数学三十六计续集19：曲径通幽

《三十六计》全集目录

《三十六计》全集目录
第一套胜战计
第1计瞒天过海
第2计围魏救赵
第3计借刀杀人
第4计以逸待劳
第5计趁火打劫
第6计声东击西
第二套敌战计
第7计无中生有
第8计暗渡陈仓
第9计隔岸观火
第10计笑里藏刀
第11计李代桃僵
第12计顺手牵羊
第三套攻战计
第13计打草惊蛇第14计借尸还魂第15计调虎离山第16计欲擒姑纵第17计抛砖引玉第18计擒贼擒王第四套混战计
第19计釜底抽薪第20计混水摸鱼第21计金蝉脱壳第22计关门捉贼第23计远交近攻第24计假道伐虢
第五套并战计
第25计偷梁换柱第26计指桑骂槐第27计假痴不癫第28计上屋抽梯第29计树上开花第30计反客为主第六套败战计
第31计美人计第32计空城计第33计反间计第34计苦肉计第35计连环计第36计走为上。

【温故知新】原汁原味《三十六计》全文【图文并茂】

【温故知新】原汁原味《三十六计》全文【图文并茂】《三十六计》【檀道济】南北朝·宋总说六六三十六，数中有术，术中有数。

阴阳燮理，机在其空，机不可设，设则不中。

【按语】解语重数不重理，盖理，术语自明；而数，则在言外，若徒知术之为术，而不知术中有数，则术多不应，且诡谋权术，原在事理之中，人情之内。

徜事出不经，则诡异立见，诧世惑俗，而机谋泄矣。

或曰：三十六计中，每六计成一套，第一套为胜战计，第二套为敌战计，第三套为攻战计，第四套为混战计，第五套为并战计，第六套为败战计。

三十六计【胜战计】第一计‧瞒天过海备周则意怠；常见则不疑。

阴在阳之内，不在阳之对。

太阳，太阴。

【按语】阴谋作为，不能背于秘处行之。

夜半行窃，僻巷杀人，愚俗之行，非谋士之所为也。

第二计‧围魏救赵共敌不如分敌，敌阳不如敌阴。

【按语】治兵如治水，锐者避其锋，如导疏；弱者塞其虚，如筑堰。

故当齐救赵时，孙子谓田忌曰：「夫解杂乱纠纷者不控拳，救斗者，不搏击，批亢捣虚，形格势禁，则自为解耳。

第三计‧借刀杀人敌已明，友未定，引友杀敌，不自出力，以损推演。

【按语】敌象已露，而另一势力更张，将有所为，便应借此力以毁敌人。

如：郑桓公将欲袭郐，先向郐之豪杰、良臣、辨智、果敢之士，尽书姓名，择郐之良田赂之，为官爵之名而书之，因为设坛场郭门之处而埋之，衅之以鸡豭，若盟状。

郐君以为内难也，而尽杀其良臣。

桓公袭郐，遂取之。

诸葛亮之和吴拒魏，及关羽围樊、襄，曹欲徙都，懿及蒋济说曹曰：「刘备、孙权外亲内疏，关羽得志，权心不愿也。

可遣人蹑其后，许割江南以封权，则樊围自释。

曹从之，羽遂见擒。

第四计‧以逸待劳困敌之势，不以战；损刚益柔。

【按语】此即致敌之法也。

兵书云：「凡先处战地而待敌者佚，后处战地而趋战者劳。

故善战者，致人而不致于人。

」兵书论敌，此为论势，则其旨非择地以待敌，而在以简驭繁，以不变应变，以小变应大变，以不动应动，以小动应大动，以枢应环也。

管仲寓军令于内政，实而备之；孙膑于马陵道伏击庞涓；李牧守雁门，久而不战，而实备之，战而大破匈奴。

釜底抽薪三十六计之第十九计

釜底抽薪三十六计之第十九计三十六计第19计釜底抽薪不敌其力，而消其势，兑下乾上之象。

釜底抽薪：从锅底抽掉柴火。

比喻从根本上解决问题。

上图：三十六计之釜底抽薪
釜度抽薪的故事
孙膑告诉田忌，只要揭穿假郊师的真实的身分，就如釜底抽薪一亲，马陵这股逆火不扑自灭。

田忌回到齐都，将马陵的情况上奏齐宣王，齐宣王请太后出面，揭穿假郊师。

太后一口咬定郊师不会有假。

钟离春微服来到魏国，找到钟离秋，请她打听假郊师的真实身份，并说她请齐王下旨，让孙膑娶钟离秋为妻，钟离秋同意帮助姐姐。

太后来到马陵城下，向城头的假郊师询问郊师儿时之事，假郊师无法回答，太后方知这个郊师是假。

假郊师见事败，射伤
太后。

马陵的叛党，得知郊师是假，纷纷逃离马陵。

数学破题36计(19-27)

