弹簧习题与参考答案
习题与参考答案
一、复习思考题。
1．弹簧有哪些功用
2．常用弹簧的类型有哪些各用在什么场合
3．制造弹簧的材料应符合哪些主要要求常用材料有哪些
4．圆柱弹簧的主要参数有哪些它们对弹簧的强度和变形有什么影响
5．弹簧刚度K的物理意义是什么它与哪些因素有关
6．什么是弹簧的特性曲线它在设计中起什么作用
7．设计时，若发现弹簧太软，欲获得较硬的弹簧，应改变哪些设计参数
8．圆柱螺旋弹簧在工作时受到哪些载荷作用在轴向载荷作用下，弹簧圈截面上主要产生什么应力应力如何分布受压缩与受拉伸载荷时，应力状态有什么不同
9．如何确定圆柱螺旋弹簧的许用剪切应力用碳素弹簧钢丝制造弹簧时，其许用剪切应力[]τ值应如何确定
10．设计弹簧时，为什么通常取弹簧指数C=4~16，弹簧指数C的含义是什么
11．今有A、B两个弹簧，弹簧丝材料、直径d及有效圈数n均相同，弹簧中径D2A大于D2B，试分析：
1）当载荷P以同样大小的增量不断增大时，哪个弹簧先坏
2）当载荷P相同时，哪个弹簧的变形量大
12．圆柱形拉、压螺旋弹簧丝最先损坏的一般是内侧还是外侧为什么
13．设计弹簧如遇刚度不足时，改变哪些参数可得刚度较大的弹簧
14．怎样的装置可把一个圆柱形压缩弹簧作为拉伸弹簧使用
二、选择题
1．在圆柱形螺旋拉伸（压缩）弹簧中，弹簧指数C是指。
A、弹簧外径与簧丝直径之比值。
B、弹簧内径与簧丝直径之比值。
C、弹簧自由高度与簧丝直径之比值。
D、弹簧中径与簧丝直径之比值。
2．圆柱拉伸（压缩）螺旋弹簧受戴后，簧丝截面上的最大应力是。
A、扭矩T引起的扭切应力τ'
σ
B、弯矩M引起的弯曲应力
b
C、剪力F引起的切应力τ''
D、扭切应力τ'和切应力τ''之和
3．当簧丝直径d一定时，圆柱形螺旋弹簧的旋绕比C如取得太小，则。
A、弹簧尺寸大，结构不紧凑
B、弹簧的刚度太小
C、弹簧卷绕有困难
D、簧丝的长度和重量较大
4．设计圆柱拉伸螺旋弹簧时，簧丝直径d的确定主要依据弹簧的
A、稳定性条件
B、刚度条件
C、强度条件
D、变形条件
三、填空题
1．弹簧在工作时常受载荷或载荷作用。
2．弹簧的材料应具有足够的极限、极限、韧性和良好的性能。3．常用的金属弹簧材料有、和等。
4．圆柱螺旋弹簧的制造工艺过程包括：
（1）（2）（拉伸弹簧）
（3）（4）
5．弹簧指数C是设计中的重要参数。C值，弹簧刚度小，。C值弹簧刚度大。
四、设计计算题
1．一扭转螺旋弹簧用在760mm的门上（题图）。当门关闭时，手把上加的推力才能把门打开。当门转到180°后，手把上的力为。若材料的许用应力[]σ=1100N/mm2，求：1）该弹簧的弹簧丝直径d和平均直径D2；2）所需的初始角变形；3）弹簧的工作圈数。
题图
2．试设计一受静载荷的压缩螺旋弹簧。已知条件如下：当弹簧受载荷F 1=178N 时，其长度H 1=89mm ；当F 2=1160时，H 2=54mm ；该弹簧使用时套在直径为30mm 的芯棒上。现有材料为碳素弹簧钢丝，并要求所设计弹簧的尺寸尽可能小。
3．一拉伸螺旋弹簧用于高压开关中，已知最大工作载荷F 2=2070N ，最小工作载荷F 1=615N ，弹簧丝直径d=10mm ，外径D=90mm ，有效圈数n=20，弹簧材料为60Si2Mn ，载荷性质属于Ⅱ类。求：1）在F 2作用时弹簧是否会断该弹簧能承受的极限载荷F lim ；2）弹簧的工作行程。
例 解
1、某圆柱螺旋压缩弹簧的参数如下：D 2=34mm ，d=6mm ，n=10，弹簧材料为碳素弹簧钢丝，当最大工作载荷F max =100N ，弹簧的变形量及应力分别是多少
解答：1）弹簧的变形量：由表查得弹簧材料的切变模量G=79×103MPa ，弹簧指数C=D 2/d =34/6=，则弹簧的最大轴向变形量为：
mm Gd n C F 07.36
7900010667.51008833max max =????==λ 2）弹簧丝截面应力：
曲度系数 2692.1667
.5615.04667.541667.54615.04414=+-?-?=+--≈C C C K 则弹簧丝内侧的最大应力为：
MPa d F D K 874.506
1003482692.1833max 2
=????==ππτ
分析与思考： 弹簧有哪些主要功用试分别举例说明。
2、设计一在变载荷作用下工作的阀门圆柱螺旋压缩弹簧（要求绘制弹簧零件工作图）。已知最小工作载荷F min =256N ，最大工作载荷F max =1280N ，工作最小压缩变形量λmin =4mm ，最大压缩变形量λmax=20mm ，弹簧外径D ≤38mm ，载荷作用次数N ≤105，一端固定，一端铰支支承。
解答：1）选择材料，确定许用应力
因弹簧在变载荷下工作，且N ≤105，故为Ⅱ类弹簧，选择50CrVA 为弹簧丝材料，
由表查出， []MPa 1079G 590MPa,τ3?==。
2）初选弹簧指数C=5， 则曲度系数31.15
615.0454154615.04414=+-?-?=+--≈
C C C K 3）求弹簧丝材料直径 []mm mm KC F d 03.6590
531.112806.16.1max =??=≥τ 取标准值d=6mm
4）求中径：mm Cd D 30652=?==
外 径：mm mm d D D 38366302≤=+=+=，满足要求。
5）求有效工作圈数n 及总圈数n 1
5.751280862079000833max max ≈????==C F d
G n λ
为保证两支承面与弹簧轴线垂直，弹簧两端各并紧一圈，则弹簧总圈数
n 1=n+2=+2=
6）弹簧的几何尺寸及稳定性计算
外径：D =36mm
内径：mm d D D 2463021=-=-=
节距：mm d n d n d p 27.961.05
.72061.0max
1max
=?++=++=++=λδλ 螺旋升角：=γarctan =2D p πarctan ?=?617.530
27.9π 自由高度：mm d np H 52.7865.127.95.75.10=?+?=+=
取标准值：H 0 = 80mm
则修正无载荷作用下弹簧的螺旋升角为：?=736.5γ
弹簧展开长度：mm n D L 9007366.5cos 5.930cos 12=?
