4.平方根
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4.平方根
1.算术平方根
(1)算术平方根的概念:如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根.
(2)算术平方根的表示方法:正数a 的算术平方根记作“a ”,读作“根号a ”.
(3)算术平方根的性质:正数有一个正的算术平方根;0的算术平方根是0;负数没有平方根,当然也没有算术平方根.
算术平方根的性质:只有正数和0(即非负数)才有算术平方根,且算术平方根也是非负数;
【例1】求下列各数的算术平方根:
(1)0.09;(2)121169
;(3)10-8;(4)14 解:(1)∵0.32=0.09,
∴0.09的算术平方根是0.3, 即0.09=0.3;
(2)∵⎝⎛⎭⎫11132=121169,
∴121169的算术平方根是1113
. 如何确定一个数的算术平方根
求一个数的算术平方根,先找到一个数,使它的平方等于所求的数,再求算术平方根.
2.平方根
(1)平方根的概念:如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32=9,所以3是9的平方根.(-3)2=9,所以-3也是9的平方根,所以9的平方根是3和-3.
(2)平方根的表示方法:正数a 的平方根可记作“±a ”,读作“正、负根号a ”.“ ”读作“根号”,“a ”是被开方数.例如:2的平方根可表示为±2.
(3)平方根的性质:若x 2=a ,则有(-x )2=a ,即-x 也是a 的平方根,因此正数a 的平方根有两个,它们互为相反数;只有02=0,故0的平方根为0;因为任何数的平方都不会是负数,故负数没有平方根.综合上述:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.如:4的平方根有两个:2和-2,-4没有平方根.
【例2-1】求下列各数的平方根:
(1)81;(2)(-7)2;(3)11549
;(4)10-6;(5)17 解:(1)∵(±9)2=81,
∴81的平方根是±9,即±81=±9.
(2)∵(±7)2=72=49,
∴(-7)2的平方根是±7,即±49=±7.
(3)∵11549=6449
,又⎝⎛⎭⎫±872=6449, ∴11549的平方根是±87
, 即±11549=±87
. 【例2-2】下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;若没有,请说明理由.
(1)94
;(2)0;(3)-9;(4)|-0.81|;(5)-22. 解:
3.开平方
求一个数a (a ≥0)的平方根的运算,叫做开平方,其中a 叫做被开方数.开平方运算是已知指数和幂求底数.
(1)因为平方和开平方互逆,故可通过平方来寻找一个数的平方根,也可以利用平方验算所求平方根是否正确.
(2)开平方与平方互为逆运算,正数、负数、0可以进行“平方”运算,且“平方”的结果只有一个;但“开
平方”只有正数和0才可以,负数不能开平方,且正数开平方时有两个结果.
(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题,一般可用开平方加以解决.
【例3】小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20m 2的客厅,试问小明家需要购买边长是多少的地板砖?
解:
4.a 2与(a )2的关系
a 表示a 的算术平方根,依据算术平方根的定义,(a )2=a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根,依据算术平方根的定义,若a ≥0,则a 2的算术平方根为a ;若a <0,则a 2的算术平方根为-a ,
即a 2=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧
a ,a ≥0,-a ,a <0. (1)区别:①意义不同:(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方;a 2表示实数a 的平方的算术平方根.②取值范围不同:(a )2中的a 为非负数,即a ≥0;a 2中的a 为任意数.③运算顺序不同:(a )2是先求a 的算术平方根,再求它的算术平方根的平方;a 2是先求a 的平方,再求平方后的算术平方根.④写法不同.在(a )2中,幂指数2在根号的外面;而在a 2中,幂指数2在根号的里面.⑤运算结果不同: (a )2=a ;a 2=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧
a ,a ≥0,-a ,a <0. (2)联系:①在运算时,都有平方和开平方的运算.②两式运算的结果都是非负数,即(a )2≥0,a 2≥0.③仅当a ≥0时,有(a )2=a 2. 点技巧巧用(a )2=a
将(a )2=a 反过来就是a =(a )2,利用此式可使某些运算更为简便.
【例4】化简:(6)2=__________;(-7)2=__________.
5.平方根与算术平方根的关系
(1)区别:
①概念不同 平方根的概念:如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 叫做a 的平方根. 算术平方根的概念:如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. ②表示方法不同
平方根:正数a 的平方根用符号±a 表示.
算术平方根:正数a 的算术平方根用符号a 表示,正数a 的负的平方根-a 可以看成是正数a 的算术平方根的相反数.
③读法不同
a 读作“根号a ”;±a 读作“正、负根号a ”.
④结果和个数不同
一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数,而一个正数的平方根有两个,它们一正一负且互为相反数.
(2)联系:
①平方根中包含了算术平方根,就是说算术平方根是平方根中的一个,即一个正数的平方根有一正一负两个,其中正的那一个就是它的算术平方根,这样要求一个正数a 的平方根,只要先求出这个正数的算术平方根a ,就可以直接写出这个正数的平方根±a 了.
②在平方根±a 和算术平方根a 中,被开方数都是非负数,即a ≥0.严格地讲,正数和0既有平方根,又有算术平方根,负数既没有平方根,又没有算术平方根.
③0的平方根和算术平方根都是0.
【例5-1】(1)求(-3)2的平方根;
(2)计算144;
(3)求(π-3.142)2的算术平方根;
(4)求16的平方根.
【例5-2】求下列各式的值: (1)±81;(2)-16;(3)925;(4)(-4)2. 解:
6.巧用算术平方根的两个“非负性”
众所周知,算术平方根a 具有双重非负性: (1)被开方数具有非负性,即a ≥0.
(2)a 本身具有非负性,即a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性.
由于初中阶段学习的非负数有三类,即一个数的绝对值,一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根.关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题,一般情况下都是它们的和等于0的形式.此类问题可以分成以下几种形式:
【例6-1】若-x 2+y =6,则x =__________,y =__________.
【例6-2】若|m -1|+n -5=0,则m =__________,n =__________.
【例6-3】如果y =x 2-4+4-x 2
x +2+2013成立,求x 2+y -3的值. 解:
练习1:
1.判断题
(1)-0.01是0.1的平方根( )(2)-52的平方根为-5.( )
(3)0和负数没有平方根.( )(4)因为16
1的平方根是±41,所以161=±41.( )