导数与微分PPT优秀课件
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大学数学微积分第16讲《求导法则》课件
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十六讲 求导法则
第四章 一元函数的导数与微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
例6 设 y a0 xn a1xn1 an1x2 an1x an，
求 y。
解 由和的求导公式
y (a0 xn ) (a1xn1) (an2 x2 ) (an1x) (an )
a0n xn1 a1(n 1)xn2 an2 2x an1
通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次 数降低一次, 系数相应改变.
1 x2
y arctanx, ( x ), 求y。
例17
解 它是 x tan y , y ( , )的反函数,
22
且 x tan y 满足定理的条件,
又 (tan y) 1 tan2 y 0
故
y
(arctan
x)
1 (tan
y)
1
1 tan 2
y
1 1 x2
x ( , )
(arctan
又 x cos y 在 (0, ) 内单调、连续、可导, 且
d x (cos y) sin y 0 dy
故 y (arccos x) d y 1 1
d x d x (cos y) dy
1 1
1
sin y
1 cos2 y
1 x2
(1 x 1)
(arccos x) 1
(1 x 1)
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十六讲 求导法则
第四章 一元函数的导数与微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
例6 设 y a0 xn a1xn1 an1x2 an1x an，
求 y。
解 由和的求导公式
y (a0 xn ) (a1xn1) (an2 x2 ) (an1x) (an )
a0n xn1 a1(n 1)xn2 an2 2x an1
通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次 数降低一次, 系数相应改变.
1 x2
y arctanx, ( x ), 求y。
例17
解 它是 x tan y , y ( , )的反函数,
22
且 x tan y 满足定理的条件,
又 (tan y) 1 tan2 y 0
故
y
(arctan
x)
1 (tan
y)
1
1 tan 2
y
1 1 x2
x ( , )
(arctan
又 x cos y 在 (0, ) 内单调、连续、可导, 且
d x (cos y) sin y 0 dy
故 y (arccos x) d y 1 1
d x d x (cos y) dy
1 1
1
sin y
1 cos2 y
1 x2
(1 x 1)
(arccos x) 1
(1 x 1)
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
求 f 0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
专升本高数数学第二章导数与微分
对数求导法适用于幂指函数 以及多因子乘积（或商）函数的导数
例. 见 P53 页例4，5，6
例 求函数 y (x 1)(x 2) (x 4) 的导数.
(x 3)(x 4)
解： 两边取对数，得
ln y 1 [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)], 2
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右
导数 f( x0 )都存在且相等.
在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式 可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。
x { f [(x)]} 表示复合函数对自变量
求导
f [(x)] 表示复合函数对中间变量 (x) 求导
例求下列函数的导数
y cos ln(1 x)
例 设 y ln(arcsinx) ，求 y' .
解
y 1 (arcsin x) 1 1
1
.
arcsin x
arcsin x 1 x2 1 x2 arcsin x
x0
lim f (x) f (0)
x sin 1 lim x
lim sin 1
x0 x 0
x0 x
x0
x
因为limsin 1 不存在
x0
x
f ( x)在x 0处不可导.
练习：P43页第7题
5、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
(sin x) cos x
f (x0
例. 见 P53 页例4，5，6
例 求函数 y (x 1)(x 2) (x 4) 的导数.
(x 3)(x 4)
解： 两边取对数，得
ln y 1 [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)], 2
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右
导数 f( x0 )都存在且相等.
在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式 可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。
x { f [(x)]} 表示复合函数对自变量
求导
f [(x)] 表示复合函数对中间变量 (x) 求导
例求下列函数的导数
y cos ln(1 x)
例 设 y ln(arcsinx) ，求 y' .
解
y 1 (arcsin x) 1 1
1
.
arcsin x
arcsin x 1 x2 1 x2 arcsin x
x0
lim f (x) f (0)
x sin 1 lim x
lim sin 1
x0 x 0
x0 x
x0
x
因为limsin 1 不存在
x0
x
f ( x)在x 0处不可导.
练习：P43页第7题
5、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
(sin x) cos x
f (x0
大一高数上_1完整_第三章ppt课件
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
《高等数学教案》课件
《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。
电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第二章 导数与微分
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2．1 导数的概念
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
2.2
3.了解函数微分的简单应用.