??==πγπ 稳定性计算：高径比7.367.230
8020<===D H b 一般规定，当弹簧一端固定，另一端自由时，b<，不会失去稳定性。
7）弹簧标记：
压簧 280306-?? 891239-GB 50CrVA
8）弹簧零件工作图： 略
分析与思考：（1）什么是弹簧的特性曲线它与弹簧刚度有什么关系 （2）试述圆柱螺旋弹簧的弹簧指
数C的定义，C值大小对弹簧丝的强度和弹簧刚度有什么影响
参考答案
复习思考题（参考答案从略）
选择题
1. D
填空题
1．变载荷；冲击载荷
2．弹性、疲劳、冲击、热处理
3．碳素弹簧钢 锰弹簧钢 合金弹簧钢
4．（1）卷绕 （2）制作挂钩
（3）热处理 （4）工艺试验
5．太大；易颤动；太小
设计计算题
1．解（1）求d 和D 2 取C=5，则19.144141=--=
C C K ， 得 []33
121100
19.17605.133232????=≥πσπK M d =
取d=5mm 。
D 2=cd=5×5=25mm
（2）求初始角变形1? 画弹簧特性曲线图，可求得 ?=-???=-=
90760)5.45.13(7605.41801801211M M M ? （3）求n 由式 EI n
MD 2π?= 得
)(2
3
180902rad π?=?+?=
()37257605.136451006.22
34
5222≈??????==ππππ?D M EI n 圈 2．解（1）求钢丝直径d 初选d=6mm ，选用Ⅰ组碳素钢丝为弹簧材料，由表得[τⅢ]=×1450=725N/mm 2。则c=7，D 1=6×7–6=36mm （>30，合题意）。查图得K=, 由式
得 []mm C
KF d III 87.5725
7116021.1882=????=≥πτπ 取 d=6mm ，与原假设符合。
D 2=cd=7×6=42mm
（2）求弹簧工作圈数n 弹簧刚度
mm N H H F F K /2854
8917811602112=--=--= ∴ 变形 mm K F h 4.4128
116022===。 24.67
1160864.41108834322=?????==C F d Gh n 圈。取n=6。 总圈数n 1=n+2=6+2=8
（3）求其余参数
H 0=H 2+h 2=54+=
H s =(n 1–d=(8–×6=45mm ( mm n H H s 4.86 454.950=-=-=δ mm d p 4.1464.8=+=+=δ ?=?==23.6424.142ππαarctg D p arctg （在5°~9°之间） mm n D L 106223.6cos 842cos 12=? ??==παπ （4）分析 本题要求所设计弹簧尽可能小，并且D 1>30。现按照给定材料范围，选用强度最好的I 组碳素钢丝。当材料一定后，弹簧的体积决定于长度和直径。而长度由刚度条件定，故应使D 1尽可能小，但D 1又必须大于30。现对几种方案加以比较： 当C=7，由强度条件知d=6mm ；若加大d ，则D 1也将增加。 若取C=8。则K=。 []mm C KF d 20.6725 8116018.1882=????=≥πτπ 较C=7时的d 为大，故D 1仍将加大。 若取d=, 则K= mm d 52.5725 6116025.18=????≥π 若取C=6, 则弹簧内径 )30(28)16(6.5)1(1<=-?=-=mm c d D ∴ 不合要求。 由此可定，d=6mm ， n=6圈，旋绕比C=7为最佳方案。 3． 解（1）检验强度 由表查得， [τⅡ]=640×=512N/mm 2 （由表注：拉簧的许用应力为表中值的80%）。由C=810 802==d D ，得K=。由式 2222/49810 82070818.18mm N d C F K =????==ππτ τ<[τⅡ]。该弹簧能满足强度条件。 （2）求极取载荷F lim 达到弹簧材料剪切屈服极限τs 的载荷称为极限载荷F lim 。一般手册查不到τs 值。对Ⅱ类载荷可取τs =[τⅡ]=×512=640N/mm 2。由式得 N kc d F s 2660818.18640 10822lim =????==πτπ （3）求弹簧的工作行程，由式 mm Gd n C F h 21210 10820820708843322=?????== mm F F h h 632070 6152122121=?== 故工作行程 mm h h h 14963212120=-=-= 有关弹簧的题目在高考中几乎年年出现，由于弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的认识，不能建立与之相关的物理模型并进行分类，导致解题思路不清、效率低下、错误率较高.在具体实际问题中，由于弹簧特性使得与其相连物体所组成系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性，加之弹簧在伸缩过程中涉及力和加速度、功和能、冲量和动量等多个物理概念和规律，所以弹簧试题也就成为高考中的重、难、热点， 一、“轻弹簧”类问题 在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为F ，另一端受力一定也为F ,若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F . 【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m 不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力1F 、2F ，且12F F >，则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 . 【解析】 以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得： 12F F ma -=，即12 F F a m -= 仅以轻质弹簧为研究对象，则弹簧两端的受力都1F ，所以弹簧秤的读数为1F . 说明:2F 作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的. 【答案】12 F F a m -= 1F 二、质量不可忽略的弹簧 【例2】如图3-7-2所示，一质量为M 、长为L 的均质弹簧平放在光滑的水平面,在弹簧右端施加一水平力F 使弹簧向右做加速运动.试分析弹簧上各部分的受力情况. 【解析】 弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿第二定律得其加速度F a M = ,取弹簧左部任意长度x 为研究对象，设其质量为m 得弹簧上的弹力为： x x F x T ma M F L M L == = 【答案】x x T F L = 三、弹簧的弹力不能突变(弹簧弹力瞬时)问题 弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端一般与物体连接，因弹簧形变过程需要一段时间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变. 即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变. 