哈尔滨工业大学高等数学期末考试试题和答案.doc

高等数学期末考试试题（4）

一、填空题：（本题共5小题 ,每小题4分 ,满分20分 ,把答案直接填在题中横线上）

1、已知向量a 、b 满足0a b += ,2a = ,2b = ,则a b ⋅= ．

2、设ln()z x xy = ,则32

z

x y ∂=∂∂ ．

3、曲面2

2

9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数 ,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x = ,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段 ,则

()L

x y ds +=⎰

．

※以下各题在答题纸上作答 ,答题时必须写出详细的解答过程 ,并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题 ,每小题7分 ,满分35分）

1、 求曲线222

222

239

3x y z z x y

⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．

2、 求由曲面2

2

22z x y =+及2

2

6z x y =--所围成的立体体积．

3、 判定级数1

1

(1)ln

n n n n

∞

=+-∑是否收敛？如果是收敛的 ,是绝对收敛还是条件收敛？

4、 设(,)sin x z f xy y y =+ ,其中f 具有二阶连续偏导数 ,求2,

z z

x x y

∂∂∂∂∂．

5、 计算曲面积分,dS z ∑

⎰⎰其中∑是球面2222

x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．

三、（本题满分9分）

抛物面2

2

z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆 ,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

四、 （本题满分10分）

计算曲线积分

(sin )(cos )x x L

e y m dx e y mx dy -+-⎰

,

其中m 为常数 ,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2

2

(0)x y ax a +=>．

五、（本题满分10分）

求幂级数13n

n n x n

∞

=⋅∑的收敛域及和函数．

六、（本题满分10分）

计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=

++-⎰⎰ , 其中∑为曲面2

2

1(0)z x y z =--≥的上侧．

七、（本题满分6分）

设()f x 为连续函数 ,(0)f a = ,2

22()[()]t F t z f x

y z dv Ω=

+++⎰⎰⎰ ,其中t Ω

是由曲面z =

与z = ,求 3

()

lim t F t t +

→．

2012高等数学期末考试试题【A 卷】

参考解答与评分标准 2009年6月

一、填空题【每小题4分 ,共20分】 1、4-； 2、21

y

-；3、2414x y z ++=； 4、3 ,0； 5

二、试解下列各题【每小题7分 ,共35分】

1、解：方程两边对x 求导 ,得323dy

dz y z x dx dx dy dz y z x

dx

dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ , 从而54dy x dx y =-

,74dz x dx z =…………..【4】 该曲线在

()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488

T ==…………..【5】 故所求的切线方程为

1128107

x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为

()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)

２、解：22

22

226z x y z x y

⎧=+⇒⎨=--⎩22

2x y += ,该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤．…..【2】 故所求的体积为V

dv Ω

=

⎰⎰⎰22

2620

20

2(63)6d d dz d πρρ

θρπρρπ-==-=⎰⎰

(7)

３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10n

n n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=> ,知级数1

n n u ∞

=∑发散 (3)

又111||ln(1)ln(1)||1n

n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n

→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

４、解：

121211

()0z f y f yf f x y y

∂''''=⋅+⋅+=+∂ , …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x x

f y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222

231.x f xyf f f y y

''''''=+--【7】 ５、解：∑

的方程为z =,∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．

=,…..………【３】