高三数学文科试题及参考答案

绵阳市高2015级第三次诊断性考试数学(文史类)

参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

ABDCC ADABC DB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1(0)8-， 14．2 15．81256π

16．210

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（Ⅰ）由已知a 1a n =S 1+S n ，可得 当n =1时，a 12=a 1+a 1，可解得a 1=0，或a 1=2， ……………………………2分

由{a n }是正项数列，故a 1=2．…………………………………………………3分

当n ≥2时，由已知可得2a n =2+S n ，2a n -1=2+S n -1，

两式相减得，2(a n -a n -1)=a n ．化简得a n =2a n -1， ……………………………6分

∴ 数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．

∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n ． …………………………………………8分

（Ⅱ）∵ b n =32

log 2n a ，代入a n =2n 化简得b n =n -5， ………………………9分 显然{b n }是等差数列，…………………………………………………………10分

∴ 其前n 项和T n =2

92)54(2n n n n -=-+-．…………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由题得蜜柚质量在[17502000)，和[20002250)，的比例为2∶3，

∴ 应分别在质量为[17502000)，，[20002250)，的蜜柚中各抽取2个和3个．

……………………………………………2分 记抽取质量在[17502000)，的蜜柚为A 1，A 2，质量在[20002250)，的蜜柚为B 1，B 2，B 3，

则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：

A 1A 2，A 1

B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，

其中质量均小于2000克的仅有A 1A 2这1种情况，…………………………5分 故所求概率为

10

1．………………………………………………………………6分 （Ⅱ）方案A 好，理由如下：…………………………………………………7分

由频率分布直方图可知，蜜柚质量在)17501500[，的频率为250×0.0004=0.1， 同理，蜜柚质量在)20001750[，，)22502000[，，)25002250[，，)27502500[，，]30002750[，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05． …………………8分

若按A 方案收购：

根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，

于是总收益为 (150017502+×500+175020002

+×500+200022502+×750+225025002+×2000+250027502+×1000+275030002

+×250)×40÷1000 =2502

×250×[(6+7)×2+(7+8)×2+(8+9)×3+(9+10)×8+(10+11)×4+(11+12)×1]× 40÷1000

=25×50 [26+30+51+152+84+23]

=457500（元）． ……………………………………………………………10分

若按B 方案收购：

∵ 蜜柚质量低于2250克的个数为 (0.1+0.1+0.3)×5000=1750，

蜜柚质量低于2250克的个数为5000-1750=3250，

∴ 收益为1750×60+325080=250×20×[7×3+13×4]=365000元．

∴ 方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A ．…………………12分

19．解：（Ⅰ）证明：连接AC ，与交BD 于点N ，连接MN ． 由ABCD 是菱形，知点N 是AC 的中点．…1分

又∵ 点M 是PC 的中点， ∴ MN //P A ， ………………………………3分

而MN ⊂面MDB ，P A ⊄面MDB ， ∴ P A //面MDB ． ……………………………5分 （Ⅱ） ∵ P A ⊥面ABCD ， ∴ P A ⊥AB ，P A ⊥AD ．

又∵ AB=AD ，

∴ Rt △P AD ≌Rt △P AB ，于是PB=PD ．……………………………………7分 由已知PB ⊥PD ，得2PB 2=BD 2． ……………………………………………8分

令菱形ABCD 的边长为a ，则由∠BAD =3

2π，可得BD =a 3， ∴ PB =a 26，P A =a 2

2． ……………………………………………………9分 ∴ V P -ABD

=231113322ABD S PA a ∆⋅=⨯= 解得a =2，于是P A =

22

2=a ． ……………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设F 2(c ，0)，由题意可得

22a c M =a b 2

． ∵ OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH ∴ |MF 2|=22，即a

b 2=22，整理得a 2=2b 4．① …………………………2分 又由题知，Q 为椭圆C 的上顶点，

∴ △F 1F 2Q 的面积=122

1=⨯⨯b c ，整理得bc =1，即b 2(a 2-b 2)=1，② ……3分 联立①②可得2b 6-b 4=1，变形得(b 2-1)(2b 4+b 2+1)=0，

解得b 2=1，进而a 2=2，

∴ 椭圆C 的方程为1222

=+y x ． ……………………………………………5分 （Ⅱ）由|OB OA 2+|=|-|可得|2+|=|2-|， 两边平方整理得=0OA OB ⋅u u u r u u u r ．……………………………………………………6分 直线l 斜率不存在时，A (-1，22)，B (-1，2

2-)，不满足=0OA OB ⋅u u u r u u u r ．…7分 直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为1-=my x ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-= 12

122y x my x 消去x ，得(m 2+2)y 2-2my -1=0， ∴ y 1+y 2=222+m m ，y 1y 2=212+-m ，（*）………………………………………9分 由=0OA OB ⋅u u u r u u u r 得02121=+y y x x ．

将x 1=my 1-1，x 2=my 2-1代入整理得(my 1-1)(my 2-1)+y 1y 2=0，

P D M C A B N