【例3】如图3-7-3所示，木块A 与B 用轻弹簧相连，竖直放在木块C 上，三者静置于地面，A B C 、、的质量之比是1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C 的瞬时，木块A 和B 的加速度分别是A a = 与B a = 图 3-7-2 图 3-7-1 高中物理中的弹簧问题归类 高三物理第二轮专题复习（一）弹簧类问题 轻弹簧是一理想模型，涉及它的知识点有①形变和弹力，胡克定律②弹性势能弹簧振子等。问题类型： 1、弹簧的瞬时问题 弹簧的两端若有其他物体或力的约束，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。弹簧的弹力不能突变是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。 2、弹簧的平衡问题 这类题常以单一的问题出现，通常用胡克定律F=Kx和平衡条件来求解，列方程时注意研究对象的选取，注意整体法和隔离法的运用。 3、弹簧的非平衡问题 这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的合外力加速度速度动能和其它物理量发生变化的情况。弹簧的弹力与形变量成正比例变化，而它引起的物体的加速度速度动量动能等变化不是简单的单调关系，往往有临界值或极值。有些问题要结合简谐运动的特点求解。 4、弹力做功与动量能量的综合问题 弹力是变力，求弹力的冲量和弹力做的功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。 在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量能量联系，一般以综合题出现。它有机地将动量守恒机械能守恒功能关系和能量转化结合在一起，以考察综合应用能力。分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理动量定理和功能关系等知识解题。 规律：在弹簧-物体系统中，当弹簧处于自然长度时，系统具有最大动能；系统运动中弹簧从自然长度开始到再次恢复自然长度的过程相当于弹性碰撞过程。当弹簧具有最大形变量时，两端物体具有相同的速度，系统具有最大的弹性势能。系统运动中，从任意状态到弹簧形变量最大的状态的过程相当于完全非弹性碰撞的过程。(实际上应为机械能守恒) 典型试题 1、如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B点。在B点正上方A点处，有一质量为m的物块，物块从静止开始自由下落。物块落在弹 簧上，压缩弹簧，到达C点时，物块的速度为零。如果弹簧的形变始终未超过 弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ B ） A、物块在B点时动能最大 B、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块的加速度的最大值大于g C、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块做简谐运动 D、如果将物块从B点由静止释放，物块仍能到达C点 2、如图所示，弹簧上端固定在天花板上，下端系一铜球，铜球下端放有通电线圈。 今把铜球拉离平衡位置后释放，此后关于小球的运动情况（不计空气阻力）是（） A．做等幅振动B．做阻尼振动 C．振幅不断增大 D．无法判断 3、如图所示，质量相同的木块AB用轻弹簧相连，静止在光滑水平面上。弹簧处 于自然状态。现用水平恒力F向右推A，则从开始推A到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列 弹簧类问题分析方法专题 弹簧类问题分析方法专题 江西省广丰中学周小勇 高考要求轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见.应引起足够重视. 弹簧类命题突破要点 1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化. 2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变. 3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算， 也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k =-（21kx 22-21kx 12 ），弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式E p =21kx 2 ，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解. 弹簧类问题多为综合性问题，涉及的知识面 广，要求的能力较高，是高考的难点之一. 在高考复习中，常常遇到有关“弹簧类”问题，由于弹簧总是与其他物体直接或间接地联系在一起，弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能量方面的联系，因此学生普遍感到困难，本专题此类问题作一归类分析。 案例探究 一、最大、最小拉力问题 例1. 一个劲度系数为k ＝600N/m 的轻弹 簧，两端分别连接着质量均为m ＝15kg 的物体A 、B ，将它们竖直静止地放在水平地面上， 二轮专题复习：弹簧类综合问题训练 一、考点分析 轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力、胡克定律、物体的平衡、牛顿定律的应用及能的转化与守恒。从近几年高考题，可以看出弹簧类综合问题是高考的热点和重点。 二、与弹簧有关的综合问题基本知识概述 1、弹簧的瞬时问题 弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。及轻弹簧的弹力不能突变，其弹力与瞬间前相同。 2、弹簧与平衡问题 这类题涉及到的知识是胡克定律，一般用F=kx同时结合物体的平衡条件知识求解。3、弹簧与非平衡问题 这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的力、加速度、速度、功能和合外力等其它物理量发生变化的情况。需综合分析物体的位置变化与弹簧的长度、形变量有怎样的关系。 4、弹簧与能量的综合问题 在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与能量的转化与守恒相联系，分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。 三、处理弹簧问题的一般思路与方法 1、弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应. 在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原来的长位置，现在的长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化. 2、因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变. 3、在求弹簧的弹力做功时，往往结合动能定理和功能关系以及能量转化和守恒定律求解。