小波的分解与重构,去噪。

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小波对含不同频率的信号的分离
• 在小波分解下，不同的尺度具有不同的时间和 频率分辨率，因而利用小波分解可以将信号的 不同频率区间所包含的信号分离出来。 • 利用小波对信号进行分解时，它将信号分解为 低频部分(近似信号)和高频部分(细节信号)。 • 由仿真图可以看出，周期最小2(高频)的正弦 信号位于细节信号d1层，在细节信号d4层中包 含周期为20 (中频)的正弦波，而周期为200 (低频)的正弦信号则出现在近似信号a4中。
则有小波函数的两尺度关系是
ψ (t ) = φ (2t ) − φ (2t − 1)
（2）
g h Q 求 P ( z )、 ( z ) 、 n 、 、a 、 n b
G ( z) H ( z)
n
n
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1 1 1 得 (1 + z ) (1 − z ) • 由 Q ( z ) = (1 − z ) 2 2 2 M ( z ) := 1 1 (1 − z ) 1 (1 + z ) P ( z ) = (1 + z ) 2 2 2 • 则有 −P(−z) 1 Q(−z) 1 −1 −1 = z +1 H(z):= = 1− z G(z):= det M(z) 2 det M(z) 2
• • • • • • • • • • • • • • • % 由第1层的高频系数估计噪声标准差 sigma=wnoisest(c,l,1); alpha=2; % 产生阈值 thr=wbmpen(c,l,sigma,alpha); % 使用软阈值和保存的低频信号，对第4层逼近信号(a4)进行信号降噪 keepapp=1; xd=wdencmp('gbl',c,l,'haar',4,thr,'s',keepapp); % 对原噪声信号'x'进行降噪处理 xd_1=wden(x,'minimaxi','s','one',4,'haar'); % 画出原始信号和降噪后的信号 figure(4); subplot(411);plot(a4);title('第4层逼近信号'); subplot(412);plot(xd);title('用haar小波对第4层逼近信号降噪后的信号'); subplot(413);plot(x);title('原噪声信号'); subplot(414);plot(xd_1); title('对原噪声信号进行降噪后的信号');
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• 正弦波信号体现在逼近信号部分，而白噪声体现 在细节信号部分。在细节信号部分中，从d1 到 d4，噪声幅值赿来赿小。逼近信号部分从a1到 a4，噪声含量赿来赿少。小波的有效分析还有： • 噪声处理；信号未来发展趋势的检测；分离信号； 识别信号的频率。 10
去噪
2、对含噪原信号与逼近信号a百度文库分别去噪并比较
(
)
(
)
即
g −1 1 gn = = g 0 1 1 a0 2 an = = a1 1 2
h−1 −1 hn = = h0 1
1 b0 2 bn = = b1 − 1 2
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• 由分解关系 φ (2t − l ) =
1 ∞ 或 φ (2t − l ) = ∑{g 2 n − lφ (t − n) + h2 n − lψ (t − n)}, l ∈ Z 2 n = −∞
n =−∞
∑ {a
∞
l −2 n
φ (t − n) + bl − 2 nψ (t − n)}
得
n = 0,
l =0 或
l =1
• 进一步，得分解关系 1 φ (2t ) = [φ (t ) +ψ (t )] 2 1 φ (2t − 1) = [φ (t ) −ψ (t ) ] 2 • 实际这个分解关系，也可由(1) 、(2)两式推 得。但上面这种解法，主要说明由一般的正 5 交尺度函数怎样求分解与重构 分解与重构关系。 分解与重构
ck +1, n = ∑ (ck ,l pn − 2l + d k ,l qn − 2l )
l
k代表分解水平 代表分解水平
得
ck +1,0 = ck ,0 p0 + d k ,0 q0 = ck ,0 + d k ,0
ck +1,1 = ck ,0 p1 + d k ,0 q1 = ck ,0 − d k ,0
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• φ(t) 与 ψ (t ) 的两尺度关系φ (t ) =
两尺度关系与分解关系
φ(2t − l) = ∑{al −2nφ(t − n) + bl −2nψ (t − n)} l = 0,±1,±2,L
n=−∞
n = −∞ ∞ ψ (t ) = ∑ q nφ ( 2t − n ) n = −∞ φ (t ) 与 ψ (t ) 的分解关系 • ∞
n
∑ p φ ( 2t − n )
∞
其中
an := 1 g−n 2
bn := 1 h−n 2
2
2、小波(包)进行分解、重构 则尺度函数的两尺度关系是
φ (t ) = φ (2t ) + φ (2t − 1) （1）
由两尺度关系，得序列
p0 = 1, p1 = 1
qn = (−1) n p− n +1 , ，得 q0 = 1, q1 = −1 再由
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• • • • • • • • • • • • • • • • •
% 显示各层逼近信号 figure(2); subplot(411);plot(a4);ylabel('a4'); subplot(412);plot(a3);ylabel('a3'); subplot(413);plot(a2);ylabel('a2'); subplot(414);plot(a1);ylabel('a1'); % 重构第1-4层细节信号 d4=wrcoef('d',c,l,'haar',4); d3=wrcoef('d',c,l,'haar',3); d2=wrcoef('d',c,l,'haar',2); d1=wrcoef('d',c,l,'haar',1); % 显示各层细节信号 figure(3); subplot(411);plot(d4);ylabel('d4'); subplot(412);plot(d3);ylabel('d3'); subplot(413);plot(d2);ylabel('d2'); subplot(414);plot(d1);ylabel('d1');
• 由分解算法
得
• 由重构算法
ck , n = ∑ al − 2 n ck +1, l l d k , n = ∑ bl − 2 n ck +1, l l 1 ck ,0 = a0 ck +1,0 + a1ck +1,1 = 2 ( ck +1,0 + ck +1,1 ) 1 d = b c ( ck +1,0 − ck +1,1 ) k ,0 0 k +1,0 + b1ck +1,1 = 2
1.任务的提出
• 对含噪的信号去噪，实现信噪分离 对含噪的信号去噪，实现信噪分离。 • 含噪的正弦信号： s ( t ) = sin ( 0.03t ) + b ( t ) • 需要对信号进行分解，从分解中得出高频 与低频系数。高频系数对应细节信号，低 频系数对应逼近信号。由高频系数中检测 噪声，低频系数中识别各分量信号的不同 频率。然后，再从去噪的高频信号与逼近 的低频信号重构目标信号。 • 2、轴承的故障检测。
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2、仿真验证去噪效果
1、含噪信号的分解与重构
• • • • • • • • • • • • • • • % 生成含噪正弦信号 N=1024; t=1:N; sig=sin(0.03*t); figure(1);subplot(211);plot(t,sig); title('正弦信号'); % 叠加噪声 x=sig+randn(1,N); subplot(212);plot(t,x); title('含噪正弦信号'); % 一维小波分解，使用'haar'进行4层分解 [c,l]=wavedec(x,4,'haar'); % 重构第1-4层逼近信号 a4=wrcoef('a',c,l,'haar',4); a3=wrcoef('a',c,l,'haar',3); a2=wrcoef('a',c,l,'haar',2); a1=wrcoef('a',c,l,'haar',1);