量共线的坐标运算求解即可得1λ=±.【详解】解：（1）根据题意有：()()()31,33,213,3a b m m -=-=--，∵ ()3a b c -⊥，∴ ()()3313120a b c m -⋅=⨯--=，解得1m =-， 所以实数m 的值为：1m =-.（2）根据题意：()()()3,22,132,21a b λλλλλ+=+-=+-，()()()3,22,23,2a b λλλλλ+=+-=+-+，∵ a b λ+与a b λ+平行，∴ ()()()()32223210λλλλ+-+-+-=，解得：1λ=±.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直与平行的坐标表示，考查运算能力，是基础题. 26．（1）6π；（2）3λ=-. 【分析】（1）设2a b +与b 的夹角为θ，计算出()2a b b +⋅的值和2a b +的值，利用平面向量的数量积的运算求得cos θ，结合θ的取值范围可求得θ的值；（2）求得平面向量a b +的坐标，由()0a b c +⋅=，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数λ的值.【详解】（1）设2a b +与b 的夹角为θ，由于1a =，2b =，且平面向量a 、b 的夹角为3π， ()22222cos63a b b a b b a b b π∴+⋅=⋅+=⋅+=， ()22222224444cos 233a b a b a a b b a a b b π+=+=+⋅+=+⋅+=， 所以，()2cos 2232a b b a b bθ+⋅===⨯+⋅，0θπ≤≤，因此，6πθ=； （2）平面向量()1,2a =，()2,1b =-，()1,c λ=，()3,1a b ∴+=，()a b c +⊥，()30a b c λ∴+⋅=+=，解得3λ=-.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角，同时也考查可利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于中等题.。
高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量教学质量检测一.选择题（5分×12=60分）:1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（ ）22．（13分)已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直参考答案一、 选择题：1C 、2C 、3A 、4C 、5D 、6B 、7C 、8B 、9D 、10A 、11C 、12C 、二. 填空题(5分×5=25分):13 （1，3） ．14 28 15 （， ）或（ ， ） 16 （5，3） 17 2三. 解答题（65分):18、 （1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋|＝＝．（2）∵ ||＝＝．||＝＝，·＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos ＝＝＝．（3）设所求向量为＝（x ，y ），则x2＋y2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得或 ∴ （，－）或（－，）即为所求．19．由题设 , 设 b= , 则由 ,得 . ∴ ,解得 sin α=1或 。
当sin α=1时，cos α=0；当 时， 。
故所求的向量 或 。
20．解：（1）556-553556553-（2）由f(t)>0,得21．解：(1)∵，∴由，得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.(2) 由=(6+x, 1+y),。
∵, ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又x+2y=0,∴或∴当时，，当时，。
故同向，22．解：（1）由当时a+tb(t∈R)的模取最小值（2）当a、b共线同向时，则，此时∴∴b⊥(a+t b)。
高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量检测.选择题:3.已知a = (3, 4), b = (5, 12), a 与b 则夹角的余弦为()A 63654. 已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60° ,那么|a+ 3b| =()5. 已知ABCDE 是正六边形，且 AB = a ,7.设©与e 是不共线的非零向量，且k e 1 + e 2与6 + k e ?共线，则k 的值是()(A ) 1 (B ) — 1 (C ) 1 (D )任意不为零的实数8.在四边形ABCD 中 AB = DC ，且AC • BD = 0,则四边形ABCD ^()(A )矩形(B )菱形 (C )直角梯形(D )等腰梯形9. 已知M ( — 2, 7)、N (10,— 2),点P 是线段MN±的点，且PN 二一2PM ，则P 点的坐标为()(A )(— 14, 16)(B )(22,— 11) (C ) (6,1) (D ) (2, 4)10 .已知 a =( 1, 2), b =( 一 2, 3),且 k a + b 与 a — k b 垂直，则 k =()(A )1 2 (B )2 1 (C ) .23 (D ) 32rr r6.设a , b 为不共线向量， AB = a +2b , BC = — 4a —b , CD = — 5a --3b,则下列关系式中正确的是( )(A ) AD = BC (B )AD = 2BC(C ) AD =— BC (D ) AD =- -2BC(A ) 2(a b) (B )寺(b a) (C )(D )吕(a b)1 .以下说法错误的是( )A.零向量与任一非零向量平行 C.平行向量方向相同 D. 2. 下列四式不能化简为AD 的是(A. (AB + CD ) + BC ;B.零向量与单位向量的模不相等平行向量一定是共线向量 )B. (AD + MB ) + ( BC + CM );C. MB + AD - BM ;D. 0C — OA + CD ;B. .65D. ,13B. 、10D. 4AE = b ，贝U BC =(11、若平面向量a (1,x)和b (2x 3, x)互相平行，其中x R.则a b ( )A. 2或0;B. 2 5 ；C. 2 或2.5 ；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是( )① Oa 0 ② a b b a ③ a2|a 2④(ab)c a(bc)⑤ a b a b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二.填空题13•若AB (3,4), A点的坐标为(一2,— 1),则E点的坐标为__________________ .14. 已知a (3, 4), b (2,3)，则2|a| 3a b _________________ .15、已知向量|a 3,b (1,2)，且a b，则a的坐标是________________________ 。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量检测.选择题:4.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60° ,那么|a+ 3b| =(5.已知ABCDE 是正六边形，且 AB = a ,7.设e 与e 是不共线的非零向量，且k e1 + e2与6 + k e?共线，则k 的值是()(A ) 1 (B ) — 1 (C ) 1 (D )任意不为零的实数8.在四边形ABCD 中 AB = DC ，且AC • BD = 0,则四边形ABCD ^()9.已知M ( — 2, 7)、N (10，— 2)，点P 是线段MN±的点，且PN 二一2PM ，则P 点的坐标为()(22,— 11) (C ) (6, 1) (D ) (2, 4)6.设a , b 为不共线向量， AB = a +2b , BC = — 4a —b , CD = — 5a --3b,则下列关系式中正确的 是( )(A ) AD = BC (B )AD = 2BC(C ) AD =— BC (D ) AD =- -2BC(A )2(a b) (B ) i(b a) (C )a + g b(D )-2(a b)1 .以下说法错误的是( )A.零向量与任一非零向量平行 C.平行向量方向相同 D. 2.下列四式不能化简为AD 的是(A. (AB + CD ) + BC ;B.零向量与单位向量的模不相等平行向量一定是共线向量 )B. (AD + MB ) + ( BC + CM ); D. 0C — OA + CD ;3 .已知a = :(3, 4), b =( 5, 12), A 6365B.65C .D. 13B. 