典型示例迁移 1、弹簧弹力瞬时问题 例1、如图所示，木块A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三 者静置于地面，A、B、C的质量之比是1∶2∶3．设所有接触面都光滑， 当沿水平方向迅速抽出木块C的瞬时，木块A和B的加速度分别是 a A=____ ，a B=____ 解析;由题意可设A、B、C的质量分别为m、2m、3m 以木块A为研究对象，抽出木块C前，木块A受到重力和弹力一对平 衡力，抽出木块C的瞬时，木块A受到重力和弹力的大小和方向均没变，故木块A的瞬时加速度为0 以木块AB为研究对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力F cB=3mg 以木块B为研究对象，木块B受到重力、弹力和F cB三力平衡，抽出木块C的瞬时，木块B 受到重力和弹力的大小和方向均没变，F cB瞬时变为0，故木块C的瞬时合外力为竖直向下的3mg。瞬时加速度为1.5g 变式训练1、如图（A）所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1 弹簧分离问题经典题目 1.如图所示，光滑水平地面上，可视为质点的两滑块A、B在水平外力的作用下紧靠在一起压缩弹簧，弹簧左端 固定在墙壁上，此时弹簧的压缩量为x 0，以两滑块此时的位置为坐标原 点建立如图所示的一维坐标系，现将外力突然反向并使B向右做匀加速 运动，下列关于外力F、两滑块间弹力F N与滑块B的位移x变化的关系 图象可能正确的是() 解析:设A、B向右匀加速运动的加速度大小为a，根据牛顿第二定律，对整体有F＋k(x0－x)＝(m A＋m B)a，可得F＝kx＋(m A＋m B)a－kx0，若(m A＋m B)a＝kx0，得F＝kx，则F与x成正比，F－x图象可能是过原点的直线，对A有k(x0－x)－F N＝m A a，得F N＝－kx＋kx0－m A a，可知F N－x图象是向下倾斜的直线，当F N＝0时A、B 开始分离，此后B做匀加速运动，F不变，则A、B开始分离时有x＝x0－ m A a k 弹簧问题专题训练 类型一静力学问题中的弹簧 如图所示,四处完全相同的弹簧都处于水平位置,它们的右端受到大小皆为F 的拉力作用,而左端的情况各不相同:①中的弹簧的左端固定在墙上②中的弹簧的左端也受到大小也为F 的拉力的作用③中的弹簧的左端拴一小物块,物块在光滑的桌面上滑动④中的弹簧的左端拴一个小物块,物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量为零,以L 1、L 2、L 3、L 4依次表示四个弹簧的伸长量,则有：( ) D A ．L 2>L 1 B ．L 4>L 3 C ．L 1>L 3 D ．L 2=L 4 类型二在弹簧弹力作用下瞬时加速度的求解 如图所示,竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两物块P 、Q,它们的质量 均为2kg ,均处于静止状态.若突然将一个大小为10N 、方向竖直向下的力施 加在物块P 上,则此瞬间,P 对Q 压力的大小为（g 取10m/s 2）：( ) C A.5N B.15N C.25N D.35N. 类型三物体在弹簧弹力作用下的动态分析 如图所示，一劲度系数为k =800N/m 的轻弹簧两端各焊接着两个质量均 为m =12kg 的物体A 、B 。物体A 、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上， 现要加一竖直向上的力F 在上面物体A 上，使物体A 开始向上做匀加 速运动，经0.4s 物体B 刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性 限度内，取g =10m/s 2 ，求： （1）此过程中所加外力F 的最大值和最小值。（F 1＝45N ，F 2＝285N ） （2）此过程中外力F 所做的功。（49.5J ） 类型四物体在弹簧弹力作用下的运动分析 A 、 B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量 分别为0.42 kg 和0.40 kg ，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s 2的加速度竖 直向上做匀加速运动（g=10 m/s 2）. （1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值； （2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J ，求这一过程F 对木块做的功. 类型五传感器问题 两个质量不计的弹簧将一金属块支在箱子的上顶板与下底板之间,箱子 只能沿竖直方向运动,如图所示,两弹簧原长均为0.80m,劲度系数均为 60N/m.当箱以a=2.0m/s 2的加速度匀减速上升时,上、下弹簧的长度分别 为0.70m 和0.60m(g=10m/s 2).若上顶板压力是下底板压力的四分之一, 试判断箱的运动情况。 类型六连接体弹簧中的动力学问题 如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、 B ，它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k ， C 为一固定挡板。 ○3 ○4 ○2 ○ 1 F F F F F 图一 常见弹簧类问题分析 高考要求 轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见.应引起足够重视. 弹簧类命题突破要点 1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化. 2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变. 3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能 关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k =-（21kx 22-2 1kx 12 ），弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式E p = 2 1kx 2 ，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解. 下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进行分析。 一、与物体平衡相关的弹簧问题 1.