立体几何中的探索性题型

立体几何中的探索性题型

1．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)（本小题满分12分）

如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，

60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．

（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值．

：（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P ．…1分

证明如下：

取AB 的中点F 连结DP PF EF 、、，则

AC FP //，AC FP 2

1

=，

取AC 的中点M ，连结EM EC 、， ∵AC AE =且60EAC ∠=︒， ∴△EAC 是正三角形，∴AC EM ⊥． ∴四边形EMCD 为矩形， ∴AC MC ED 2

1

=

=．又∵AC ED //，………3分 ∴FP ED //且ED FP =，

四边形EFPD 是平行四边形．……………………4分 ∴EF DP //，

而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，

∴//DP 平面EAB ． ……………………6分 （2）（法1）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连结DG ，

∵AC ED //，∴l ED //，

l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱．……8分

∵平面EAC ⊥平面ABC ，AC DC ⊥，∴⊥DC 平面ABC ， 又∵⊂l 平面ABC ，∴⊥l 平面DGC ，∴DG l ⊥，

A B

C

D

E P

M

F

G

∴DGC ∠是所求二面角的平面角．………………10分

设a AE AC AB 2===，则a CD 3=

，

a GC 2=，

∴a CD GC GD 72

2

=+=， ∴

7

7

2cos cos ==∠=GD GC DGC θ． ………12分

（法2）∵90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面

ABC ，

∴以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内（如图）．

设a AE AC AB 2===，由已知，得)0,0,2(a B ，

)3,,0(a a E ，)3,2,0(a a D ．

∴)3,,2(a a a EB --=，

)0,,0(a ED =， ………………………8分

设平面EBD 的法向量为),,(z y x =n ，则⊥n 且⊥n ，

∴⎩⎨⎧=⋅=⋅.0,0n n ∴⎩⎨⎧==--.0,032ay az ay ax 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==.

0,2

3y z x

取2z =，得平面EBD 的一个法向量为)2,0,3(=n . ………………10分 又∵平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(='n ．

7

7

210020)3(120003,cos cos 2

22222=

++⋅++⨯+⨯+⨯=

>'<=θn n ．……………… 2.如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角

三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．

（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ； （II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ， 并求点M 到OA ，OB 的距离．

证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则

()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),

O A B C -(0,0,6),(0,4,3),

P E -()4,0,3F ，由题意得，()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-，

因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n =，(4,4,3FG =--得0n FG ⋅=，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE

x

y

z

（II ）设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--，因为FM ⊥平面BOE ，所以有//FM n ，因此有0094,4x y ==-

，即点M 的坐标为94,,04⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，在平面直角坐标系xoy

中，AOB ∆的内部区域满足不等式组0

08x y x y >⎧⎪

<⎨⎪-<⎩

，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，

所以在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为94,

4

． 3.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．

.解：方法一、（1）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，

∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角.

在△AOE 中，AO=1，OE=

,2721=PB ,2

521==PD AE ∴.14731

2

7

245471cos =⨯⨯-

+

=

EOA 即AC 与PB 所成角的余弦值为1473. （2）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6

π

=

∠ADF .

连PF ，则在Rt △ADF 中.3

3

tan ,332cos ====

ADF AD AF ADF AD DF

设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，

∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC. ∴N 点到AB 的距离12

1

==

AP ，N 点到AP 的距离.6321=

=AF

方法二、（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、

B （3，0，0）、

C （3，1，0）、

D （0，1，0）、 P （0，0，2）、

E （0，

2

1

，1）， 从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则

P B

C

D

E