平面与直线方程

A2 B2 C2
A2 B2 C 2
二 直线方程的各种形式
1 空间直线的一般方程 空间直线可看成不平行两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得
2x 3 y z 6 0.
例3 设平面过原点及点 (6,3,2), 且与平面4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解 设平面为 Ax By Cz 0 由平面过点(6,3, 2) 知 6A 3B 2C 0 n {4,1,2}, 4A B 2C 0 A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例4 设平面与 x, y, z 三轴分别交于 P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c) （其中 abc 0) 求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0
法向量 n {A, B,C}.
平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0 平面平行于 x轴；
(2) A 0,
D 0 平面通过 x轴；
类似地可讨论 B 0, C情形 0.
o
y
x x0 y y0 z z0
m
n
p
x （标准式） 直线的对称式方程
（点向式）
直线的一组方向数
3 空间直线的参数方程
令
x x0 m
y
y0 n
z
z0 p
t，则有
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
例7 求过两点 A( x1, y1, z1), B( x2 , y2 , z2 ) 的直线方程。
设平面上的任一点为 M( x, y, z) 必有
M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
例1 求过三点 A(2,1,4) B(1,3,2) 和 C(0,2,3)
AD, BD, C D.
a
b
c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a bc x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
例5 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个
坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.
解 设平面为 x y z 1, 则据题意有 1 abc 1.
解 所求直线的方向向量为
sr
uuur AB
{ x2
x1 ,
y2
y1, z2
Baidu Nhomakorabea
z1 }
所求直线方程为
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
x y z 1 0
例8 将直线
化为对称式与参数式方程。
2x y 3z 4 0
解 直线的方向向量为
i s 1
j 1
求其方程.
解 因为直线和 y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
D 0 平面平行于xoy坐标面；
(3) A B 0,
D 0 xoy坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B情形C . 0
例2 求过点 (1,1,1，) 且垂直于平面 x y z 7 和 3x 2 y 12z 5 0 的平面方程.
解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12} 取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
§7.4 平面与直线方程
一 平面方程的各种形式 二 直线方程的各种形式 三 平面直线间的夹角及相互关系
一 平面方程的各种形式
1 平面的点法式方程
z
n
如果一非零向量垂直于一平
M0 M
面，这向量就叫做该平面的法 向量．
o
y
x
已知平面的法向量为n { A, B, C},且过点M0( x0 , y0 , z0 ),
解 P1( x1, y1, z1 )
Ax
By
Cz D n P0
0
d
Pr
jn P1P0
n P1P0 |n|
P1
N
| A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1) | A2 B2 C 2
| Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1) | | Ax0 By0 Cz0 D |
0 0
L
o
y
x
2 空间直线的对称式方程
如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为
这条直线的方向向量．
设直线过点 M0( x0 , y0 , z0 ), 方向向量为 s {m, n, p},
z
M( x, y, z) 为直线上任意一点 ，则
s
L
M0M// s
M M0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
的平面方程.
解 AB {3, 4,6}
AC {2, 3,1} 取 n AB AC {14, 9,1},
所求平面方程为
14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得
14x 9 y z 15 0.
2 平面的一般方程 由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
k 1 4i j 3k
2 1 3
取 x 1代入直线方程得
yz20
y 3z 6 0
解得 y 0, z 2, 因此得到直线上一点 (1,0,2).
直线的对称式方程为
x 1 y z 2 4 1 3
参数方程为
x 1 4t
y
t
.
z 2 3t
例9 一直线过点 A(2,3,4), 且和 y 轴垂直相交，
a bc
6
111 由所求平面与已知平面平行得 a b c ,
616
1
1
1
令
t
a 1,
b 1, c 1 ,
6a b 6c
6t
t
6t
1 1 | 1 1 1 | t 1 , a 1,b 6, c 1.
6 6t t 6t
6
所求平面方程为 6x y 6z 6.
例6 设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 是平面 外一点，求 P0 到平面的距离.