、10C. 、13D. 4AE = b ，贝U BC =( (A )矩形(B )菱形(C )直角梯形(D )等腰梯形(A ) (— 14, 16) (B )C. MB + AD - BM ;a 与b 则夹角的余弦为(..13510 .已知a =( 1, 2), b =( 一2, 3),且k a + b 与a —k b 垂直，则k =( )(A) 1 2 (B) 2 1 (C) 2 3 (D) 3 211、若平面向量a (1,x)和b (2x 3, x)互相平行，其中x R.则 a b( )A. 2或0;B. 2药；C. 2 或2庐；D. 2 或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是( )① 0 a 0 ② a b b a ③ a2|a 2④(a b)c a(b c)⑤ a b a b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二.填空题13•若AB (3,4), A点的坐标为(一2,— 1),则E点的坐标为___________________ .14. 已知a (3, 4), b (2,3)，则2|a| 3a b _________________ .15、已知向量|a 3,b (1,2)，且a b，则a的坐标是________________________ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修4第二章平面向量检测
一.选择题:
1．以下说法错误的是（ ）
A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同
D.平行向量一定是共线向量
2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）
A ．；）＋＋（BC CD A
B B ．）；＋）＋（＋（CM B
C M B AD
C ．；－＋BM A
D M B D ．；＋－CD OA OC
3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ）
A ．6563
B ．65
C ．513
D ．13
4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−A
E ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）
（A ） )(21
→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→
→+b a 6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）
（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC
7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）
（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数
8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）
（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形
9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→
−PM ，则P 点的坐标为（ ）
（A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）
（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±
11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）
A. 2-或0；
B.
C. 2或
D. 2或10.
12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ） ① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 二. 填空题 13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．
14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．
15、已知向量)2,1(,3==b a ，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。
16、ΔABC 中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C 点坐标为________________。
17．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sin θ，如果| |=4, |b|=3, ·b=-2，则| ×b|=____________。
三. 解答题
18、设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模；（2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．
19．已知向量 =
, 求向量b ，使|b|=2| |，并且 与b 的夹角为 。
20.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使
.,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）
（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.
21．如图，=(6,1), ，且。
(1)求x与y间的关系； (2)若，求x与y的值及四边形ABCD的面积。
22．已知向量a、b是两个非零向量，当a+t b(t∈R)的模取最小值时，
（1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+t b垂直
必修4第二章平面向量检测参考答案 一、 选择题：1C 、2C 、3A 、4C 、5D 、6B 、7C 、8B 、9D 、10A 、11C 、12C 、
二. 填空题 13 （1，3） ．14 28 15 （ ， ）或（ ， ） 16 （5，3） 17 235 三. 解答题:
18、 （1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．
（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ ＝||||AC AB AC
AB ⋅⋅＝2624
⋅＝13
132． （3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x2＋y2＝1． ①
又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ②
由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．
19．由题设 , 设 b=
, 则由 ,得
. ∴ , 解得 sin α=1或
当sin α=1时，cos α=0；当
时， 。
故所求的向量 或 。
20．解：（1）
.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).3(41,0)3(4,1,4,0222
2-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即 （2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即 5
56-553556553-
21．解：(1)∵
， ∴ 由
，得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0. (2) 由 =(6+x, 1+y), 。
∵
, ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又x+2y=0, ∴ 或
∴当
时， ， 当
时， 。
故
同向， 22．解：（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222
-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值 （2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时|
|||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b
∴b ⊥(a +t b )。