高等数学7-5可降价高阶微分方程

三、 y f ( y , y) 型微分方程
特点： 右端不显含自变量x . 解法：
设 y p
dp dy dP 则 y p , dy dx dy
代入原方程, 得
dP P f ( y , P ). dy 求得 P ( y, C1 ),
关于y,P的一阶方程
dy 即 ( y , C1 ), dx
练习题答案
C1 x C2 x C3 ； 一、1、 y xe 3e 2 2、 y ln cos( x C 1 ) C 2 ； 3、 y arcsin( C 2 e x ) C1 ； 1 4、 y 1 . C1 x C 2 x 1 2 二、1、 y 2 x x ； 2、 y ln( ax 1) ； a 1 4 3、 y ( x 1) . 2 1 3 1 三、 y x x 1 . 6 2
dP (1 x ) 2 xP dx
2
2
代入方程，得
dP 2x dx , 2 P 1 x
P ln P ln( x ) C1 , 1 e C1 C , 1 x2
C1 (1 x 2 ), 由y x 0 3，得C1 3 于是 y 3(1 x 2 ), 从而 y 3 x x 3 C2 , y
P(x)的(n-k)阶方程
代入原方程, 得
P ( nk ) f ( x, P ( x ),, P ( nk 1) ( x )). 求得 P ( x ),
将y
(k )
P ( x ) 连续积分k次, 可得通解.
例 3 求方程 xy ( 5 ) y ( 4 ) 0 的通解.
解
设 y ( 4 ) P ( x ),
x x
作业
P292: 1（1，3，6，9），2（偶），4
y ( 5 ) P ( x )
代入原方程
xP P 0, （P 0）
解线性方程, 得 P C1 x 即 y ( 4 ) C1 x , 1 y C1 x 2 C 2 , , 两端积分,得 2 C1 5 C 2 3 C 3 2 y x x x C4 x C5 , 120 6 2 原方程通解为 y d 1 x 5 d 2 x 3 d 3 x 2 d 4 x d 5
则 y
d 2P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数P ( y )的( n 1)阶方程，
dy P ( y ) ( y , C1 , , C n1 ), 求得其解为 dx dy x Cn , 原方程通解为 ( y , C1 , , C n 1 )
＝
D1
二、 y f ( x , y) 型微分方程
y 特点： 不显含未知函数.
解法：
令 y P ,
dP 则 y P , dx
关于x,P的一阶方程
代入原方程, 得
P f ( x , P ).
求得 P ( x, C1 ),
dy 即 ( x , C1 ), dx
可得通解.
积分,
dy ( y , C1 ) x C 2 ,
例 4 求方程 yy y 2 0 的通解. P290-5 解 设 y p( y ),
dP 则 y p , dy dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy
§5. 可降阶的高阶微分方程
一、 y
( n)
f ( x ) 型微分方程
特点：右端仅含自变量x
解法：方程两端连续积分n次
y ( n1) f ( x )dx C1 y ( n 2 ) [ f ( x )dx C1 ]dx C 2
以此继续，便得到含有n个任意常数的通解.
xf ( x) f ( x) 0,
练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 1、 y xe x ； 2、 y 1 y 2 ； 2 3 y 2 0 . 3、 y ( y ) y ； 4、 y 1 y 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: y 3 y 1 0 , y x 1 1 , y x 1 0 ； 1、 y ay 2 0 , y x 0 0 , y x 0 1 ； 2、 3、 y 3 y , y x 0 1 , y x 0 2 . 三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 x y 1 相切的积分曲线 . 2
dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , dy
dy C1 y , dx
CHale Waihona Puke Baidux 原方程通解为 y C2e 1 .
y
( n)
f ( y, y ,, y
(k)
( n1)
) 型
dp dy dP p , dy dx dy
特点： 右端不显含自变量x . 解法： 设 y p( y )
由y x 0 1，得C 2 1,
y x 3 x 1,
3
为所求特解.
y
( n)
f ( x, y ,, y
(k )
( n1 )
)型
特点： 不显含未知函数y及 y,, y( k 1) . 解法： 令 y ( k ) P ( x )
则y
( k 1 )
, y ( n ) P ( n k ) . P
积分,
y ( x , C1 )dx C 2 , 可得通解.
例2 解
(1 x 2 ) y 2 xy 求解 . y x 0 1, y x 0 3
P288-3
方程为 y f ( x, y) 型 dP y , 令 y P , dx
例1 解
y e cos x .
2x
P286-1
1 2x y e sin x C 2 1 2x y e cos x Cx C1 4 1 2x C 2 y e sin x x C1 x C 2 . 8 2 1 2x y e sin x D1 x 2 D2 x D3 . 8