高数第一章 映射与函数

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高数高等数学1.1映射与函数

高数高等数学1.1映射与函数
1 2 1 O 1 1 2 x
说明 (1) 分段函数对应不同的区间,函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数,不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .

2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点, 称b-a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1

高等数学上册1.1 映射与函数

高等数学上册1.1 映射与函数
第一节 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.

X
定义域
D =X
第一节 映射与函数



()


()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.


Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.

《高等数学》第一节:映射与函数

《高等数学》第一节:映射与函数
[1,1] [ 0, ]
[

, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x

2


2
0

2
x
| arctanx |
定义域 (,)

2

2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1),求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos

,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3:双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个? 条件?
不合条件, 改造!

高数0101映射与函数

高数0101映射与函数
点a叫做邻域的中心, 叫做邻域的半径.
U (a , ) { x a x a } (a , a ).

a
a
o
a
x
点a的去心邻域, 记作 U (a , ) { x 0 x a }.

a
左 邻域 :

a
a
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
分段点 连结点
三、函数的几何特性
1 函数的有界性:
设X D, 若M 0, 使得对 x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界, 否则称无界. 上界, 下界
y M y=f(x) o x 有界 X M y
求反函数的步骤
y f ( x) x f 1 ( y) y f 1 ( x).
2 反函数、复合函数
反函数 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D1 ① ②
且 g ( D) D 1

称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少.
• 函数的表示方法: 公式法 表格法 图示法
单值函数与多值函数:
已知x 2 y 2 1表示xoy坐标平面上的单位圆 , 由方程x 2 y 2 1可解出 y 1 x 2
问y与x的关系怎么称呼?
按定义, 函数是单值函数, 类似地, 称此处y与x处的关系为多值函数.
单值函数与多值函数: 如果给定一个法则,当自变量在定义域内 任取一个数值时,对应的函数值不总是唯一的, 称这种法则确定了一个多值函数.
例如, 函数链 : y arcsinu , 可定义复合函数

高数A1第一讲映射与函数

高数A1第一讲映射与函数
第一节 映射与函数

一、映射 二、函数
一、映射
1、映射概念
例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合
按一定规则入座
某教室座位 的集合
定义
f 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
o
x
x
奇函数
奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是奇函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.
(4) 函数的周期性: 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得 对于任一x D 有 ( x l ) D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立,
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.
复合函数
------“代入”
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g( D) D1 , 则由下式确定的函数
y f g( x ), x D
2. 逆映射与复合映射
设 f 是X到Y的单射,定义一个从Rf到X的新映射g 即
g : Rf X ,
1
对每个 y R f , 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 1 f 这个映射g称为f 的逆映射,记作 , 其定义域 D f R f , 值域 R f X .
1
f
注意:只有单射才存在逆映射.
x, x 0, 例6 函数 y | x | x , x 0

高等数学映射与函数

高等数学映射与函数

A ( r )13
4、函数值
值与之相对应, 则称此值为 y f x 在 x0 处的函数值
记为: f x0 或
y 当 x 在D内取定一个数值 x0时, f x 有确定的 f x x x 0
x x0 f x0
y
f x
x x0
当 x 取遍 D 内的各个数值时, 对应的函数值的全体
f (x) f (x)
在 [ a, b ] 上为有界函数. 在 [ a, b ] 上为无界函数. y

M f x M 有界函数必介于直线 y M 与 y M 之间。
f ( x) M
yM
a
0
b
y M
17
x
说明: 还可定义有上界、有下界、无界。
有时还要用到有上界或有下界。如果存在常数M(N),
或当 f ( x) 0 (或 f ( x) 0) 时,判别
f ( x2 ) / f ( x1 ) 1 (或 1) 。
例如
f x x
2
+ 在 0, 内是单调增函数。 - 0 在 ,内是单调减函数。
在 , 内不是单调函数。 - +
这说明:有时一个函数在整个区间D不是单调的, 而将D分成几个小区间, 却在每个小区间上是单调的, 这需要分别讨论。
x x

x ar xar
x
ar
a
ar
10
二、函数 1、函数的定义 设 x 与 y 是两个变量,当 x 在一定范围D内任取定一 数值时, y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。
y 则称 y 是 x 的函数。 x为自变量; 为因变量, D为定义域。 记为 y f ( x) , x D