2.3
导数的概念 导数的运算法则 函数的微分及其应用
教学重点
1. 函数微分的概念. 2. 会求函数的微分.
教学难点 函数微分的概念及几何意义. 教学方法 讲练结合法
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导数与微分课件
导数和微分都与函数的局部性质 有关，它们都可以用来研究函数 的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变 化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计 算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步 判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表 示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示 自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率， 表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使 用二项式定理进行近似计 算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数， 可以用来近似计算函数的 值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值 的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以 估计函数在某区间的变化 量。
误差传播
在误差传播过程中，可以 利用微分知识来估计误差 的大小。
5.2 二元函数的偏导数与全微分ppt课件
z ， f ， x x x0 x x x0
f
x
(
x0
,
y0
)
或Байду номын сангаас
Z
x
(
x0
,
y0
)
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，
x x0
f
y
(
x0
定理 3（可微的必要条件） 如果函数z f (x, y) 在点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 z 、 z 必存在，且函数z f (x, y)在点(x, y)的全 x y 微分为
dz z x z y． x y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例3 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解 r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , y r
r z .
z r最新课件
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例4 已知理想气体的状态方程 pVRT
(R 为常数) , 求证:
p V T 1 V T p
证 p RT , V
y 2u 2(x2( x2 y 2)y 2)y2 2y(x x 2 2 y y2 2 )2.
2u 2u x2 y2 最0新. 课件
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例8 证明函数 u1,r x2y2z2满足 r
第三章 导数与微分
f(x0) =tan ( /2)， 其中是切线的倾角．
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)．
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为
1
y-f(x0)= f ( x0 )
(x-x0) (f(x0) ≠0)．
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例 求曲线y=x2在点M0(1,1)处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义,所求切线的斜率为
x0 x x0
x
则称函数y=f(x)在点x0处不可导或没有导数.但当极限
为∞时, 也常说函数y=f(x)在x0处的导数为无穷大．
导数为函数f(x) 在x0处的变化率,它反映了因变量 随自变量的变化而变化的快慢程度.
如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处都可导,则
称f(x)在区间(a,b)内可导.此时对于该区间的每一点x
解 y' 1 1
1
1.
(sin y)'y cos y 1 sin2 y 1 x2
这里记号(sin y)'表示求导是对变量y进行的,
1 (arcsin x)'
1 x2
同理可得(arccos x)'
1 1 x2
, (arctan
x)'
1 1 x2
,
1 (arc cot x)' 1 x2 ,
都有一个导数值(x)与之对应,这就构成了一个新函数.
这个函数称为f(x)在(a,b)内的导函数(简称导数),记作
f(x), y , dy 或 df ( x) ,即
dx dx f ( x) lim f ( x x) f ( x) , x (a,b)
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)．
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为
1
y-f(x0)= f ( x0 )
(x-x0) (f(x0) ≠0)．
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例 求曲线y=x2在点M0(1,1)处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义,所求切线的斜率为
x0 x x0
x
则称函数y=f(x)在点x0处不可导或没有导数.但当极限
为∞时, 也常说函数y=f(x)在x0处的导数为无穷大．
导数为函数f(x) 在x0处的变化率,它反映了因变量 随自变量的变化而变化的快慢程度.
如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处都可导,则
称f(x)在区间(a,b)内可导.此时对于该区间的每一点x
解 y' 1 1
1
1.
(sin y)'y cos y 1 sin2 y 1 x2
这里记号(sin y)'表示求导是对变量y进行的,
1 (arcsin x)'
1 x2
同理可得(arccos x)'
1 1 x2
, (arctan
x)'
1 1 x2
,
1 (arc cot x)' 1 x2 ,
都有一个导数值(x)与之对应,这就构成了一个新函数.
这个函数称为f(x)在(a,b)内的导函数(简称导数),记作
f(x), y , dy 或 df ( x) ,即
dx dx f ( x) lim f ( x x) f ( x) , x (a,b)
微分中值定理与导数的应用课件
x
ex x
,
0
.
