椭圆中定点定值问题 一般结论

椭圆中的“定”

五、一般结论

30. 已知点()()0,0000≠y x y x A 是椭圆122

22=+b y a x C ：()0>>b a 上一定点，过点A 的两直线21,l l 与椭圆C 的另一个交点分别为Q P 、，直线21,l l 的斜率分别为21,k k .

（1）若2221a b k k =⋅，直线PQ 的斜率为定值0

0x y -.反之亦然. （2）若021=+k k ，直线PQ 的斜率为定值0

202x a y b .反之亦然. 31.椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之积为定值()122≠m m a b ，则直线BC 必定过定点()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+11,1100m m y m m x M . 32.椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之和为定值()02≠n n a b ，则直线BC 必定过定点⎪⎭

⎫ ⎝⎛---0000,y x an b y bn a x N . 33.（1）一条经过点()0,m M 的直线l 与椭

圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 交于B A ,两点，作A 关于长轴的对称点A ',则直线A B

'过定点2,0a T m ⎛⎫ ⎪⎝⎭

.

（2）一条经过点()()0,M m b m b -<<的直线l 与椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 交于,P R 两点，

设点20,b Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则PQM RQM ∠=∠.

34.（1）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的

切线，切点为B A ,，则直线AB 必过椭圆的左（右）焦点，反之，当圆锥曲线的焦点弦AB 绕焦点F 运动时，过弦的端点,A B 的两切线交点的轨迹为F 对应的准线.

（2）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为A ，则以NA 为直径的圆过椭圆的左（右）焦点，即090NFA ∠=.

35.过点()00,P x y 作直线交12222=+b

y a x C ：()0>>b a 于,A B 两点，点,P Q 在椭圆的异侧且点Q 在直线AB 上，若A P Q B A Q P B =，则点Q 在定直线00221x x y y a b

+=上.

36.已知()00,P x y 是椭圆 22

22:1x y E a b

+=外一点，过点P 作椭圆的切线，切点为,A B ，再过P 作椭圆的割线交椭圆于,M N ，交AB 于点Q ，令111,,s t u PM PN PQ

===，则

,,s t u 的关系是2s t u +=.

37.自()00,P x y 点作椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的两条切线，切点分别为12,P P ，则切点弦12PP 的方程为00221x x y y a b

+=：.

38.过椭圆()222210x y a b a b

+=>>上一点()000,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=.

39. （1）过圆2222

x y a b +=+上任意一点作椭圆122

22=+b y a x C ：()0>>b a 的两条切线，则这两条切线相互垂直.反之，作椭圆

122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的两条相互垂直的切线，则切线交点一定在圆2222x y a b +=+上.

（2）过圆2222x y a b +=+上任意一点P 作椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的两条切线,PA PB ,,A B 为切点，中心O 至切点弦的距离为1d ，P 点至切点弦的距离为2d ，则

22

1222a b d d a b =+.

40.在椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2

tan 221θb S PF F =∆