第19计模式开门请君入瓮●计名释义数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力.数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.● 典例示范【例1】实数x ，y 满足x 2+(y -1)2=1，则使不等式x+y+c ≥0恒成立的实数c 的取值范围是（） A .［-12-，2-1］ B .［2-1，+∞) C .( 2-+1，2-1) D .(-∞，2--1)【分析】容易看出：x 2+(y -1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c ≥0表示直线y=-x-c 即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x ，y ）既在直线y=-x-c 上方，又在圆x 2+(y -1)2=1上运动时，实数c 应满足什么条件？【解答】如图，斜率为-1的直线 y=-x-c 切圆x 2+(y -1)2=1于A ，B ，交y 轴于M ，N .连AB ，则AB 过圆心C （1，0）.等腰直角三角形MCB 中，∣CB ∣=1， ∴∣CM ∣=2，设M （0，-c ），必-c =1-2，得M （0，1-2）.当且仅当-c ≤1-2时，圆x 2+(y -1)2=1 例1题解图上的点在直线y=-x-c 上或其上方.于是c ≥2-1，选 B .【例2】正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++2222222224331531x zx z z y y xy x ，则xy +2yz +3xz 的值是 .【分析】从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.【解答】将原方程组改写如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=︒∙-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒∙∙-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222222224120cos 23315150cos 31231xz z x z y y x y x ，构造如图的直角三角形ABC ，使AB =5， AC =4，BC =3.又在△ABC 内取一点P ，使∠APB =150°，∠APC =120°， ∠BPC =90°.显然符合题设条件. ∵S △APB +S △BPC +S △CP A =S △ABC ，而S △APB =21x ²31y ²sin150=341xy ， S △APC =21xz ²sin120°=43xz ，例2题解图S △BPC =21z ²31y =321yz ，S △ABC =6. ∴341xy +43xz +321yz =6，∴xy +2yz +3xz =24.3.【例3】某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a 个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x 个标段的新路和n 个道路交叉口，n 与x 满足关系n=ax+b ，其中b 为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k 万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n 越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=)1(21β+.(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式；（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的 25％，求新建的x 个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p 的取值范围.(Ⅲ)当b =4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p 最高时，问原有道路标段为多少个？【解答】（Ⅰ）新建x 个标段，则应建n=ax+b 个道口，建x 个标段需kx 万元，建（ax+b ）个道口需y=k β(ax+b )(万元). (Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］, ∴0.05≤)1(21β+≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,又p =y kx =)4()41(41)(2b a a b a a a b ax x +=+∙=+βββ. ∵p >0,β>0，∴ba a 42+>0，当β∈［4,9］时，β1∈［91，41］，所求p 的范围是： )4(4)4(922b a ap b a a +≤≤+. (Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大，故β=9，又b =4. ∴p =721162911691)16(92=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a a a a ，当且仅当a =a 16. a >0，即a =4时，造价比p =721为最高. ∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.【点评】本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n 、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.【例4】你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小? 【思考】此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来. 【解答】设扇形OAB 的半径为R ，中心角为2α. (1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，则S □CDEF ＝DE ²EF =Rsin θ²ααθα2sin 22sin )2sin(2R R =-²［cos2(α-θ)-cos2α］当2(α-θ)=0，即θ=α时，S □CDEF 有最大值22R tan α.（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF ＝OE ＝R cos θ，则S □CDEO =DE ² EF =R sin θ²R cos θ=22R sin2θ，当2θ=2π即θ=4π=α，S □CDEO 有最大值22R . (3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF 为扇形的内接矩形，取B A的中点M ，连结OM ，则∠BOM =α,∠DEO =π-α，令∠DOM =θ，则矩形面积S=CD ²DE =2R ²sin θααθαθαθαsin sin )sin(sin 2sin )sin(22R R R =-=-［cos (2θ-α)-cos α］，当cos(2θ-α)=1. 即θ=2α时，S max =2tan sin )cos 1(22αθαR R =- .此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF ，再沿其周界切开即可.例4题解图●对应训练1.已知a<b<c ，求证：a 2b +b 2c+c 2a <ab 2+bc 2+ca2.2.已知a ，b ，c ，d 为实数，求证：.)()(222222d b c a d c b a ++±≥+++3.设n 是大于1的自然数，求证：.2121211511311+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 4.