相似三角形_射影定理、圆

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相似三角形

经典模型

“平行型”: A 字型和8字型

由DE ∥BC 可得：AC

AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

例1：如图，111EE FF MM ∥∥，若

AE EF FM MB ===， 则1

11

1

1

1

:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形 M 1F 1E 1M E F A B

C

总结：相似比和面积比，周长比的关系是

例2:如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，

_____MN =

M N A B

C

D E F

2

例3.已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H

求证：

PE PH

PF PG

= P

H

G

F

E

D

C

B

A

例4.已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且

2AE

EC

=,BE 、CD 相交于点F ， 求

BF

EF

的值

例5.已知：在ABC ∆中，12AD AB =

，延长BC 到F ,使1

3

CF BC =,连接FD 交AC 于点E

求证：①DE EF = ②2AE CE =

A

B

C

D

F

E

7.如图，在ABC ∆中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F

求证：AE BF BE CF ⋅=⋅

F

E

D

C B

A

F

E D

C

B

A

3

2.直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理：

CD ²=AD ·BD ， AC ²=AD ·AB ， BC ²=BD ·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

例1 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。，，82==DB AD 求的长。和BC AC CD ,

2.如图1—4—1中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是( )

A ．3：2

B ．9：4

C ．3：2

D ．2：3

3.已知直角△ABC 中，斜边AB=5cm ，BC=2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE=( )

A ．1.24 cm

B ．1.26 cm

C ．1.28cm

D ．1.3 cm

4.在Rt ABC 中，90BAC ∠= ，AD BC ⊥于点D ，若

34AC AB =，则BD

CD

=（ ） A 、34 B 、43 C 、169 D 、916

A

4

圆

例1.在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC

练习

1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。

2. 圆内接四边形ABCD 中，如果∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。

3. 若⊙O 的半径为3，圆外一点P 到圆心O 的距离为6，则点P 到⊙O 的切线长为___________。

4. 如图所示CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB 于M ，则可得出AM=MB ，AC BC ⋂=⋂

等多个结

论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。

5. ⊙O 1与⊙O 2的半径分别是3和4，圆心距为43，那么这两圆的公切线的条数是___________。

6. 圆柱的高是13cm ，底面圆的直径是6cm ，则它的侧面展开图的面积是___________。

7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm ，拱高CD=4cm ，那么拱形的半径是___________。

8. 若PA 是⊙O 的切线，A 为切点，割线PBC 交⊙O 于B ，若BC=20，PA=103，则PC 的长为___________。

9．如图5，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A

上任意一点（不与C A 、重合），

POC ABC ∠=∠则,55

的取值范围是 ．

10．如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则

∠1的度数为 .

（第9题图）

5

11．已知O 的半径是3，圆心O 到直线l 的距离是3，则直线l 与圆O 的位置关系是 ．

12．如图，已知点E 是圆O 上的点， B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点， 46BOC ∠= ，则AED ∠的度数为 ．

13．如图，Rt ABC △中90ACB ∠=

，4AC =，3BC =．将ABC △绕AC 所在的直线f 旋转一周

得到一个旋转体，该旋转体的侧面积= ．

15．如图，AB 是圆O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=

，过M 点的O 的切线交AB 延长线于点N ．若

12c m

ON =，则O 的半径为 cm ．

第13题图

f A

B

C