成人高考数学—导数精品PPT课件

整理成标准形式，得6x y 3 0
练习 : 求下列函数的导数及在点(0,1)处的切线方程：
(1)f(x ) 2x 3 2x 2 x
解：(1) f (x) 6x2 4x 1 f (0) 1
代入切线方程公式，得y 1 1(x 0)
整理得x y 1 0
解：(2) f (x) x3 x2 x x2 x 1 x3 1
(2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后再代入点坐标，求出具体的导数值
❖ 对应的切线方程：
解：首先求导，得：y 2x 1
代入切线方程公式，得y 2 3(x 1) 整理成标准形式，得3x y 1 0
1)求曲线y x2在点(2,5)处的切线的斜率; 2)求曲线y x2 x在点(0,1)处的切线方程;
11年考题第20小题4分
f (x) 4x3 4x 4x(x 1)(x 1)
令f (x) 4x(x 1)(x 1) 0,得函数的三个驻点 1、0、1;
1、0、1把区间(,)分成四个区间(,1)、(1,0)(0,1)、(1,);
当x (,1)时，f (x) 0 区间(,1)是f (x)的单调递减区间.
当x (1,0)时，f (x) 0 区间(1，0)是f (x)的单调递增区间. 当x (0，1)时，f (x) 0 区间(,0,1)是f (x)的单调递减区间. 当x (1， )时，f (x) 0 区间(,1)是f (x)的单调递增区间.
解：函数y x2 2x 3的定义域是(,) y 2x 2 2(x 1)
令y 2(x 1) 0,得函数y x2 2x 3的一个驻点x 1; x 1把区间(,)分成两个区间(,1)和(1,);
当x (,1)时，y 2(x 1) 0 区间(,1)是y x2 2x 3的单调递减区间.
第五章 导数
一、导数定义 二、幂函数求导公式和法则（重要） 三、导数的几何意义（考点） 四、函数的单调性与极值（考点） 五、函数的最大值和最小值（考点）
一、导数: 幂函数求导公式和法则
(1)如果f (x) C，则f (x) 0，即常数的导数是零； (2)如果f (x) xn，则f (x) nxn1； (3)如果f (x) Cxn，则f (x) C nxn1.
x
y 2x
y x2 1的切线y 2x就与y x2 1只有一个公共点，
y
y x
2x
y
2x2
y y
x2 1
2x2
x
1,k
y
2
应用二：判断函数的单调性
1、定理：设函数f (x)在区间(a,b)内可导， 如果在(a,b)内f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是增函数； 如果在(a,b)内f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是减函数； 如果在(a,b)内恒有f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是常数。
例(2)判断函数f (x) 2x3 3x2 12x 100的单调性;
解：函数f (x) 2x3 3x2 12x 100的定义域是(,) f (x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1)
令f (x) 6(x 2)(x 1) 0,得函数f (x)的两个驻点x1 2, x2 1;
例：曲线f (x) 2x2 3在点(1,5)处切线的斜率为__________;
解： y 4x y |x1 4 (1) 4
例：曲线f (x) 2x3 1在点(1,3)处的切线方程为__________;
10年考题第19小题4分
解： y 6x2 y |x1 6 12 6 代入切线方程公式，得y 3 6(x 1)
多项式幂函数求导举例 解：f '(x) 3x2 2 2x 3 3x2 4x 3
f (x) 2 4x3 53x2 2x 8x3 15x2 2x f (1) 8 15 2 25
应用一：求切线
导数的几何意义：
❖ 导数是曲线 y f (x) 在点
处的切线的斜率
(1) 切线的斜率方法就是先对曲线方程所对应函数求 导
当x (1,)时，y 2(x 1) 0 区间(1,)是y x2 2x 3的单调递增区间.
例：已知函数f (x) x4 2x2 3。
09年考题第23题12分
（1）求曲线f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程；
（2）求函数f (x)的单调区间。
（2）函数f (x) x4 2x2 3的定义域是(,)
f (x) 3x2
f (0) 0
代入切线方程公式，得y 1 0(x 0) 整理得y 1 0
例：已知函数f (x) x4 2x2 3。
09年考题第23题12分
（1）求曲线f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程；
（2）求函数f (x)的单调区间。
解：(1) f (x) 4x3 4x 4x(x 1)(x 1)
注意: f (x)是x的函数，f (x0 )是一个函数值
幂函数求导举例（降幂）
求下列函数的导数及f (1)： (1)f(x ) x 3;(2)f(x ) 6x 5; (3)f(x ) x;(4)f(x ) 5
(2) f ' (x) 5 6x4 30x4 f ' (1) 30 (1)4 30
2,1把区间(,)分成三个区间(,2)、(2,1)、(1,);
2、判断函数单调性的步骤：
(1)求出函数f (x)的定义域;
(2)求出函数f (x)的导数f (x);
(3)令f (x) 0,并求出使f (x) 0得点x,这样的点叫做 函数f (x)的驻点; (4)驻点把函数f (x)的定义域分成若干个区间;
(5)在上述每一个区间内考查f (x)的符号,并根据定理 判断函数f (x)在各区间内的单调性;
f (2) 4 23 4 2 24
曲线f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程 : y 11 24(x 2) 即24x y 37 0
曲线 y x2 1与直线 y kx只有一个公共点，则k=
（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7
y
y 2x
2