数学模型”建立的意义与方法

三、建立数学模型的思维方法
数学模型构造过程的本质是数学思维的活动，因此，讨论建立数学模型的方法，不能离开思维的方法。我们认为，分析与综合、比较与分类、抽象与概括、猜想与验证等既是思维的重要方法，同样是构建数学模型的重要方法。
1．分析与综合。
分析与综合是重要的思维方式，同样是重要的数学方法，是学习数学过程中建立数学模型的重要途径之一。应用题教学中用“分析法”与“综合法”来分析数量关系，寻求解答方法的过程，就是用这种思维方式来建立一个具有典型意义的数学模型的过程。分析是对所获得的数学材料或数学问题的构成要素进行研究，把握各要素在整体中的作用，找出其内在的联系与规律，从而得出有关要素的一般化的结论的思维方式。事实上，不少学生在掌握某些数学知识或方法的时候，常常表现为一种点式的、孤立的记忆，或者只感知了某些知识之间的浅层的联系，而缺乏对他们之间的内在本质联系的把握，即缺乏一种建构意义上的链式结构，因而，其头脑中的认知结构是很不合理的，很不完善的，这样的认知结构不具有模型的价值，即不能有效地促成一些较复杂的问题的解决。如果运用分析法深人研究，以上的认知结构就可以真正建立为有价值的模型。例如，学生都会判断“谁能被谁整除”，“某两个数是否互质数”，进而判断“某分数是否最简分数”，“谋个比是否最简整数比”……但是学生可能未必真正理解“为什么这两个数是互质数而另两个数不是互质数”，或者仅将它们之间的联系停留在“约数”与“公约数”上。毫无疑问，这的确是它们之间的联系，但并非是最本质的联系，实际上“两个自然数是否具有相同的质因数”才是它们最根本的连接点。分析如下：
2．比较与分类。
比较是对有关的数学知识或数学材料，辨别它们的共同点与不同点。数学中的比较是多方面的，包括多少与大小的比较，相同与不同的比较，结构与关系的比较，定律与性质的比较等。比较的目的是认识事物的联系与区别，明确彼此之间存在的同一性与相似性，以便揭示其背后的共同模型。分类是在比较的基础上，按照事物间性质的异同，将具有相同性质的对象归入一类；不同性质的对象归入另一类的思维方法。因此，比较与分类常常是联系在一起的，在建立数学模型的诸多思维方法中，比较与分类有着重要的作用，它往往是抽象概括、合情推理的前提，而正确地进行比较与分类的基础是仔细、深入地观察。例如，教学“乘法的初步认识”，其基本过程为：（l）计算并观察算式特征：3＋3＋3，2＋4＋3，4＋4＋4＋4＋4，1＋3＋6＋2，……（2）比较以上算式的特征并分类。（3）讨论、探索加数相同的这一类算式的简便计算方法。（4）建立基本的数学模型：“加数相同的连加算式”可以用“相同加数×相同加数的个数’这一简便的方法（乘法）来计算。
（2）学生在探索、获得数学模型的过程中，也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，而这对学生的发展来说，其意义远大于仅仅获得某些数学知识。事实上，前面提到的“再发现”过程，本身体现了一种基本的模式，即研究数学问题的模式，可以表征为：抽象——符号——应用。荷兰数学家弗赖登塔尔把这个过程称之为“数学化”。数学化的过程，正是学生学会学习的过程，也是学生获得发展性学力的过程。
显然，在这个问题解决的过程中，数学家构建出的一笔画模型是关键，体现出了数学模型在实际问题解决过程中的作用——它在很大程度上决定了问题能否最终得以彻底的解决。
3．建立数学模型是数学学习和课程改革的重要任务。
（1）数学学习内容中最重要的部分，就是数学模型。在小学价段，数学模型的表现形式为一系列的概念系统、算法系统、关系、定律、公理系统等，这些都是学生学习的重要内容。可以这样说，学生学习数学知识的过程，实际上是对一系列数学模型的理解、把握过程。例如，小学数学中很重要的一块内容是几何初步知识，作为数学本质特征之一的公理化思想的有效载体，作为一种直观的、形象化的数学模型，几何有着不可替代的作用。同样，概念系统和算法系统本身是重要的数学模型，又是构建其他数学模型的基础，学生对这些知识的把握是至关重要的。所以说，建立并把握好以上模型，正是把握住了数学学习的根本。
最后需要指出的是，，任何数学问题的解决和数学模型的建立过程中，仅用一种数学思维方式的情况是极少的，常常是多种数学思维方法的综合运用。同时，数学模型的价值体现在建立过程及以此去解决实际问题的过程之中，如果将数学模型变成僵化的、仅供学生机械记忆的材料，那将与本文想要表达的思想背道而驰了。
3．抽象与概括。
在数学学习过程中，抽象与概括是数学能力的核心要素之一，是形成概念、得出规律的关键性手段，因而，也是建立数学模型最为重要的思维方法。抽象是从许多数学事实或数学现象中，舍去个别的、非本质的属性，而抽出共同的本质的属性。在数学中表现为抽取数量之间、空间形体之间的关系和形式。而概括则是把抽象出来的事物间的共同特征，归结出来，它以抽象为基础，是抽象过程的进一步发展。例如，学习“分数与除法之间的关系”，整个过程如下。（l）具有一定情景为背景的数学问题。把1米长的绳子平均分成5份，每份是多少米？把3块月饼平均分给4个人吃，每人吃多少块月饼？……（2）列式计算，讨论结果的表示方式，并试图将这一形式泛化。1÷5= (米)，
4．猜想与验证。
