数学建模评分标准

概率论与数理统计B

一．填空题（每空2分，共20分）

1．A,B,C 至少一个发生; 2. 1/3 3． 1; 0.91; 4. 2592.0)4.0()6.0(C 4

4

5= 5．⎩⎨

⎧∉∈=G

y x G y x x f ),(,

0),(,4)( 6. 选取样本容量。 7. D(X)/n ;

8. P{X=1/Y=2}=2/3, P{X=2/Y=2}=1/3, 9. 0.5 二．计算题（共80分） 1．（10分） 设A i 为第i 次抽到白球。i=1,2; （1） P{21A A }=

21

56275=⨯…………………………………5分

（2） P{21A A }+P{21A A }=

21

1065726275=⨯+⨯……………5分

2．因为P{AB}=P{A}P{B/A}=1/12 …………………………………2分 P{B)=P{A B}-P{A}+P{AB}=1/6 …………………………………2分 所以P{A/B}=P{AB}/P{B}=1/2 …………………………………1分

3．（32分） （1）P{X=0}=P{ξ<2/3}=

9423

20/dx

x /=⎰…………………………………3分

P{Y=0}=P{ξ<1/3} =

9123

10

/dx

x /=⎰…………………………………2分

P{X=0 Y=0}=P{ξ<2/3且ξ<1/3}=P{ξ<1/3}=1/9≠ P{X=0}⨯P{Y=0}=4/81……………3分 所以X 与Y 不相互独立。…………………………………………………………………2分 （2）因为ξ、η相互独立，所以ξ、η的联合密度为：

⎩⎨

⎧>≤≤=⋅=-其他0

,10,

2)()(),(y x xe y g x f y x f y ………………………………2分

e

d y d x xe

y x P x

y

212}1{10

10

-==

<+⎰

⎰-- ……………………………………5分

（3） E(ξ)=3222

1

=

⎰dx x ;……………………………………………………3分 E(ξ2)=2

123

1

=

⎰dx x ; …………………………………………………3分

D(ξ)=E(ξ2)-[ E(ξ)]2=

18

1………………………………………………2分

又 D(η)=1 …………………………………………………………2分 ∴D(3ξ-η)=9 D(ξ)+D(η)=3/2 ………………………………………………5分

4．()()[]

()

2

2

2

3

13

31μ+=

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=X D X

E X D X E i i …………. …. …. …. ……………2分

()

()X D S E X X E i i i i ==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-

∑

∑

==2

2

3

1

8

4

5141

…………. …. …. …. …………………1分 因为 ()()2

22

3

1

8

4

3

1

351431μμ=++=

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-

+

⎪⎭⎫ ⎝⎛∑

∑

∑===X aD X D X X a

X E i i i i i i …………1分 所以a=-1/3 …………. …. …. …. …………………………………………………………1分

5．（8分）似然函数L=∏

∏=-==

n

i x i

n i i i

e

x x f 1

21

2

)(θ

θ

…….. …. …. …. ….2分

lnL= ∑∑==-

+-n

i i

n

i i x

x n 1

2

1

21ln

ln θ

θ…….. …….. ……..2分

,021ln 122

令

=+-

=∑=n

i i x

n

da

l d θ

θ

…………. …. …. …. …. ….2分

解得 =

^

θ∑

=n

i i x n

12

21

……………. …. …. …. …. …. …..2分

6．（20分） （1）假设H 2

22

10:σσ= ; H 2

2211:σσ≠………. …. …. …. …. ….1分

36.148562

2

2

21

≈⎪

⎭

⎫

⎝⎛==

S S F ……………. …. …. …. …. …. …..2分

F 0.025(9,9)=0.2622……………. …. …. …. …. …. …..2分

F< F 0.025(9,9)

不能否定H 0，认为新工艺前后生产的灯泡寿命的方差相等。……………. …. …. …. ….2分 （2）假设H 210:μμ=; H 211:μμ≠……………. …. …. …. ……. …. …. …. …. …..1分 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+-+--=

21212

222

11112)1()1(n n n n S n S n Y

X T

n

S S

Y X 22

2

1

+-=

86.3≈………. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….2分

t 0.025(18)=2.1009………. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….2分 >T t 0.025(18)

否定H 0，认为新工艺前后生产的灯泡寿命的平均值不相等。…………. …. …. …. …. 2分

（3）属于正态总体方差未知求期望的置信区间： ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡

-+--n s n t X n

s n t X )

1(,)

1(2/2/αα………. 2分 2622.2)9(,48,

10,2550025.0====t S n X ………. 2分

代如公式得：[2515.66，2584.34] ………. …. …. …. …. …. 2分