若a ，b ≠0，且a 2+b 2=1，求证：.91122≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a5.α,β,γ均为锐角，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，求证：tan αtan βtan γ≤.426.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x -221x (万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（百台）. (1)把利润l 表示为产量x 的函数L (x); (2)年产量为多少时，企业所得利润得大？（3）年产量为多少时，企业才不会亏本？7.在边长为5cm ，6cm ，7cm 的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm 2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论 ●参考答案1．原题即证：a 2b +b 2c +c 2a -ab 2-bc 2-ca 2<0或a 2(b-c )+a (c 2-b 2)+bc (b-c )<0.设f (a )=a 2(b-c )+a (c 2-b 2)+bc (b-c ) (a<b<c ),这里b-c <0，且Δ=(b+c )2(b-c )2-4bc (b-c )2=(b-c )4>0. ∴f (a )的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x =2c b +，而2cb +>b>a ，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-2,c b •上递增， ∴f (a )<f (b )，但f (b )=0, ∴f (a )<0，故a 2b +b 2c +c 2a <ab 2+bc 2+ca 2.2 如图所示，在直角坐标系中, 设有A (a ,b )，B (c ,d )两点，连接AO ，OB ，显然|OA |+|OB |≥|AB |(当A 、O 、B 共线时等式成立).∴222222)()(d b c a d c b a -+-≥+++若将点B 的坐标改为 (-c ,-d )，则有：222222)()(d b c a d c b a +++≥+++. 第2题解图3 设⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1211511311111n A , 即122563412-∙∙=n n A, 则nn A 212674523+∙∙∙∙> . 两式相乘：A 2>2n +1，∴A =121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 2. 即2121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n . 4.在坐标平面内设有两点A (a ，b ), B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--b •a1,1，则|AB |=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a设过A 的直线l ：ax+by -1=0.∵a ²a +b ²b -1=a 2+b 2-1=0, ∴点A (a ，b )符合条件a 2+b 2=1. 作BC ⊥l 于C ，则|AB |≥|BC | （当直线l ⊥AB 时等式成立）.∵|BC |=,3|111|22=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ba b b a a 第4题解图∴2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥3. 即2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥9.5 如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，连接BD 1，设∠BD 1B 1=α, ∠BD 1A =β，∠BD 1C =γ.∵BD 1=222c b a ++，B 1D 1=22b a +, AD 1=22c b +, CD 1=22a c +，∴满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，且α,β,γ均为锐角. 第5题解图于是 tan α²tan β²tan γ=222222ca b cb a ba c +∙+∙+≤221222=∙∙ac bc ab abc故 tan α²tan β²tan γ≤.42 6.（1）年产量在500台以内（即0≤x ≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x >5）.只能售出500台，x (百台)的生产成本为C (x )=0.25x +0.5(万元). 故利润函数L (x )=R (x )-C (x ).当0≤x ≤5时，L (x )=(5x -21x 2)-(0.25x +0.5)= -21x 2+4.75x -0.5. 当x >5时，由于只能售出500台，∴L (x )=(5³5-21³52)-(0.5+0.25x )=12-0.25x .于是⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-≤≤⋅-⋅+=)5(25012)50(50754211)(2x x •x x x x L .(2)为使利润最大，须求L (x )的最大值，显然x >5时不可取（会造成积压）.当0≤x ≤5时，∵L ′(x )=-x +4.75，命L ′(x )=0，得x =4.75，L (x )的图像为开口向下的抛物线，∴当x =4.75时，［L (x )］max=3234521419212=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ =10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大.(3)为使企业不亏本，必须L (x )≥0.显然，0≤x ≤5时，应使-21x 2+4.75x -0.5≥0. 即2x 2-19x +2≤0，解得0.11≤x ≤14，综合得：0.11≤x ≤5.x >5时，应使12-0.25x ≥0，得5<x ≤48.于是，为使企业不亏本，产量应在11台至4800台之间. 7.可以办到.如图所示，证明如下：设△ABC 内切圆半径为r ，则S △ABC =21(5+6+7)r=9r ① ∵cos B =51652493625=∙∙-+∴sin B =6522511=- ∴S △ABC =21²5²6²652=66（cm 2） ② 第7题解图比较①，②：9r =66得r =632（cm ），于是 S ⊙O =338383622⨯>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=8（cm ）2. 第20计讨论开门防漏防重●计名释义为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”.分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件.分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使: ①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”.分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.●典例示范【例1】已知a ∈R ，函数f (x )=x 2|x-a |.(1)当a =2时，求使f (x )=x 成立的x 的集合；（2）求函数y =f (x )在区间［1，2］上的最小值.【分析】 (1)只需分两种情况讨论；（2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解.