29
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例6
tan x lim x tan3x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x
111 x
1 1 1, 1 x 1
(2) 若 M m. f (a) f (b),
最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
则 (a, b)，使 f ( ) M .
由费马引理,
f ( ) 0 .
5
第6页/共112页
注意： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c bx a O
而 f (0) , 且 f (1) f (1) ,
2
2
故 f ( x) , x 1,1 .
2
类似可得： arctan x arccot x , x R .
2 15
第16页/共112页
利用拉格朗日定理可证明不等式.
例5 证明： 1 ln b 罗尔(Rolle)定 理 如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a, b]上连续，(2)在开区间(a, b)内可
导，(3) f(a)f(b)，则至少存在一点(a, b)，使得f () 0。
几何解释:
如果连续光滑的曲线 yf(x) 在端点 A、B 处的 纵坐标相等。那么，在 曲线弧上至少有一点
ex x
,
0
.
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例6
tan x lim x tan3x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x
111 x
1 1 1, 1 x 1
(2) 若 M m. f (a) f (b),
最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
则 (a, b)，使 f ( ) M .
由费马引理,
f ( ) 0 .
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注意： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c bx a O
而 f (0) , 且 f (1) f (1) ,
2
2
故 f ( x) , x 1,1 .
2
类似可得： arctan x arccot x , x R .
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利用拉格朗日定理可证明不等式.
例5 证明： 1 ln b 罗尔(Rolle)定 理 如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a, b]上连续，(2)在开区间(a, b)内可
导，(3) f(a)f(b)，则至少存在一点(a, b)，使得f () 0。
几何解释:
如果连续光滑的曲线 yf(x) 在端点 A、B 处的 纵坐标相等。那么，在 曲线弧上至少有一点
《经济数学》课件 第三章 导数与微分
定 义
在曲线L上点 P0附近，再取一点P，作割线P0 P ，当点P沿曲 线L移动而趋向于P0 时，割线P0 P 的极限位置P0 T 就定义为曲线L
在点 P0处的切线．
3.1
切线的斜率为
k tan lim tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
LOGO 正文.第三章
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
左、右导数不相等，故函数在该点不可导．由此可见，函数连续是
可导的必要条件而不是充分条件．
目录页
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第二节 函数的求导法则和基本求导公式
• 一、 函数求导的四则运算法则 • 二、 复合函数的求导法则 • 三、 基本初等函数的求导公式
dx du dx
设 y f (u) ，u (v) ，v (x) ，则复合函数 y f {[ (x)]}
对 的导数是
yx yu uv vx
以上复合函数求导公式又称为链式法则，可以推广到更
多层的复合函数．
第 19 页
LOGO 正文.第三章
第 20 页
求第
导二
公节
式 函
数复
的合
求函
导 法 则
数
∣△t ∣很小时， v可作为物体在 t0时刻瞬时速度．即
的
概 念
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
数学分析--导数 ppt课件
数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单 侧导数的概念。
定义 2 设函数 y f (x) 在点 x0 的某右邻域 (x0 ,x 0 δ)上有定义，若右
极限 或
l i m Δ y l i m f ( x0 Δ x ) f ( x0 ) (0＜ x ＜ )
Δ x Δx 0
理 5.1， f(x) x 在 x x 0 0 处不可导。
当 x0 0 时，由于 D(x) 为有界函数, 因此得到
f(0)
lim
f(x)
f(0)
li
mxD(x)
0.
x0 x 0
x 0
ppt课件
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（二）函数在一点的单侧导数
类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函
dx
dx
运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种
表示导数的形式，f |x x 0 或
dy dx
|xx0
。
ppt课件
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例 6 证明：
(i) ( xn ) nxn1, n 为正整数 ;
(ii) (sinx) cosx , (cosx) sinx
(iii)
y 1
－1/π
0
1/π
x
ppt课件
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（三）导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f
为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 f 的一个导数 f '(x) （或单侧导数）与之
对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 f 在 I 上的导函数，也简称为导数，记作
高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件
cos 2 x sin2 x 1 2 sec x. 2 2 cos x cos x
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
《高等数学》上册(课件全集)第2章 导数及微分
根据导数的几何意义，过曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)的切线方程为
对应的法线方程为
当f′(x0)=0时，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0.