猜想是对研究的数学对象或数学问题进行观察。实验、比较、归纳等一系列的思维活动，依据已有的材料或知识经验，做出符合一定规律或事实的推测性想象。猜想是一种带有一定直觉性的比较高级的思维方式，对于探索或发现性学习来说，猜想是一种重要的思维方法。“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须猜出证明的主导思想。”例如，教学“分数能否化成有限小数的规律”时，可以这样设计：用1，2，3，4，5，7，9组成真分数，并把它们化成小数，你发现了什么？想一想，你能得出什么结论吗？学生通过自己的组数与计算，会自觉地将分数分成两类：（1），，，（2），，，，，……并根据刚才的计算，提出一个大胆的猜想：分母是2或5的分数能比成有限小数，分母是其他数则不能。尽管这个猜想很不完整但这是非常里要的一步，所谓的创新，正应体现在这样的学习过程中。然后，再通过提供其他一组分数，例如：，，，，，……让学生验证自己的猜想。学生在验证过程中，会发现新的问题，并在解决新问题的过程中，完善自己的猜想，发挥创造才能，最终发现规律。这样一个学习过程可以概括为：“实践操作——提出猜想——进行验证——自我反思——建立模型”，这不仅是一个主动学习的过程，更是发现学习、创新学习的过程。
（l）数学模型是对客观事物的一般关系的反映，也是人们以数学方式认识具体事物、描述客观现象的最基本的形式。例如，舍去一切具体情景，行程问题的基本模型是：路程=速度×时间(s=vt)，只不过在具体问题解决时，需要对这个模型进行一次构建还是多次构建的问题。因此，数学模型有效地反映了思维的过程，是将思维过程用语言符号外化的结果。显然，学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他的数学思维能力、数学观念及意识。
（2）现代数学观认为，数学具有科学方法论的属性，数学思想方法是人们研究数学、应用数学、解决问题的重要策略。而建立数学模型，研究数学模型，正是问题解决过程中的中心环节，是决定问题解决程度如何的关键。当年，瑞士大数学家欧拉面对哥斯尼堡“七桥问题”时，巧妙地将陆地看成点，将桥看成线，把实际问题转化为点线相连的数学一笔画问题，通过对所构建的模型的研究，来最终解决问题，正是这一过程的绝好例证。
3÷4=(米），5÷6=，9÷7=，……（3）将以上的结论、规律以数学语言的方式揭示出来。被除数÷除数=(4)用数学符号的方式揭示除法与分数之间的这种联系。a÷b=（b≠0）。我们可以发现，这个学习过程，正是一个以抽象概括方式建立数学模型的过程，是“具体问题——数学问题——符号模型”的过程。在整个过程中，前几个环节是一个逐步抽象的过程，而最后一个环节，表现为一个概括的过程，是将抽象出来的规律一般化、形式化的过程，因而也加深了学生对这一知识的本质的把握。更进一步，当我们以抽象概括的思维方法来审视小学数学教学中的许多数学问题时，可以发现，貌似不同的数学情景的背后，往往具有共同的思维模式。例如，两个人的工作问题、工程问题、行程问题所具有的共同的模型是：总量÷效率和＝时间（速度从某种意义上来说，也是一种效率）；选举计算票数、带分数化成假分数等与乘加两步应用题具有相同的解题模型，即□=□×□＋□。反之，我们在教学以上数学知识时，可以从更广泛的领域里去创设更多的问题情境，使学生在兴趣盎然中学习数学。
这样，我们便构建了一个有关以上概念之间的联系的合理的认知结构，即构建起以“质因数分析”为特征的数学模型。
综合是将对数对象的本质同性的总体认识的思维方法。因而,分析与综合相结合，在建立起具有本质特征和方法论意义的数学模型上具有重要的意义。例如，将学生对直圆柱各方面的分析、研究以后得到的各种结果加以综合，可以得到对直圆柱的整体认识的结论性描述，即底面是两个相等的圆，侧面可以展开成长方形的立体图形。于是，有关圆柱的数学模型便清楚地得到建立，它是以后解决圆柱形实际问题的关键。
数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。小学数学中的数学模型，主要的是确定性数学模型，广义地讲，一般表现为数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等。数学模型具有一般化、典型化和精确化的特点。
一、建立数学模型的现实意义
1．建立数学模型是数学教学本质特征的反映。
（3）数学不应等同于数学结论的简单汇集，而应被看成一个包含有“问题”、“方法”、“语言”等多种成分的复合体。学习数学的过程，应更多地表现数学的实践、探索与体验，而不是仅仅获得数学结论的过程。因此,在小学数学教学中，重视渗透模型化思想，正是顺应了这种改革的趋向和要求。
二、建立数学模型的理论依据（略）
2．建立数学模型是数学问题解决的有效形式。
（l）数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。并且，建立模型更为重要的是，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的绝好机会，在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和社会的天然联系。因而，在小学数学教学中，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学应该成为我们的一种共识，只有这样，数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与氛围。