【解答】 (1)当a =2时，f (x )=x 2|x -2|=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-2)2(2)2(22•x x x •x x x当f (x )=x 时，即x 2(x -2)=x (x ≥2)或x 2(2-x )=x (x <2) x 3-2x 2-x =0，x (x 2-2x -1)=0, x 1=0(舍去），x 2=1-2(舍去），x 3=1+2.当x 2(2-x )=x 时，∴x 3-2x 2+x =0，x (x 2-2x +1)=0，x =0或x =1. 综上所述：a =2时，f (x )=x 成立的x 的集合为{0，1，1+2}.(2)f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-a•x x a x a •x a x x )()(22若a ≤1时，即a <1≤x ≤2，f (x )=x 3-ax 2.∴f ′(x )=3x 2-2ax =0，∴x 1=0，x 2=32a ∵1≤x ≤2，∴32a<x ，0<x . ∴x =0或x =32a 都不在［1，2］内，而x ∈［1，2］， f ′(x )>0，即f (x )在［1，2］内为增函数. ∴f (1)=1-a ，f (2)=8-4a . ∴f (x )min =1-a .若a ∈(1，2)，即f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-212323x •a ax x a x •ax x当1≤x ≤a 时，f (x )=-3x 2+2ax =0，x 1=0，x 2=32a . 若a <32时，1≤x<a ，f ′(x )<0. ∴f ′(x )=-x 3+ax 2在［1，a ］为减函数， ∴f (x )min =-a 3+a 3=0.当a ≤x ≤2时，f ′(x )=3x 2-2ax =0，x 1=0，x 2=32a . 当x ∈［a ，2］，f ′(x )>0. ∴f (x )在［a ，2］上为增函数. ∴f (x )min =0.当a >2时，x ∈［1，2］. f (x )=x 2(a-x )= ax 2-x 3. ∴f ′(x )=2ax -3x 2=0. ∴x 1=0，x 2=32a 若34<32a ≤2，f (x )在［1，32a ］上为增函数. f (1)=a -1，f (32a )=94a 3-278a 3=274a 3.f (x )在［32a ，2］为减函数，f (2)=4a -8. ∴f (x )min 为a -1，4a -8中的较小数. 即2<a <37时，f (x )min = 4a -8 37≤a ≤3，f (x )min =a -1 a >3时，x ∈［1，2］时，f ′(x )>0 ∴f (x )min =f (1)=a -1.综上所述，a ≤1时，f (x )min =1-a , a ∈(1，2)时，f (x )min =0, a ∈(2，37)时，f (x )min = 4a-8; a ∈［37，3］时，f (x )min =a -1; a ∈(3，+∞)时，f （x ）min =a -1. 【点评】本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x 的取值进行讨论，第（2）问中对a 的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在.【例2】设f (x )=g (x )-h (x )，其中g (x )=2x 3+x +5，h (x )=(3a +3)x 2-12a (1-a )x +x . (1)若x >0，试运用导数的定义求g ′(x );(2)若a >0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x )的单调递增区间与单调递减区间.【解答】（1）g ′(x )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-∆++∆-∆+∙=∆-∆+→∆→∆x x x x x x x x x x g x x g x x 3300)(2lim )()(lim=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+∆∆+∆∆+∆+∆∙→∆)()()(332lim 3220x x x x xx x x x x x x =xx xx x x x x x x 216}1])()(33[2{lim 222+=+∆++∆+∆+→∆.(2)由f (x )=g (x )-h (x )=2x 3-(3a +3)x 2+12a (1-a )x +5得f ′(x )=6x 2-(6a +6)x +12a (1-a )=6(x -2a )(x-1+a ),令f ′(x )=0得x =2a 或x =1-a . ①当0<a <31时，0<2a <1-a <6，于是函数f (x )在［0，2a ］上单调递增，在［2a ，1-a ］上单调递减，在［1-a ，6］上单调递增； ②当31≤a <1时，0<1-a ≤2a <6，于是函数f (x )在［0，1-a ］上单调递增，在［1-a ，2a ］上单调递减，在［2a ，6］上单调递增；③当1≤a <3时，1-a ≤0<2a <6，于是函数f (x )在［0，2a ］上单调递减，在［2a ，6］上单调递增；④当a ≥3时，1-a <0<6≤2a ，于是函数f (x )在［0，6］上单调递减.【点评】本题中对a 的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了.●对应训练1.若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定:当且仅当A 1=A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a 1，a 2，a 3}的不同分拆种数是A 27B 26C 9D 82.若数列{a n }的通项公式为a n =2)23()1(23n n n n n ------++，n ∈N +，则)(l i m 21n n a a a ++∞→ 等于（）A2411 B 2417 C 2419 D 24253. 如图，已知一条线段AB ，它的两个端点分别在直二面角α-l-β的两个面内转动，若AB 和平面α、β所成的角分别为θ1、θ2，试讨论θ1+θ2的范围.第3题图●参考答案1. A 由于A ={a 1，a 2，a 3}=A 1∪A 2，以A 1为标准分类. A 1是，则A 2={a 1，a 2，a 3}，这种分拆仅一种，即 C 03²C 33=1;如A 1为单元素集，有C 13种可能,对其中每一种，例如A 1={a 1}，由于必有a 1，a 3∈A 2，且a 1∈A 2或a 1∉A 2都符合条件. 这种分拆有 C 13·C 12=6种.如A 1为双元素集，有C 23种可能,对其中每一种，不妨设A 1={a 1，a 2}，则必a 3∈A 2，此外对a 1，a 2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有 C 23²4=12种. 若A 1为三元素集，则A 2可以是{a 1，a 2，a 3}的任何一个子集，故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n 分奇数、偶数两种情况进行讨论.解析：根据题意，得a n =⎪⎩⎪⎨⎧--为偶数为奇数•n •n nn ,3,,2∴{a 2n -1}是首项为21，公比为41的等比数列，{a 2n }是首项为91，公比为91的等比数列. ∴)(lim )(lim )(lim 423121 +++++=++∞→∞→∞→a a a a a a a n n n n=.24191911219141=-+- 故选 C . 点悟：解分类讨论问题的一般步骤为：（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；（4）归纳总结：将各类情况总结归纳.3.分析：由于AB 于l 的位置关系不定，故需分类讨论. 解：（1）当AB ⊥l 时，显然θ1+θ2=90° .（2）当AB 与l 不垂直时，在平面α内作AC ⊥l ，垂足为C ，连结BC .∵平面α⊥平面β，∴AC ⊥平面β. ∴∠ABC 是AB 与平面β成的角，即∠ABC =θ2. 在平面β内作BD ⊥l ，垂足为D ，连结AD . 