２.2 初等函数的求导法则
1.导数的基本公式 前一节由导数的定义，求出了几个简单函数的导数，但对于较复杂的函数，用定 义求导往往比较困难.为此，本节介绍导数的基本公式、求导法则和求导方法，借助 这些基本公式、法则和方法就可以方便地求出初等函数的导数.所有基本初等函数的 导数基本公式如下：
为Δ y=f(x0+Δ x)－f(x0).当Δ x→0时，若比值Δ yΔ x 的极限存在，则称函数y=f (x)在点
x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数值，记作f′(x0)，
即
也记作
如果极限
不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.
如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任意点x处都可导，则称函数y=f(x) 在区间(a,b)内可导.
内所经过的路程为Δ s，
即
则在时间段Δ t内的平均速度
显然，时间段Δ t越小，质点运动速度变化越小,可近似看做匀速直线运动,平 均速度v就越接近于质点在t0时刻的瞬时速度v(t0)，即当Δ t→0，平均速度v的极
限，便是质点在t0时刻的瞬时速度，即
2.导数的定义
定义 设函数y=f(x)在点x0的左右近旁有定义，自变量x在点x0处有改变量Δ x(Δ x≠0)(也叫自变量的增量)时，相应函数的改变量(也叫函数的增量)
如果函数z=f(x,y)在某个平面区域D内的每一点(x,y)处，对x的偏导数都存在， 那么，这个偏导数就是x,y的函数，称它为z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，简称偏 导数，记作
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三、左导数与右导数 左导数: f (x 0) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0). 右导数: f (x 0) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0). 显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0), f(x0)xl ix0 m f(xx) xf0(x0).
x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: ((x x )2 x 2 2 x x ( x )2
(2)算比值: (3)取极限:
y 2xx x
ylim yli(m 2x x)2x
x x 0
x 0
同理可得: (xn) nxn1(n为正整数）
特别地, (x)1. (n1)
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例4 求曲线 y 在x 3点 处(的2,8切) 线与法线方程.
f(x 0 ) lix m 0 x y l i m ta n ta n k
所以，导数 f (x0) 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
M
P
M0
x0
x0 x
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设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点 处的切线方程为： y f(x 0 ) f(x 0 ) (x x 0 ) 而.当 时,曲f(线x0)在 的切f (线x ) 方程M 为0
O
x 0 x0 x x
k M N ta n x yf(x 0 x x )f(x 0)
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这里为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，
当 x 时0，点N沿曲线趋于点M。若上式的
极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线
MT的斜率，即
k tanθ lim tan x0
y lim
此时x为割线两端点M0，M
的横坐标之差，而 y
则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 即为xy 过M0，M两点的 割线的斜率.
M
M0
x0
x0 x
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曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 M 0 时的极限位置M0P，因而当 x0
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
若 lim y lim f(x0x)f(x0)
x0 x x 0
x
存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为
f('x 0)或 y|x ' x 0,或 d d x y|x x 0,或 d d f x|x x 0.
或
f(x '0 ) lx i0 m x y lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ).
2.1.4 可导性与连续性的关系
定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续.
证
因为f
(x)在点x0处可导，故有
f
(x0)
y lim .
x0 x
根据函数极限与无穷小的关系,可得:
x yf(x0)， 其 中 lixm 00.
两端乘以 x 得: yf(x 0) x x
解:因为 (x3),由3x导2 数几何意义,曲线
y x3
在点 (2,8的) 切线与法线的斜率分别为:
k 1yx 2(3 x2)x 2 1,2 k 2k 1 1 1 12
于是所求的切线方程为: y81(2 x2)
即 1x 2y16 0
法线方程为: y81(x2) 12
即 x1y 298 0
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由此可见: lx im 0 y lx im 0 (f( x 0 ) x x ) 0 .
即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕.
