导数与微分PPT优秀课件

若 lim y lim f(x0x)f(x0)
x0 x x 0
x
存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为
f('x 0)或 y|x ' x 0,或 d d x y|x x 0,或 d d f x|x x 0.
或
f(x '0 ) lx i0 m x y lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ).
当产量从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本的平均变化率
CC(Q0Q)C(Q0)
Q
Q
当 Q趋0向于0时，如果极限
lim Clim C (Q 0 Q )C (Q 0)
Q Q 0
Q 0
Q
பைடு நூலகம்
存在，则称此极限是产量为 Q 0 时总成本的变化率。
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2.1.2 导数的概念
定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，x0x 属于该邻域，记 yf(x 0 x )f(x 0),
此时x为割线两端点M0，M
的横坐标之差，而 y
则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 即为xy 过M0，M两点的 割线的斜率.
M
M0
x0
x0 x
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曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 M 0 时的极限位置M0P，因而当 x0
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
由此可见: lx im 0 y lx im 0 (f( x 0 ) x x ) 0 .
即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕.
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例5 证明函数 y | x | 在x=0处连续但不可导. 证 因为 lim | x | 0
x0
所以 y | x | 在x =0连
而 续 f (0) lxi m 0 x y lxi m 0 x x1
f(x 0 ) lix m 0 x y l i m ta n ta n k
所以，导数 f (x0) 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
M
P
M0
x0
x0 x
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设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点 处的切线方程为： y f(x 0 ) f(x 0 ) (x x 0 ) 而.当 时,曲f(线x0)在 的切f (线x ) 方程M 为0
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三、左导数与右导数 左导数: f (x 0) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0). 右导数: f (x 0) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0). 显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0), f(x0)xl ix0 m f(xx) xf0(x0).
解:因为 (x3),由3x导2 数几何意义,曲线
y x3
在点 (2,8的) 切线与法线的斜率分别为:
k 1yx 2(3 x2)x 2 1,2 k 2k 1 1 1 12
于是所求的切线方程为: y81(2 x2)
即 1x 2y16 0
法线方程为: y81(x2) 12
即 x1y 298 0
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第2章导数与微分
1.1导数的概念 1.2导数的运算 1.3微分
2.1 导数的概念
2.1.1 引出导数概念的实例 例1 平面曲线的切线斜率 曲线 y f的(x图) 像如图所示, 在曲线上任取两点 M(x0,y0) 和 N (x0 x,y0 y)，作割线
M，N割线的斜率为
y
y f (x) N
y
M
T
x P
2.1.4 可导性与连续性的关系
定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续.
证
因为f
(x)在点x0处可导，故有
f
(x0)
y lim .
x0 x
根据函数极限与无穷小的关系,可得:
x yf(x0)， 其 中 lixm 00.
两端乘以 x 得: yf(x 0) x x
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
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导数定义与下面的形式等价：
f(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0).
若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意 味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映 了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.
(x x )2 x 2 2 x x ( x )2
(2)算比值: (3)取极限:
y 2xx x
ylim yli(m 2x x)2x
x x 0
x 0
同理可得: (xn) nxn1(n为正整数）
特别地, (x)1. (n1)
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例4 求曲线 y 在x 3点 处(的2,8切) 线与法线方程.
O
x 0 x0 x x
k M N ta n x yf(x 0 x x )f(x 0)
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这里为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，
当 x 时0，点N沿曲线趋于点M。若上式的
极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线
MT的斜率，即
k tanθ lim tan x0
y lim