(1999年，全国)如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面 木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面 弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( ) A.m 1g/k 1 B.m 2g/k 2 C.m 1g/k 2 D.m 2g/k 2 此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提， 说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m 1离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m 1 + m 2)g ／k 2，而m l 刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m 2g ／k 2，因而m 2移动△x ＝(m 1 + m 2)·g ／k 2 - m 2g ／k 2＝m l g ／k 2． 此题若求m l 移动的距离又当如何求解? 参考答案:C 2.S 1和S 2表示劲度系数分别为k 1，和k 2两根轻质弹簧，k 1>k 2；A 和B 表示质量分别为m A 和m B 的两个小物块，m A >m B ,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大则应使( )． A.S 1在上，A 在上 B.S 1在上，B 在上 C.S 2在上，A 在上 D.S 2在上，B 在上 参考答 案:D 3.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m ， 它们的一端固定，另一 弹簧问题归类 一、“轻弹簧”类问题 在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为F ，另一端受力一定也为F ,若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F . 【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m 不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加弹簧上水平方向的力1F 和称外壳上的力2F ，且12F F >，则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 . 【解析】 以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得： 12F F ma -=，即12 F F a m -= ,仅以轻质弹簧为研究对象，则弹簧两端的受力都1F ，所以弹簧秤的读数为1F .说明:2F 作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的.【答案】12 F F a m -= 1F 二、质量不可忽略的弹簧 【例2】如图3-7-2所示，一质量为M 、长为L 的均质弹簧平放在光滑的水平面,在弹簧右端施加一水平力F 使弹簧向右做加速运动.试分析弹簧上各部分的受力情况. 【解析】 弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿第二定律得其加速度F a M =, 取弹簧左部任意长度x 为研究对象，设其质量为m 得弹簧上的弹力为：,x x F x T ma M F L M L ===【答案】x x T F L = 三、弹簧的弹力不能突变(弹簧弹力瞬时)问题 弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端一般与物体连接，因弹簧形变过程需要一段时间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变. 即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变. 【例3】如图3-7-3所示，木块A 与B 用轻弹簧相连，竖直放在木块C 上，三者静置于地面，A B C 、、的质量之比是1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C 的瞬时，木块A 和B 的加速度分别是A a = 与B a = 【解析】由题意可设A B C 、、的质量分别为23m m m 、、， 以木块A 为研究对象，抽出木块C 前，木块A 受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块C 的瞬时，木块A 受到重力和弹力的大小和方向均不变，故 木块A 的瞬时加速度为0.以木块A B 、为研究对象，由平衡条件可知，木块C 对木块B 的作用力 3CB F mg =.以木块B 为研究对象，木块B 受到重力、弹力和CB F 三力平衡，抽出木块C 的瞬时，木块B 受到重力和弹力的大小和方向均不变，CB F 瞬时变为0，故木块B 的瞬时合外力为3mg ,竖直向下，瞬时加速度为1.5g . 【答案】0 ,1.5g. 说明：区别于不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变. 【例4】如图3-7-4所示，质量为m 的小球用水平弹簧连接，并用倾角为0 30的光滑木板AB 托住，使小球恰好处于静止状态.当AB 突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 ( ) A.0 B.大小为23 3 g ，方向竖直向下 C.大小为 233g ，方向垂直于木板向下 D. 大小为23 3 g , 方向水平向右 【解析】 末撤离木板前，小球受重力G 、弹簧拉力F 、木板支持力N F 作用而平衡，如图3-7-5所 示，有cos N mg F θ = .撤离木板的瞬间，重力G 和弹力F 保持不变(弹簧弹力不能突变)，而木板支持力N F 立即消失,小球所受 G 和F 的合力大小等于撤之前的N F (三力平衡)，方向与N F 相反，故加速度方向 为垂直木板向下，大小为23 cos 3 N F g a g m θ= == 【答案】 C. 四、弹簧长度的变化问题 设劲度系数为k 的弹簧受到的压力为1F -时压缩量为1x -，弹簧受到的拉力为2F 时伸长量为2x ，此时的“-”号表示弹簧被压缩.若弹簧受力由压力1F -变为拉力2F ，弹簧长度将由压缩量1x -变为伸长量2x ，长度增加量为12x x +.由胡克定律有: 11()F k x -=-,22F kx =.则:2121()()F F kx kx --=--,即F k x ?=? 说明:弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时x ? 表示的物理意义是弹簧长度的改变量，并 图 3-7-4 图 3-7-5 图 3-7-2 图 3-7-1 图 3-7-3 弹簧类问题的几种模型及其处理方法 学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。根据近几年高考的命题特点和知识的考查，就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析。 