同理可得∠BAD =θ1. 在Rt △BDA 和Rt △ACB 中，∵BD<BC ，∴ABBCAB BD <，即sin θ1<sin ∠BAC . ∵θ1与∠BAC 均为锐角，∴θ1<∠BAC . 而∠BAC +θ2=90°，∴0°<θ1+θ2<90°. （3）若线段AB 在直线l 上，则θ1+θ2=0°. 综上，可得0°≤θ1+θ2≤90°.点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.第21计图表开门信息传送●计名释义图表也是一种数学语言.这种语言以图形和表格的形式传送信息，它有立意新颖，设计灵活，构思精巧，内涵丰富，解法多样等特点，因而备受当今命题人的青睐，许多创新题型每每在图表上打主意.解图表型题目应在读图表，识图表和用图表上找窍点，通过观察找到其中的关键点，有效地实现图表语言到文字语言的转化，从而在思考上引起质的飞跃，从而达到破题的目的. ●典例示范【例1】如图，甲、乙两人分别位于方格中A 、B 两处，从某一时刻开始，两人同时以每分钟一格的速度向东或西或南或北方向行走，已知甲向东、西行走的概率均为41，向南、北行走的概率分别为31和p ；乙向东、西、南、北行走的概率均为q . 例1题图 (1)求p 和q 的值；（2）试判断最少几分钟，甲、乙两人可以相遇，并求出最短时间内可以相遇的概率. 【分析】同时进行两个相互独立事件，因为概率的总和为1，因此有以下解答. 【解答】（1）甲向四个方向行走是一个必然事件， ∴41+41+31+p =1, ∴p =61. 同理4q =1，∴q=41. 【分析】甲、乙二人到底在哪儿相遇没有定数，但我们可以看到，甲、乙二人在一个正方形的两个对角顶点上.他们要在最短时间内相遇，他们必须沿着这个正方形的边行走. 【解答】 (2)如解图，设甲、乙两人在C 、D 、E 处相遇的概率分别为p C 、p D 、p E . 【插语】从图形中来，回到图形中去，在图上标明这三点，让我们的思路一目了然，才会有下面的解答.【继解】甲、乙两人最少需要2分钟可以相遇. 【插语】每人朝对方走2步，因为他们的速度相同（每分钟都是一格）. 例1题解图【继解】则p C =576141416161=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯， p D =2961414124161=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯， p E =⎪⎭⎫⎝⎛⨯4141³⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯4141=.2561∴p C +p D +p E =.23043725619615761=++ 即所求的概率为230437. 【评说】这是一个几何图形信息题，具有多样性、直观性的特征，充分挖掘图形内涵，全方位地审视图形，全面掌握图形所提供的信息，以形助数是解决信息题的关键. 【例2】函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d 的部分数值如下：则函数y =lg f (x )的定义域为 .【分析】所求函数为复合函数，只需f (x )>0即可，但f (x )中含有四个系数a ，b ，c ，d ，所以先确定它们的值.【解答】设f (x )=a (x +1)(x -1)(x -2)，而f (0)=4，∴a=2.【插语】为什么这样设?这来源于表格中y 有三个0值点，关键点的选取，使我们的系数一下减少了3个. 此设是本题的一个突破口. 【续解】 ∴f (x )=2(x +1)(x -1)(x -2).要使y =lg f (x )有意义，则有f (x )=2(x +1)(x -1)(x -2)>0, 由数轴标根法解得-1<x <1或x >2.∴函数y =lg f (x )的定义域为(-1，1)∪(2，+∞).【评说】本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起，而且给出了多余的条件信息，属开放问题，这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时，要注意从众多的信息中，观察、分析、筛选，放弃无用的信息，挑选出与解题有关的信息，找到解题的突破口，这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力.●对应训练1.甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图所示.(1)根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图，推断乙击中8环的概率P （ξ乙＝8），并求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；（2）根据这次训练比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.第1题图 2.如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则 sin 6cos 6θθ+= .第2题图●参考答案1.（1）由图乙可知P （ξ乙＝7）＝0.2, P (ξ乙＝9）=0.2，P (ξ乙＝10）＝0.35, ∴P (ξ乙=8）=1-0.2-0.2-0.35=0.25.由图甲可知P （ξ甲＝7）＝0.2，P (ξ甲＝8）=0.15，P (ξ甲＝9）＝0.3, ∴P (ξ甲＝10）＝1－0.2-0.15-0.3=0.35.∵P (ξ甲≥9)=0.3+0.35=0.65，P (ξ乙≥9)=0.2+0.35=0.55. ∴甲、乙同时击中9环以上（包括9环）的概率为：P ＝P （ξ甲≥9)³P (ξ乙≥9）=0.65³0.55=0.3575. (2)∵E ξ甲=7³0.2+8³0.15+9³0.3+10³0.35=8.8,E ξ乙=7³0.2+8³0.25+9³0.2+10³0.35=8.7, ∴E ξ甲>E ξ乙，所以估计甲的水平更高. 【评说】条形统计图能直观反映各种数据，具有可比性、规律性.理解图形内容,找出变化趋势和规律,是解答条形图信息的关键.2.从第一图的开始位置变化到第二图时，向量OA 绕点O 旋转了3π-(注意OA 绕点O 是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量OA 绕点O 旋转了32π-，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量绕点O 旋转了-π.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量绕点O 共旋转了-6π，即θ= -6π，因而 sin1)sin()cos(6cos6-=-+-=+ππθθ.【评说】本题要仔细阅读题意，分析图形，把握图形与题意的联系，可从简单情形，特. 第22计数形开门体美神丰●计名释义“有数无形少直观，有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义. “凭直观，图上看；想深入，解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征. “遇式不用愁，请你先画图；看图莫着急，静心来分析”.——这是在讲数形互动. “图形有形象，记数不易忘；解析有内功，看图静变动”.——这是在讲数形互补. “观图见形美，初品数学味；想数内涵丰，数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏. 函数有图形——图象，轨迹有图象——图形，三角、几何就更不必说，集合有韦恩图，逻辑有方框图，组合、二项式有杨辉三角，如此等等.然而，数形结合中的形，仅相对数而言.如几何中最简单的直线，平面等，现实生活中并不存在.这里的形是数的象征，是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”，这是对数形的大误，你怎么不把“想象”写成“想像”呢？●典例示范【例1】若直线y =2a 与函数y =|a x -1|（a>0，a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 .