高等数学教材第八版本

高等数学教材第八版本

高等数学教材第八版本第一章函数与映射高等数学是大学数学中的重要基础课程,主要涉及函数、极限、微积分等内容。

而在高等数学教材第八版本中,函数与映射是第一章的重点内容。

本章将引导学生深入了解函数与映射的定义、性质和应用。

1.1 函数的概念与性质函数是实数集之间的一种特殊关系,它将每个自变量与唯一一个因变量相对应。

在本章中,我们将学习函数的各种定义方式,例如显式定义、隐式定义、参数方程等。

此外,我们还将研究函数的性质,包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

1.2 映射与复合函数映射是一种更一般的函数关系,它可以将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在本节中,我们将学习映射的定义、分类以及常见的映射表示方法,如箭头图、集合对集合的表示法等。

此外,我们还将讨论复合函数的概念,即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

1.3 反函数与参数方程在某些情况下,我们需要找到一个函数的逆函数,以便求解方程或解决实际问题。

本节将介绍反函数的概念与求解方法,并且会讨论参数方程的基本概念与应用。

第二章极限与连续性函数的极限与连续性是高等数学中的重要概念,对理解微积分和实分析等学科有着重要作用。

在高等数学教材第八版本中,极限与连续性是第二章的重点内容。

2.1 函数的极限函数的极限是函数在无穷接近某一点时的行为,它是微积分的基础。

在本节中,我们将学习函数极限的定义、性质以及极限存在的判定方法。

此外,我们还将研究函数的左极限和右极限,并探讨无穷极限的概念与性质。

2.2 连续与间断函数的连续性是指函数在某一点上无间断,即函数图像没有突变。

本节将介绍函数连续性的定义与判定方法,包括闭区间上的连续性、间断点的分类等。

2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数在某一点上逼近某些特殊值的概念。

本节将讲解无穷小与无穷大的定义、性质以及它们与函数极限的关系。

第三章导数与微分导数是微积分的核心概念之一,它描述了函数在某一点的变化率。

在高等数学教材第八版本中,导数与微分是第三章的重点内容。

高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt

高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt

f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高 等 数 学 PPT 课件
第 一 章
教材 : 同济 高等数学 第五版
欢迎您加入本课堂,希望 您刻苦学习,努力争取最优异 的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a


x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4




9
以上五类函数称为基本 初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函 数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .

高等数学---映射与函数

高等数学---映射与函数

A {a1 , a2 ,, an }
描述法 M { x x所具有的特征}
N , N , Z , Q, R, R* , R
2
映射与函数
(6)关系 子集 ( 包含 ), A B : x A x B; 相等, A B : A B, 且 B A ;
不含任何元素的集合称为空集, 记作 , 规定空集为任何集合的子集. 2.集合的运算
对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有
(x1) < (x2) (或(x1) > (x2) )
则称函数 f ( x )在区间 I上是 单调增加(或单调减少).
y
y f ( x)
y
f ( x2 )
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
第一节 映射与函数
基本概念
函数概念 函数的特性 反函数 小结 作业 思考题
1
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1.集合概念
(1)定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
(2)有限集和无限集
(3)符号
a M , a M.
(4)表示 列举法 (5)常用集合
o
x1
x2
I
x
o
x1
x2
I
x
注意 函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对 30 性概念.
映射与函数
(3)函数的奇偶性 定义 设D关于原点对称, 对于x D, 有
f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )
则称 f (x) 为偶函数(或奇函数).