一、弹簧类命题突破要点 1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。 2．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。 3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。同时要注意弹力做功的特点：弹力做 功等于弹性势能增量的负值。弹性势能的公式，高考不作定量要求，可作定性讨论， 因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。 二、弹簧类问题的几种模型 1．平衡类问题 例1．如图1所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为 m1、m2的物块拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴 接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现 施力将m1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌 面。在此过程中，m2的重力势能增加了______，m1的重力势能 增加了________。 例2．如上图2所示，A物体重2N，B物体重4N，中间用弹簧连接，弹力大小为2N，此时吊A物体的绳的拉力为T，B对地的压力为F，则T、F的数值可能是 A．7N，0 B．4N，2N C．1N，6N D．0，6N 平衡类问题总结：这类问题一般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来，考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况。只要学生静力学基础知识扎实，学习习惯较好，这类问题一般都会迎刃而解，此类问题相对较简单。 2．突变类问题 例3．如图3所示，一质量为m的小球系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，小球处于平衡状态。现将l2线剪断，求剪断瞬时小球的加速度。若将图3中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图4所示，其他条件不变，求剪断细线l2瞬时小球的加速度。 突变类问题总结：不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计，因此可以称为“突变弹力”，轻质弹簧的弹力变化需要一定时间，弹力逐渐减小，称为“渐变弹力”。所以，对于细线、弹簧类问题，当外界情况发生变化时（如撤力、变力、剪断），要重新对物体的受力和运动情况进行分析，细线上的弹力可以突变，轻弹簧弹力不能突变，这是处理此类问题的关键。 3．碰撞型弹簧问题 此类弹簧问题属于弹簧类问题中相对比较简单的一类，而其主要特点是与碰撞问题类似，但是， 旋转弹簧类问题的分析技巧 湖北省恩施高中 陈恩谱 弹簧弹力F 与弹簧形变量x 成正比，因此，在弹簧类问题中，可以用弹簧形变量的变化规律，代表弹簧弹力的变化规律，这种方法在旋转弹簧类动力学问题分析中有着格外的直观性优势。 【例1】如图所示，A 、B 两物块始终静止在水平地面上，有一轻质弹簧一端连接在竖直墙上P 点，另一端与A 相连接，下列说法正确的是( ) A ．如果 B 对A 无摩擦力，则地面对B 也无摩擦力 B ．如果B 对A 有向左的摩擦力，则地面对B 也有向左的摩擦力 C ．P 点缓慢下移过程中，B 对A 的支持力一定减小 D ．P 点缓慢下移过程中，地面对B 的摩擦力一定增大 【解析】分析本题C 、D 选项，大多数人采用的都是举反例的方法，但是，对于想把问题搞清楚的学生来说，正面回答才是正道。下面就利用前述结论来对此问题做一个正面分析。 弹簧初态是拉伸、原长还是压缩？不知道，因此本问题需要全面分析——各种情况都需要仔细分析。为此，我们从弹簧处于拉伸状态分析起。如甲图所示，Ac 设为弹簧原长，弹簧的Aa 、Ab 状态为拉伸状态， Ad 、Ae 、Af 为压缩状态。 弹簧端点从a 点向下移动到b 点，再到 c 点的过程中，弹簧对A 的拉力竖直分量越 来越小，水平分量也越来越小。故A 与B 之 间的摩擦力减小，B 与地面之间的摩擦力也 减小，而A 对B 的压力增大，B 对A 的支持 力、地面对B 的支持力也增大。 弹簧端点从c 点向下移动到d 点、e 点， 再到f 点的过程中，弹簧对A 的压力竖直分 量先变大后变小，但水平分量越来越大。故 A 与B 之间的摩擦力、B 与地面之间的摩擦力一直增大，而A 对B 的压力先增大后减小，B 对A 的支持力、地面对B 的支持力也先增大后减小。 从上述分析来看，因为没指明初态P 点位于何处，弹簧处于什么状态，C 、D 的分析就片面或说不知所指了。 【例2】如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系统处于平衡状态.现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度(橡皮筋在弹性限度内)，与稳定在竖直位置时相比，小球的高度( ) A ．一定升高 B ．一定降低 C ．保持不变 D ．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定 【解析】设OA 长度为橡皮筋原长，小车静止时，橡皮筋处于竖直状态OB ，拉伸量为x 1，小车向左加速运动时，橡皮筋向右倾斜OC ，拉伸量为x 2，由平衡条件可知，两种情况下，橡皮筋拉力的竖直分量相等（等于小球重力），也就是的竖直分量相等。但是，弹簧原长OA 的竖直分量在加速运动时却在减小， 所以答案选A 。 本题易错点是对橡皮筋长度和橡皮筋伸长量混淆，而错选C 。 A B C A 甲 乙 弹簧问题 一、分离点 1、质量为M=3kg 的小车放在光滑的水平地面上，物块A 和B 的质量均为m=1kg ，且均放在小车的光滑水平地板上，物块A 和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图所示。物块A 和B 并排靠在一起，现用力向右压B ，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功135J ，撤去外力，当A 和B 分开后，在A 达到小车地板的最左端位置之前，B 已从小车左端抛出。求：B 与A 分离时，小车的速度是多大？ s m v s m v W E Mv mv Mv mv v v B A B A B M P M B M B M B 9,62 12210 222====+?=-解得：能守恒，得：，则由动量守恒和机械车速度为，分离时小等速，设为、长时分离，分离前应在弹簧第一次恢复原与解析： 2、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧质量都不计，盘内放有一质量m=12kg 并处于静止的物体P ，弹簧劲度系数k=300N/m ，现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始始终向上作匀加速直线运动，在这过程中，头0.2s 内F 是变力，在0.2s 后F 是恒力，则 (1)、物体P 作匀加速运动的加速度大小为多少？ (2)、F 的最小值、最大值分别为多少？ N a g m F m a m g F P F N m a F P F s m at x x k m g F F P P 360)(24020a 2 1max max min 2 2 =+==-====??=所以托盘后，刚要离开托盘时和离开最大值即为刚开始加速时，即：最小值为解得：，原长的时刻。，所以分离时必是弹簧恒力。因托盘不计质量为变力，分离后为前与托盘分离互间弹力为零。物体与托盘分离的条件为相解析：物体 2 2 专题 07 弹簧问题 1. 蹦床类似于竖直放置的轻弹簧（共弹力满足 F=kx ，弹性势能满足 E P = kx ， x 为床面下沉的距离， k 为常量）．质量为 m 的运动员静止站在蹦床上时，床面下沉；蹦床比赛中，运动员经过多次蹦跳，逐渐 增加上升高度，测得某次运动员离开床面在空中的最长时间为△ t ．运动员可视为质点，空气阻力忽略 不计，重力加速度为 g ．则可求（ ） A . 常 量 k= B . 运动员上升的最大高度 h= g （△ t ） 2 C . 床面压缩的最大深度 x=x 0+ D . 整个比赛过程中运动员增加的机械能△ E= mg （△ t ） 【参考答案】 AC 整个比赛过程中运动员增加的机械能等于运动员从 x 0 处到最高点的重力势能与减小的弹性势能的差， 2 2 2 2 即：△ E=mg （ x 0+h ）﹣ =mgx 0+ mg （△ t ） ﹣ ? ? = mgx 0+ mg （△ t ） ．故 D 错误． 2. ( 2016·辽宁师大附中一模 ) 如图所示，一轻质弹簧竖立于地面上，质量为 m 的小球，自弹簧正上方 h 高处由静止释放，则从小球接触弹簧到将弹簧压缩至最短 ( 弹簧的形变始终在弹性限度内 ) 的过程中， 下列说法正确的是 ( ) A . 小球的机械能守恒 2 B.重力对小球做正功，小球的重力势能减小 C．由于弹簧的弹力对小球做负功，所以小球的动能一直减小 D．小球的加速度先增大后减小 【参考答案】． B 3．(2015 ·天津理综，5) 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态 的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知 弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L( 未超过弹性限度) ，则在圆环下滑到最大距 离的过程中( ) A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了 3 mgL C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 【参考答案】． B 【名师解析】圆环在下落过程中弹簧的弹性势能增加，由能量守恒定律可知圆环的机械能减少， 而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，故A、D 错误；圆环下滑到最大距离时速度为零，但是加速度不 为零，即合外力不为零，故 C 错误；圆环重力势能减少了3mgl，由能量守恒定律知弹簧弹性势能增加 了3mgl，故 B 正确。 4. (2015 ·江苏单科，9) 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆 A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止开始下滑，经过 B 处的速度最大，到达C处的速度为零，AC＝h。圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A。弹簧始终在弹性限度内， 重力加速度为g。则圆环( ) 弹簧典型例题剖析 1. 弹簧的弹力不能突变，它的变化要经历一个过程，这是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。 2、弹簧上的弹力是变力，弹力的大小随弹簧的形变量发生变化，求弹力的冲量和弹力做功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。 3对于只有一端有关联物体，另一端固定的弹簧，其运动过程可结合弹簧振子的运动规律去认识，突出过程的周期性、对称性及特殊点的应用。如当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物体的速度最小（为零），弹簧的弹性势能最大，此时，也是关联物的速度方向发生改变的时刻。若关联物与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度最大，弹性势能为零。若关联物与接触面间粗糙，物体速度最大时弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并没有恢复原长，弹性势能也不为零。 4、两端联物的弹簧，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相同，弹簧具有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，相关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。针对此类问题，要立足运动和受力分析，在解题方法上以动量定理、动量守恒定律和动能定理等为首选。 22 1at x = 时间，加速度，位移。三者联系枢纽。 弹簧串联2 1 111k k k +=，弹簧并联k=k 1+k 2 1、一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m 的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。。现让木板由静止开始以加速度a(a ＜g ＝匀加速向下移动。 八、竖直弹簧 1、如图所示，物体B 和物体C 用劲度系数为k 的轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上。将一个物体A 从物体B 的正上方距离B 的高度为 H 0处由静止释放，下落后与物体B 碰撞，碰撞后A 与B 粘合在一起并 立刻向下运动，在以后的运动中A 、B 不再分离。已知物体A 、B 、C 的质量均为M ，重力加速度为g ，忽略空气阻力。 （1）求A 与B 碰撞后瞬间的速度大小。 （2）A 和B 一起运动达到最大速度时，物体C 对水平地面的压力为多大？ （3）开始时，物体A 从距B 多大的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C 恰好离开地面？ 解：（1）设物体A 碰前速度为v 1，对物体A 从H 0高度处自由下落，由机械能守恒定律得： v 1=02gH 。………………………………………………2分 设A 、B 碰撞后共同速度为v 2，则由动量守恒定律得： Mv 1=2Mv 2，………………………………………………3分 v 2=2 0gH 。………………………………………………2分 （2）当A 、B 达到最大速度时，A 、B 所受合外力为零，设此时弹力为F ，对A 、B 由平衡条件得，F =2Mg 。