【解答】函数y =|a x-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-0101•x a •x a xx ，其图象由y =|a x |（a >0，a ≠1）的图象下移一个单位得到.如图，当a >1时，直线y =2a 与y =|a x -1|(a >0，a ≠1)的图象仅一个交点；当0<a<1时，当且仅当0<2a <1时，直线y =2a 与y =|a x -1|（a >0，a ≠1)的图象有两个公共点，解得a ∈(0，21).例1题解图【评注】本题也是有数无形，解法是“图形开门，体美神丰”. 【例2】当曲线y =1+24x -与y =k (x -2)+4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（） A .⎪⎭⎫⎝⎛∞+•,125 B .⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125• C .⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0• D .⎥⎦⎤⎝⎛43,31•【解答】方程即y =1+24x -即x 2+(y-1)2= 4 (y ≥1)，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的上半圆；方程y =k (x -2)+4表示过（2，4）且斜率为k 的直线.原题的含义是：当直线与半圆有两个相异交点时，该直线的斜率应在什么范围？如图，直线MB 、MC 与半圆切于B 、C ，半圆的两端依次为A （-2，1）（2，1）. 显然，线段AB 内任意一点与M 的连线与半圆都只一个公共点， ∴k max =k MA =432214=+-，设直线 MC 交直线y =1于N ，令∠DMC =∠DMB =α，∠DNM =β，例2题解图显然tan α=32||||=BM DB ， ∴tan β=tan(90°-2α)= cot2α=12521tan 22tan 1294=⨯-⨯-αα，于是斜率k ∈⎥⎦⎤⎝⎛43,125•，选 B . 【反思】只有准确理解“数”的意义，才能恰当的“图形开门，体美神丰”. 【例3】设实数(x ，y )满足方程x 2+y 2-2x -2y +1=0，则yx 1+的最小值是 . 【解答】43圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心C (1,1)，半径r=1. 如图所示，此圆在第一象限且与两轴相切，为求y x 1+的最小值. 先求yx 1+的最大值. yx 1+表示圆上的点（x,y ）与定点P （-1，0）连线的斜率. 例3题解图 ∴k P A ≤yx 1+≤kPB （其中P A 、PB 为过P 所引圆的切线）. 设∠APC =∠CPB=θ，则tan θ=21, ∴tan ∠BP A =tan 2θ=34)(122121=-⨯. ∴.341min =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y x 从而.431min =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y x 【例4】已知f (x )是定义在（-3，3）上的奇函数，当x ∈(0，3)时，f (x )的图像如图所示，那么不等式f (x )²cos x <0的解集是 .【思考】将f (x )在（-3，3）内的图像补充完整如图所示.可知：当x ∈(-1，0)∪(1，3)时，f (x )>0，为使f (x )²cos x <0，只须cos x <0，得x ∈⎪⎭⎫⎝⎛3,2•π; 当x ∈(-3，-1)∪(0，1)时f (x )<0，为使f (x )²cos x <0，只须cos x >0，得x ∈⎪⎭⎫⎝⎛--1,2•π∪(0,1) ∴f (x )²cos x <0的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,2•π∪(0,1)∪⎪⎭⎫⎝⎛3,2•π.例4题图例4题解图【点评】仅凭图像，无法断定f (x )的解析式，就本题而言，也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定f (x )的正、负区间即足够解题需要，这即是图形的功能.●对应训练1.若不等式x 2-log a x <0在(0，0.5)内恒成立，则a 的取值范围是（） A .161≤a <1 B .0<a <161 C .0<a <1 D .a >1 2.P 是抛物线y=x 2上任意一点，则当P 和直线x+y +2=0上的点距离最小时，P 与该抛物线的准线距离是（）A.91 B.21C.1D.2 3.方程12442--=-+x x x x 的实根共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.若方程)lg()2lg(2a x x --=2有实数解，则a 的取值范围是（）A.(-2，0)∪(0，2)B.［-2，0)∪(0，2］C.(-2，2)D.［-2，2］5.若关于x 的方程2log 2(x+a )=1+log 2x 有且仅有一个实数解，试求实数a 的取值范围.●参考答案1. A 在同一坐标平面内作y 1=x 2，y 2=log a x 的图像，如图，由题意可知必有0<a <1；进而设x =0.5时，y 1=x 2图像上的点为A ，两曲线的交点为P ，要使y 2>y 1在（0，0.5）内恒成立，必须且只需P 点在A 的右边，而P 点与A 点重合时，a =161,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得161≤a <1.第1题解图第2题解图2. B 作出y =x 2及x+y +2=0的图像如图所示，设与x+y +2=0平行的抛物线切线为L ，由图可知，切点P 0到x+y +2=0的距离最小，设P 0（x 0，y 0）, 则L 方程为y=-x+b 与抛物线y ＝x 2联立得：x 0=21-，则y 0=x 20=41. 所以P 0⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21•到抛物线准线y =-41的距离为21. 3. A 设y 1=244x x -+，变形得(x -2)2+y 21=8， ∴y 1的图像是以（2，0）为圆心，22为半径的上半圆，设y 2=12--x x，变形得：(x -1)²(y 2+1)=1，y 2的图像是以直线x =1，y =-1为渐近线的双曲线，如图所示，两曲线仅一个交点，即原方程只有1个实根.第3题解图第4题解图4. A 原方程可变形为lg 22x -=lg(x-a )，设y =22x -，它表示以原点为圆心，2为半径的半圆，如图，设y=x-a (y >0)，它表示斜率为1的射线（不含端点），其中a 的几何意义是射线在x 轴上的端点，如图所示，当 -2≤a <2时，两曲线有交点，又因为x-a ≠1，令x =1+a 代入方程2-x 2-(x-a )2=0，解得a =0或a =-2，所以a ≠0且a ≠-2，故a ∈(-2，0)∪(0，2).5.解析 ∵原方程⎩⎨⎧=+>⇔⎪⎩⎪⎨⎧=+>+>⇔x a x x xa x a x x 2,0200∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程x+a =x 2在x >0时有且仅有一个实数解. 问题转化为直线y=x+a 与曲线y =x 2(x >0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点，由图像易得a =21或a ≤0. 点评本题若用代数方法求解比较繁琐，由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了.第23计探索开门智勇双锋●计名释义所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.过河人还需要两大素质：大智大勇！