《高等数学》导数PPT课件

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可把 y 改写为
y 2 cos x x x sin x x x 2 cos( x x ) sin x
2
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2
(2) 算比值
y x
2 cos(
x x ) sin 2
x
x 2
cos(
x
x) 2
sin x 2
x
2
(3) 取极限
lim lim y
y
cos(
x x ) sin
解：（ 1）求函数的增量
y
f (x x)
f (x)
log a ( x x) log a x
log
a
1
x ； x
(2) 算比值
y x
log
a
1 x
x x
1 x
log
a
1
x x
log
a
1
x 2
x 0 x x 0
2 x
2
lim lim
cos(
x 0
x
x) 2
x 0
sin x 2
x
cos x
2
即
（ sin x ) cos x — —公式 3
同理可得，余弦函数的
导数为 （ cos x ) sin x — —公式 4
例题 5 求函数 y log a x (a 0，a 1，x 0) 的导数
即
(x2) 2x
类似地，对于y函数 x3，可得
(x3)3x2
一般地，对于幂函数
y x (是常数）有
(x)x1
幂函数的导数公式。——公式2
例如，当 1 时，
2
1
y x 2 x 的导数为
1
(x 2 )
1
1 1
x2
1
1
x2
2
2
即 （ x ) 1 2x
例题 4 求函数 y sin x 的导数
lim lim y y 11
x x 0
x 0
即（ x） 1
例3题求函y数 x2的导数
解：（源自文库） 求函数的增量
f(x ) x 2 ， f(x x ) (x x )2
yf(x x)f(x)(x x)2x2
2x x( x)2
（2） 算比值 y2xx(x)22xx
x
x
limlim (3) 取极限 y y (2x x)2x x 0 x x 0
察物体在 t 0 时刻的瞬时速度。
当时间t0由 变到 t0t时，物体经过的路
ss(t0 t)s(t0)
两端同t除 ，以 得物t体 这在 段时间内的 为
ss(0tt)s(t0)
t
t
当t0时平 ，均速 的 度极限叫作t0物 时体 刻在 的
速度，即
limlim lim t0
t0
t0
s t t0
s
(t0t) s t
并称函 y数 f(x)在点 x0处可导。如 不存在，则y称 f(函 x)在 数点 x0处不可
f(x0)也可记作
y , xx0
dy 或df(x)
dxxx0
dx xx0
如果x令 xx0，当 x0时，x 有 x0，则 函数在 x0处 点的导数还可以表示
lim f(x0) x x0
f(x)f(x0) xx0
难点 复合函数求导法；隐函数求导法；对数求 导法。
导数（derivative）的概念
变速直线运动的瞬时速度
由物理学知道，物体作等速直线运动时， 它在任意时刻的速度可用公式
（速度）s
t
(路程) (时间)
来计算。只能反映物体在一段时间内的平均 速度，不能反映物体在某一时刻的速度（瞬 时速度）。
设物体作变速直线运动，其运动方程为 s = s (t) ，考
当x0时，如果平均极 变限 化存 率在 的
lim lim y f(x 0 x)f(x 0)
x 0 x x 0
x
存在，则称此函 极数 y限 f值 (x)在 为点 x0
处的导数（亦称变化率），记作 f (x0) 即
lim lim f(x 0 ) x 0 y x x 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
第二章 导数与微分
（一）学习目标 1、了解导数、微分的几何意义；微分在近似计
算中的应用。 2、理解导数和微分的概念，可导和连续的关系。 3、掌握导数和微分的基本公式与运算法则；掌
握复合函数求导法；隐函数求导法；对数求导法。 （二）学习重点和难点
重点 导数的概念；可导性与连续性的关系；复 合函数求导法；隐函数求导法；对数求导法。
导数f(x)可分为以下三个步骤：
（1）求函数的增量 yf(x x)f(x)；
（2）算比值
yf(xx)f(x)；
x
x
lim （3）取极限
y
y
x0 x
例题1 求函数y = C(Constant常数)的导数
解：（1）求函数的增量
yc，不x取 论什么 y的 值 值 ， 总 c，
y0；
（2）算比值
y 0； x
即
lim lim f(x ) y f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
显然y， f(x)函 在x0 数 点 处的 f(x 导 0)就 数
导函 f(x)在 数 xx0处的函数值
在不发生混淆的情况下，导函数也称为导数。
利用导数定义求导数 由导数的定义可 函知 数y， f求 (x)的
2、导函数的定义
若函y数 f(x)在区间 a，b（ )内每一点都
则称函y数f(x)在区（间 a，b)内可导。这y时 f函 (x)数
对每一x 个 (a，b)，都有一个确值 定与 的之 导对 数应
就构成x的 了一个新的函函 数数 ， y叫 f(x做 )对x的导
数，记f作 (x), y, dy或d(fx) dx dx
（3）取极限
lim lim y y 00
x x 0
x 0
即 （C）＇= 0，常数的导数是零。—公式1
例2 题 求函 y数 x的导数
解：（1）求函数的增量
f( x ) x ， f( x x ) x x
y f( x x ) f( x ) x
（2）算比值
y x 1 x x
（3）取极限
(t0)
导数的概念
1、 函数 yf(x)在点 x0处导数的
设函数 yf(x)在点 x0的某邻域内有
当自变 x在量 点 x0处有改x变 (x量 0,x0x 仍在该邻域内 应） 的时 函， 数x0相 值 处在 的
变量yf (x0 x)f(x0)，比值
y f (x0 x)f(x0)
x
x
称为f函 (x)从 数x点 0变化 x0到 x的平均
解：（ 1） 求函数的增量
f ( x ) sin x , f ( x x ) sin( x x ),
y f ( x x ) f ( x ) sin( x x ) sin x
应用三角函数中的和差
化积公式：
sinA sin B 2 cos A B sin A B