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例5 证明函数 y | x | 在x=0处连续但不可导. 证 因为 lim | x | 0
x0
所以 y | x | 在x =0连
而 续 f (0) lxi m 0 x y lxi m 0 x x1
第2章导数与微分
1.1导数的概念 1.2导数的运算 1.3微分
2.1 导数的概念
2.1.1 引出导数概念的实例 例1 平面曲线的切线斜率 曲线 y f的(x图) 像如图所示, 在曲线上任取两点 M(x0,y0) 和 N (x0 x,y0 y)，作割线
M，N割线的斜率为
y
y f (x) N
y
M
T
x P
当产量从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本的平均变化率
CC(Q0Q)C(Q0)
Q
Q
当 Q趋0向于0时，如果极限
lim Clim C (Q 0 Q )C (Q 0)
Q Q 0
Q 0
Q
存在，则称此极限是产量为 Q 0 时总成本的变化率。
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2.1.2 导数的概念
定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，x0x 属于该邻域，记 yf(x 0 x )f(x 0),
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
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导数定义与下面的形式等价：
f(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0).
若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意 味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映 了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.
三、左导数与右导数 左导数: f (x 0) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0). 右导数: f (x 0) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0). 显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0), f(x0)xl ix0 m f(xx) xf0(x0).
x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: ((x x )2 x 2 2 x x ( x )2
(2)算比值: (3)取极限:
y 2xx x
ylim yli(m 2x x)2x
x x 0
x 0
同理可得: (xn) nxn1(n为正整数）
特别地, (x)1. (n1)
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例4 求曲线 y 在x 3点 处(的2,8切) 线与法线方程.
f(x 0 ) lix m 0 x y l i m ta n ta n k
所以，导数 f (x0) 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
M
P
M0
x0
x0 x
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设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点 处的切线方程为： y f(x 0 ) f(x 0 ) (x x 0 ) 而.当 时,曲f(线x0)在 的切f (线x ) 方程M 为0
O
x 0 x0 x x
k M N ta n x yf(x 0 x x )f(x 0)
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这里为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，
当 x 时0，点N沿曲线趋于点M。若上式的
极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线
MT的斜率，即
k tanθ lim tan x0
y lim
此时x为割线两端点M0，M
的横坐标之差，而 y
则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 即为xy 过M0，M两点的 割线的斜率.
M
M0
x0
x0 x
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曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 M 0 时的极限位置M0P，因而当 x0
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
若 lim y lim f(x0x)f(x0)
x0 x x 0
x
存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为
f('x 0)或 y|x ' x 0,或 d d x y|x x 0,或 d d f x|x x 0.
或
f(x '0 ) lx i0 m x y lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ).
2.1.4 可导性与连续性的关系
定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续.
证
因为f
(x)在点x0处可导，故有
f
(x0)
y lim .
x0 x
根据函数极限与无穷小的关系,可得:
x yf(x0)， 其 中 lixm 00.
两端乘以 x 得: yf(x 0) x x
解:因为 (x3),由3x导2 数几何意义,曲线
y x3
在点 (2,8的) 切线与法线的斜率分别为:
k 1yx 2(3 x2)x 2 1,2 k 2k 1 1 1 12
于是所求的切线方程为: y81(2 x2)
即 1x 2y16 0
法线方程为: y81(x2) 12
即 x1y 298 0
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由此可见: lx im 0 y lx im 0 (f( x 0 ) x x ) 0 .
即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕.
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例5 证明函数 y | x | 在x=0处连续但不可导. 证 因为 lim | x | 0
x0
所以 y | x | 在x =0连
而 续 f (0) lxi m 0 x y lxi m 0 x x1
第2章导数与微分
1.1导数的概念 1.2导数的运算 1.3微分
2.1 导数的概念
2.1.1 引出导数概念的实例 例1 平面曲线的切线斜率 曲线 y f的(x图) 像如图所示, 在曲线上任取两点 M(x0,y0) 和 N (x0 x,y0 y)，作割线
M，N割线的斜率为
y
y f (x) N
y
M
T
x P
当产量从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本的平均变化率
CC(Q0Q)C(Q0)
Q
Q
当 Q趋0向于0时，如果极限
lim Clim C (Q 0 Q )C (Q 0)
Q Q 0
Q 0
Q
存在，则称此极限是产量为 Q 0 时总成本的变化率。
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2.1.2 导数的概念
定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，x0x 属于该邻域，记 yf(x 0 x )f(x 0),
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
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导数定义与下面的形式等价：
f(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0).
若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意 味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映 了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.