高数课件-映射与函数

高数课件-映射与函数

义的一切实数组成的合集,这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下,一
般的用算是表达的函数可用“y=∱(x)”表达,而不必再出Df。
例如,函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1,1 ,函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
(-1,1)。
表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公 式法)。其中,用图形法表下)的像,并记作∱(χ),即
y=∱(χ), 而元素χ称为元素y(在映射∱下)的一个原像;集合X称为映射∱的定义域,记作Df, 即Df=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域,记作Rf或者∱(χ),即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中,需要注意的是:
映 射

主讲人: 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念,而函数是微积分的研究对象,也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念,函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则∱,使得对X中的每个元素χ,按法则∱, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应,那么称∱为从X到Y的映射,记作
由复合映射的定义可知,映射ℊ和∱构成复合映射的条件是:ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内,即Rg⊂Df,否则,不能构成复合映射。由此可以知道,映射ℊ和∱的复 合是有顺序的,∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义,复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ:R→ -1,1 ,对每个x∈R,ℊ(x)=sinx;映射∱: -1,1 → 0,1 , 对每个 u∈ -1,1 ,∱(u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ:R→ 0,1

高数上册第一章第一节映射与函数一.ppt

高数上册第一章第一节映射与函数一.ppt
预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
oa
b
x
闭区间 [ a , b ] x a x b
oa
b
x
半开区间 无限区间
有限区间
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3.【对数函数】 y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
4.【三角函数】
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
【说明】通常 f 称为外层函数,g 称为内层函数.
2【注意】 1)构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
(即:内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内)
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
D : (,), 奇函数.
② 双曲余弦chx e x e x 2
D : (,), 偶函数.
y chx
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2

双 曲 正 切 thx
shx chx
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
【双曲函数常用公式】
sh( x y) shxchy chxshy; ch( x y) chxchy shxshy; ch2 x sh2 x 1;

同济七版高等数学上册 大一上学期 映射与函数 ppt

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于是,
四. 初等函数
(1) 基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运 算和复合步骤所构成 ,并可用一个式子表示 的函数 ,称为初等函数 .否则称为非初等函数 .
例如
y x3 5x2 1
y ex ex
(1,0)
(a 1)
4.三角函数
正弦函数 y sin x
余弦函数 y cos x
正切函数 y tan x 余切函数 y cot x
正割函数 y sec x 余割函数 y csc x
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x 反余弦函数 y arccos x
反正切函数 y arctan x
③牢固掌握极限运算法则,极限的性质,尤其是函 数 极限的保号性质
④理解极限存在准则,熟记两个重要极限及其证明 方法,灵活地运用它们及各种变形公式求极限
⑤正确理解连续概念,理解间断点的分类
⑥理解初等函数的连续性,掌握闭区间上连续函数 的性质
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
y
(2) 取整函数 y=[x]
4 3
[x]表示不超过 x 的最大整数
2
阶梯曲线
1 -4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x

《映射和函数》课件

《映射和函数》课件

奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x),则该函数为奇函数, 其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系,过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$($k neq 0$)的函数,图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时,图像过一、三象限;当$k<0$时,图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念, 它描述了两个集合之间的对应关 系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系,使得集合A中的 每一个元素x,通过某种对应关系 f,在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界;单调性是指函数在某一区间内 的增减性;奇偶性是指函数对于原点的对称性;周期性是指函数按照一定的周 期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入,对应输出相加得到的新的函数。函数加 法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘,得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩 变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射,其定义域和陪域都是数集, 且数集中的每一个元素都有唯一的一个数 与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应