…………………………………………………………………2分 设地面对C 的支持力为N ，对ABC 整体，因加速度为零，所以N =3Mg 。……3分 由牛顿第三定律得C 对地面的压力大小为N ′=3Mg 。………………………………2分 （3）设物体A 从距B 的高度H 处自由落下，根据（1）的结果，A 、B 碰撞后共同速度 V 2＝2gH 。…………………………………………1分 当C 刚好离开地面时，由胡克定律得弹簧伸长量为X ＝Mg /k 。 根据对称性，当A 、B 一起上升到弹簧伸长为X 时弹簧的势能与A 、B 碰撞后瞬间的势能相等。则对A 、B 一起运动到C 刚好离开地面的过程中，由机械能守恒得： MgX MV 422 122=，………………………………2分 联立以上方程解得：k Mg H 8=。…………………………………………………1分 2、如图9所示，物体B 和物体C 用劲度系数为k 的轻弹簧连接并竖直 地静置于水平地面上，此时弹簧的势能为E 。这时一个物体A 从物体B 的正上方由静止释放，下落后与物体B 碰撞，碰撞后A 与B 立刻一起 向下运动，但A 、B 之间并不粘连。已知物体A 、B 、C 的质量均为M ， 重力加速度为g ，忽略空气阻力。求当物体A 从距B 多大的高度自由 落下时，才能使物体C 恰好离开水平地面？ 解：设物体A 从距B 的高度H 处自由落下，A 与B 碰撞前的速度 为v 1，由机械能守恒定律得 v 1=gH 2。 设A 、B 碰撞后共同速度为v 2，则由动量守恒定律得： 图11 图9 弹簧类问题分类例析 弹簧作为一种工具和模型，在各地历年高考中经常出现，笔者经过多年的研究，现分类总结如下： 一、应用对称性解题 例1 如图1所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（） A. 升降机的速度不断减小 B. 升降机的加速度不断变大 C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功 D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值 分析：弹簧下端触地后，升降机先加速后减速，加速度先减小后增大。由动能定理知识选项（C）正确，选项（D）学生难于判断。设想有一轻弹簧竖直在水平地面上，将一小球无初速度放于弹簧上，可以证明小球的运动为简谐运动。由简谐运动的对称性知小球在最低点加速度的值等于在最高点的值。若小球以一定速度落在弹簧上，在最低点加速度的值必大于重力加速度的值。故选（D）正确。 评析：简谐运动的对称性在弹簧问题的运动上有广泛的应用，因此在解决有关于位移、速度、加速度及力的变化时，经常用到。 二、用胡克定律解题 例2 如图2所示，两木块的质量分别为m 1和m 2 ，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1 和k 2 ， 上面木块压在上面的弹簧上（但不栓接），整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为（） A. m g k 11/ B. m g k 21/ C. m g k 12/ D. m g k 22/ 解析：我们把m m 12、看成一个系统，当整个系统处于平衡状态时，整个系统受重力和弹力，即 ()()/m m g k x x m g m g k 1221 1122+==+则 当上面木块离开弹簧时，m 2受重力和弹力，则 m g k x x m g k x x x m g k C 222222 1212===-=，则所以，应选（）//? 评析：该题涉及到整体法和隔离法的应用，解题时要看清问题的关键，根据整体法和隔离法的运用条件，选择适当的方法。 三、应用瞬时不变性解题 例3 如图3所示，物体的质量为m ，L 1为质量不计的轻弹簧，一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L 2为一水平绳，现将L 2剪断，求剪断瞬间物体的加速度。 －1 1 0 2 3 t 1 t t 2 t 3 t 4 v /m/s m 1 m 2 m 1 m 2 v 甲 高中物理弹簧类问题专题练习 1.图中a 、b 为两带正电的小球，带电量都是q ，质量分别为M 和m ；用一绝缘弹簧联结，弹簧的自然长度很小，可忽略不计，达到平衡时，弹簧的长度为d 0。现把一匀强电场作用于两小球，场强的方向由a 指向b ，在两小球的加速度相等的时刻，弹簧的长度为d 。（ ） A ．若M = m ，则d = d 0 B ．若M ＞m ，则d ＞d 0 C ．若M ＜m ，则d ＜d 0 D ．d = d 0，与M 、m 无关 2. 如图a 所示，水平面上质量相等的两木块A 、B 用一轻弹簧相连接，整个系统处于平衡状态.现用一竖直向上的力F 拉动木块A ，使木块A 向上做匀加速直线运动，如图b 所示.研究从力F 刚作用在木块A 的瞬间到木块B 刚离开地面的瞬 间这个过程，并且选定这个过程中木块A 的起始位置为坐标原点，则下列图象中可以表示力F 和木块A 的位移x 之间关系的是（ ） 3.如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m 1和m 2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上.现使m 1瞬时获得水平向右的速度3m/s ，以此刻为时间零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得( ) A ．在t 1、t 3时刻两物块达到共同速度1m/s 且弹簧都是处于压缩状态 B ．从t 3到t 4时刻弹簧由伸长状态逐渐恢复原长 C ．两物体的质量之比为m 1∶m 2 = 1∶2 D ．在t 2时刻两物体的动量之比为P 1∶P 2 =1∶2 4．如图所示，绝缘弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q （可视为质 点）固定在光滑绝缘斜面上的M 点，且在通过弹簧中心的直线ab 上。现把与Q 大小相同，带电性也相同的小球P ，从直线ab 上的N 点由静止释放，在小球P 与弹簧接触到速度变为零的过程中（ ） A.小球P 的速度是先增大后减小 B.小球P 和弹簧的机械能守恒，且P 速度最大时 所受弹力与库仑力的合力最大 C.小球P 的动能、重力势能、电势能与弹簧的弹 性势能的总和不变 D.小球P 合力的冲量为零 5、如图所示，A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg 和0.40 kg ，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s 2的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10 m/s 2）. M m a b a b N M P Q O F O F O F x O F A B C D A B a A B b F高中物理中的弹簧问题归类(教师版)
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