面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证. ●典例示范【例1】如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1，D 的中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只要满足条件时，就有MN ∥平面B 1BDD 1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.【思考】显然HN ∥BD ，即得HN ∥平面B 1BDD 1，为使点M 在平面EFGH 内运动时总有B 1BDD 1∥M ，只需过HN 作平面，使之平行于平面B 1BDD 1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.【解答】连FH ，当点M 在HF 上运动时，恒有MN ∥平面B 1BDD 1例1题图例1题解图证明如下：连NH ，HF ，BD ，B 1D 1，且平面NHF 交B 1C 1于P . 则NH ∥BD ，HF ∥BB 1，故平面PNHF ∥平面B 1BDD 1. MN 平面PNHF ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.【例2】知f (x )是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x ∈R ，f (2-x )= f (2+x )总成立，问f (1-2x 2)与f (1+2x-x 2)满足什么条件时，才能使-2<x <0成立.【思考】根据已知条件很容易得到f (x )是开口向下且对称轴为x =2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.【解答】由题设知：函数f (x )的图象是开口向下且对称轴为直线x =2的抛物线. 故函数f (x )在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.∵1-2x 2≤1<2，1+2x-x 2=-（x -1）2+2≤2 ∴1-2x 2∈(-∞,2］，1+2x-x 2∈(-∞,2］当f (1-2x 2)< f (1+2x-x 2)时， 1-2x 2<1+2x-x 2 即x 2+2x >0，解得x <-2或x >0，不能使-2<x <0成立当f (1-2x 2)>f (1+2x-x 2)时，1-2x 2>1+2x-x 2, 即x 2+2x <0，解得-2<x <0，符合题意，当f (1-2x 2)=f (1+2x-x 2)时，可得x = -2或0，不能使-2<x <0成立.∴当f (1-2x 2)>f (1+2x-x 2)时，才能使-2<x <0成立.【例3】能否构造一个等比数列{a n }，使其同时满足三个条件:①a 1+a 6=11；②a 3a 4=932;③至少存在一个自然数m ，使32a m -1 ，a 2m ，a m +1+94依次成等差数列.若能，请写出这个数列的通项公式.【解答】先考虑前两个条件.设等比数列{a n }的公比为q .∵a 3a 4=a 1a 6, ∴由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+.2133223193211)1(1932111152156161q a ••q a q a q a a a a a 或即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为a n =31²2n -1或a n =232²⎪⎭⎫ ⎝⎛21n -1. （1）如a n =31²2n -1，设存在题设要求的m ∈N ，则2³21231⎪⎭⎫⎝⎛∙-m =.94231231322+∙+∙∙-m m 化简得：22m -7²2m -8=0⇒2m =8，∴m =3.（2）如a n =232²⎪⎭⎫ ⎝⎛21n -1，设存在m ∈N ,使2²9421232213323221332221+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∙--mm m化简得：4(26-m )2－11²26-m -8=0，这里Δ=112+16³8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在.综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m =3，数列的通项公式为： a n =31²2n -1 . 【例4】将二次函数f (x )=ax 2+bx+c 对应于一次函数g (x )=2ax+b .(1)求f (x )=x 2+2x +1对应的一次函数g (x ). （2）观察后请写出这个对应法则. （3）可以用g (x )的某些性质来研究f (x )的性质：当g (x )>0时，对应的f (x )的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？（5）设g (x )=x ，写出与g (x )对应的f (x )的三个不同的解析式.【思考】本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x )与g (x )是什么关系？我们容易由f ′(x )=2ax+b ，知f ′(x )=g (x )，可见，只有当 g (x )= f ′(x )时，才有可能用g (x )的性质来研究f (x )的某些性质. 【解答】 (1)∵a =1，b =2，∴g (x )=2x +2.（2）①g (x )的一次项系数是f (x )的二次项系数与其次数的积； ②g (x )的常数项等于f (x )的一次项系数.(3)g (x )>0，即2ax+b >0，当a >0时，x >a b 2-，而x =ab 2-是f (x )的对称轴，故这时f (x )是单调增函数；a <0时，x <a b 2-，f (x )仍为单调增函数(前者单调区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-•a b ,2.后者单调区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b •2,). (4)当g (x )<0时，f (x )是单调减函数(请仿照（3）证明之).(5)g (x )=x 时，2ax+b=x ，知a =21，b =0. 只须在f (x )=ax 2+bx+c 中，命a =21，b =0，c 取任意值即可，如f (x )=21x 2+1，f (x )=21x 2+23，f (x )=21x 2+5.【小结】指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若A ⇒B ，则称A 为B 的充分条件，B 为A 的必要条件.●对应训练1.已知圆O ′过定点A （0，P ）(P >0)，圆心O ′在抛物线x 2=2py 上运动，MN 为圆O ′在x 轴上截得的弦，令|AM | =d 1，|AN |=d 2，∠MAN=θ. (1)当O ′运动时，|MN |是否有变化，并证明你的结论；（2）求1221d d d d +的最大值,并求取得最大值的θ的值. 2.如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC=a (a >0)，P A ⊥平面AC ，且P A =1.(1)问BC 边上是否存在Q ，便得PQ ⊥QD ，并说明理由；（2）若BC 边上有且只有一点Q ，使得PQ ⊥QD ，求这时二面角Q —PD —A 的大小. 第2题图3.已知椭圆12222=+by a x (a>b >0)的离心率e =36，过点A （0,-b ）和B （a ,0）的直线与原点距离为23. (Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)已知定点E （-1,0）,若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点，试判断：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由. 4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件： ①原点O 与直线x =1是它的焦点和准线；②被直线x+y =0垂直平分的弦的长等于22，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理。