《高数映射与函数》课件

《高数映射与函数》课件
在指数的位置上。
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系, 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系,例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应,而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
03
对应法则是函数的核心,它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加,函数值也单调增加或减少。
周期性
函数在一定周期内的取值具有重复性。
可导性
函数在某一点的切线斜率存在。
函数的分类
代数函数
三角函数
答案4
函数的极限、连续性和可导性之 间的关系是密切相关的。极限存 在是连续的必要条件,连续是可 导的必要条件。一个函数在某点 可导,则一定在该点连续,同时 也存在极限。
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指数函数
对数函数
由代数方程定义的函数,如 多项式、分式、根式等。
与三角学相关的函数,如正 弦、余弦、正切等。
形如$a^x$的函数,其中 $a>0$且$aneq1$。
以数$a$的$n$次方等于$x$记 作$a^n=x$($a>0,a≠1$), 数$a$称为这函数的底数,$n$ 称为这函数的指数,作为表示 形式记作对数函数的自变量写
01

高数第一章 映射与函数

高数第一章 映射与函数

对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量 ) 因变量

极 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义
限 的一切实数值.

续 例如,y 1 x2
D :[1,1]
例如,y 1 1 x2
D : (1,1)
- 15 -
第一节 映射与函数
如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应 的函数值总是只有一个,这种函数又称为单值函数.
( a 0)

章 运算性质:
ab a b;

数 极 限
a a; bb
a b a b a b.
连 续
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
- 12 -
第一节 映射与函数
二、函数概念
1 函数的定义
第一节 映射与函数
第一节 映射与函数
第 一 集合与映射
一 章

函数的概念
函 三 函数的几种特性
数 四 反函数与复合函数

限 五 初等函数
连 续

建立函数关系举例
-1-
第一节 映射与函数
一、集合与映射
1.集合
集合:具有某种特定性质的事物的总体.
第 一
组成这个集合的事物称为该集合的元素.

a A,
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x)

则称函数f ( x)为偶函数.


y y f (x)




f (x)

