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最短距离问题分析

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最短距离问题(课时一)

课题说明：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中

数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）和利用一次函数和二次函数的性质求最值。

教学流程：

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函

数的最大或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”

时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”

时，大都应用这一模型。

几何模型： 1.立体图形中，表面折点距离最短问题。 2.平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。

模型应用：

例1.如图1，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴

蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．

图1 图3

例2．如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．则PB PE +的最小值是___________；

变式1．如图3所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）

A

B A '

P

l A B B 图2 A B C 图4 P A D E P B C

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 例3图 O x y B D A C P 变式2．如图4，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，

求PA PC +的最小值；

熟能生巧：

1（台州）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ）

A ．1

B ．3

C ．2

D ．31+

2（兰州）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）

A ．130°

B ．120°

C ．110°

D ．100°

例3.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，

求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

例4.如图，抛物线35

18532+-=x x y 和y 轴的交点为M A ,为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐

标，并求出这个最短路程的长。

。

x y O A F E M