《高等数学B》 第一章 函数 第2节 映射与函数

《高等数学B》 第一章 函数 第2节 映射与函数
1
o

y
–1
x
x = sgn x ⋅ x
(2) 取整函数 y = [x] , [x]表示不超过 x 的最大整数。 表示不超过 的最大整数。
y
4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同的式 称为分段函数 子来表示的函数 , 称为分段函数 .
复合映射 设有映射 g : X → Y1 , f : Y2 → Z , 其中 Y1 ⊂ Y2 , 由 g 和 f 可确定出从 X 到 Z 的一个对应 规则, 中的元素z 规则, 它将每个元素 x ∈ X, 映为 Z 中的元素 = f [g(x)], , 的一个映射, 显然这个对应规则是从 X 到 Z 的一个映射, 我们把这 构成的复合映射, 个映射称为由 g、f 构成的复合映射, 并记作 f o g , 即 f og:X → Z, 对每个元素 x ∈ X , ( f o g )( x ) = f { g ( x )} .
§2 映射与函数
一 、映射的概念 定义1 是两个非空集合, 定义1 设 X 和 Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 f , 使得 X 中的每个元素 x 按法则 f 在 Y 中有唯一的 与之对应, 映射, 记作: 元素 y 与之对应 那末称 f 为从 X 到 Y 的映射 记作: f : X →Y , 元素 y 称为元素 x (在映射 f 下)的像, 并记作 f (x) , 即 y = f (x), , 的一个原像 或逆像) 原像( 而元素 x 称为元素 y (在映射 f 下)的一个原像(或逆像) 定义域, 集合 X 称为映射 f 的定义域,记作 D f = X . X 中所 值域, 有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域, f 的值 域常记作 R f (或 f (X)). ).
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有限集 无限集
若 x A,则必 x B就说 A 是 B 的子集,记作 A B. 如 A B, 且 B 中有不在 A 的元素,则称 A 是 B
的真子集,记为 AB.
-2-
数集分类: N----自然数集 N+----正整数集 R----实数集
Z----整数集 Q----有理数集
数集间的关系: N+ N,N Z, Z Q, Q R. 如果 A B, 且 B A, 则称集合 A 和 B 相等,( A B)
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作 [a,b]
oa
-5-
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
因变量
自变量
数集 D叫做这个函数的定义域 。 当x0 D时,称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值. 函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D}称为
函数的值域.
- 14 -
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x f (x0 )
自变量 ) 因变量
U0(a) { x 0 x a }.
-7-
3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法: 通常用字母 a,b,c 等表示常量, 用字母 x, y,t 等表示变量.
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4.映射 定义3 设 A, B 是两个非空集合,若对每个 x A,
例如 A {1,2}, C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
-3-
2.实数集 定义1 设 A R, 如果存在数 L R, 使得对一切
x A, 都有 x ()L,则称 A 有上(下)界, 称 L为A 的 一个上(下)界. 如果数集 A 既有上界又有下界,则称 A 是有界的, 否则称 A是无界的.
按照某个确定的法则 f , 有唯一确定的 y B 与它对应,
则称 f 是 A 到 B 的一个映射,记作 f : A B, 或 f : x y f ( x), x A.
其中 y 称为 x 在映射 f 下的像,x 称为 y 在映射 f下 的一个原像(或逆像), A 称为映射 f 的定义域, 记为 D( f )或 Df , A 所有元素 x 的像 y 的全体所构成的集 合称为 f 的值域,记为 Rf 或 f ( A), 即
x a (a 0)
- 12 -
x a 或 x a;
二、函数概念
1 函数的定义
例 圆内接正多边形的周长
S3
S4
Sn 2nr sin n
n 3,4,5,
- 13 -
S5
S6
圆内接正n 边形
O
r
n
定义4 设 D 是一个给定的数集, 则称映射
f :DR
为定义在 D 上的一个函数, 记作
y f ( x), x D
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意 义的一切实数值.
例如,y 1 x2 例如,y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
- 15 -
如果 f 是个一一映射,则对每个y B, 有唯一的一 个 x A, 适合 f ( x) y, 规定 g( y) x, 则 g 就是B 到 A 上的一个映射,称为 f 的逆映射,记为
f 1 : B A
- 10 -
其定义域 D f 1
Rf
B,
值域
R f
1
Df
A.
此时也
称 f 是可逆映射.
(g f )( x) g( f ( x)), x A 任意两个映射 f , g, 则g f 当且仅当 Rf Dg .
- 11 -
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
( a 0)
运算性质:
ab a b;
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
定义2 设 A 是一个非空数集,若存在一个上(下)界 s, 使得对 A 的一切上(下)界 L, 都有 s ()L, 则称 s 是 A 的上(下)确界, 记为 sup A(inf A).
定理1 任何一个非空的实数集 A, 如果有上(下)界, 则必有上(下)确界.
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区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个 实数叫做区间的端点.
第一节 映射与函数
一 集合与映射 二 函数的概念 三 函数的几种特性 四 反函数与复合函数 五 初等函数 六 建立函数关系举例
-1-
一、集合与映射
1.集合 集合:具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a A,
a A,
A {a1 , a2 ,, an }
A { x x所具有的特征}
Rf f ( A) { y y f ( x), x A}
-9-
映射的两个基本要素:定义域与对应法则 设 f : A B, 如果 Rf B, 则称 f 是一个满映射,
如果对 A 中的任意两个不同元素 x1 x2 , 有 f ( x1 ) f ( x2 )
则称 f是一个单射,如果一个映射既是满射,又是单射 则称 f 是个一一映射.
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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设a与 是两个实数,且 0,数集{x | | x a | } 称为点a的 邻域,点a叫做这邻域的中心.
叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的 邻域, 记作U0(a).
( f 1 )1 f
设 f : A B, g : B C, 则对每个 x A, 对应唯一 的一个 y f ( x) B, 从而对应唯一的一个 z g( y) C, 这样就确定了一个从集合 A 到集合 C 的映射, 这个映 射称为 f 和 g 所确定的复合映射,记为 g f ,即
g f :AC
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