三十六计(原文+翻译)建议收藏!

NO.1胜战计第一计瞒天过海备周而意怠，常见则不疑，阴在阳之内，不在阳之对。

太阳，太阴。

译：认为准备万分周到，就容易松劲；平时看惯了的，就往往不在怀疑了，秘计隐藏在暴露的事物中，而不是和公开的形式相排斥。

非常公开的往往蕴藏着非常机密的。

第二计围魏救赵共敌不如分敌，敌阳不如敌阴。

译：树敌不可过多，对敌要各个击破，对现在还不忙于消灭的，要隐藏我们的意图。

第三计借刀杀人敌已明，友未定，引友杀敌，不出自力，以损推演。

译：作战的对象已经确定，而朋友的态度还不稳定，要诱导朋友去消灭敌人，避免消耗自己的力量。

第四计以逸待劳困敌之势，不以战，损刚益柔。

译：控制敌方力量发展的命脉来扼杀他，而不采取进攻的形势，这就是“损刚益柔”原理的演用。

第五计趁火打劫敌之害大，就势取利，刚决柔也。

译：敌方的危机很大，就乘机取利，用优势力量攻击软弱的。

第六计声东击西乱志乱萃，不虞“坤下兑上”之象；利其不自主而取之。

译：敌人乱撞瞎碰，摸不清情况，这是《易经》“萃”封上所说的“坤下兑上”的混乱征状。

必须利用敌方失去控制力的时机加以消灭。

第七计无中生有译：诳也，非诳也，实其所诳也。

少阴，太阴，太阳。

无中生有是运用假象，但不是弄假到底。

而是使假象变真象，大小假象，掩护真象。

第八计暗渡陈仓示之以动，利其静而有主，“益动而巽”。

译：故意暴露行动，利用敌方固守的时机，便主动偷袭。

第九计隔岸观火阳乖序乱，阴以待逆，暴戾恣睢，其势自毙。

顺以动豫，豫顺以动。

译：敌人内部分裂，秩序混乱，我便等待他发生暴乱，那时敌人穷凶极恶，翻目仇杀，势必自行灭亡。

我要根据敌人变动作好准备；作好准备之后，还要根据敌人的变动而行动。

第十计笑里藏刀信而安之，阴以图之，备而后动，勿使有变：刚中柔外也。

译：使敌人相信我方，并使其麻痹松懈，我则暗中策划，充分准备，一有机会，立即动手，使他来不及应变，这是暗中厉害，表面柔和的策略。

第十一计李代桃僵势必有损，损阴以益阳。

译：当局势发展有所损失的时候，要舍得局部的损失，以换取全局的优势。

【为学溪精品】数学天机36计

1 3
高
GO高考家长总群235649790
群
1
r nC n −1
1 1 1 1 1 1 + + + +L+ + 2 2 ，则 3 12 30 60 nC n −1 (n + 1)C n
23
= 1 1
1
十载毕业班经验
1 1 1 + = ，其中 x = r x (n + 1)C n (n + 1)C n nC nr−1
书上有路勤为径有径都在为学溪
第1计
●计名释义
芝麻开门
点到成功
●典例示范［例题］（2006 年鄂卷第 15 题）将杨辉三角中的每一个数 C n 都换成分数
r
令 an =
n→∞
lim an =
.
长
［分析］一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意.
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数学破题 36 计
目
第1计第2计第3计第4计第5计第6计第7计第8计第9计第 10 计第 11 计第 12 计第 13 计第 14 计第 15 计第 16 计第 17 计第 18 计第 19 计第 20 计第 21 计第 22 计第 23 计第 24 计第 25 计第 26 计第 27 计第 28 计第 29 计第 30 计第 31 计第 32 计第 33 计第 34 计第 35 计第 36 计芝麻开门西瓜开门诸葛开门关羽开门才子开门勇士开门模特开门小姐开门瞎子开门聋子开门耗子开门小刀开门钥匙开门鲜花开门驿站开门摆渡开门化归开门转换开门模式开门讨论开门图表开门数形开门探索开门杠杆开门函数开门数列开门方程开门三角开门向量开门统计开门解几开门立几开门导数开门参数开门符号开门

三十六计全文及解释

三十六计全文及解释内容解释如下：1、第一计瞒天过海、第二计围魏救赵、第三计借刀杀人第四计以逸待劳、第五计趁火打劫、第六计声东击西第七计无中生有、第八计暗渡陈仓、第九计隔岸观火第十计笑里藏刀、第十一计李代桃僵、第十二计顺手牵羊第十三计打草惊蛇、第十四计借尸还魂、第十五计调虎离山第十六计欲擒故纵、第十七计抛砖引玉、第十八计擒贼擒王第十九计釜底抽薪、第二十计浑水摸鱼、第二十一计金蝉脱壳第二十二计关门捉贼、第二十三计远交近攻、第二十四计假途伐虢第二十五计偷梁换柱、第二十六计指桑骂槐、第二十七计假痴不癫第二十八计上屋抽梯、第二十九计树上开花、第三十计反客为主第三十一计美人计、第三十二计空城计、第三十三计反间计第三十四计苦肉计、第三十五计连环计、第三十六计走为上2、第一计瞒天过海备周而意怠，常见则不疑，阴在阳之内，不在阳之对。

太阳,，太阴。

译:认为准备万分周到，就容易松劲;平时看惯了的，就往往不在怀疑了，秘计隐藏在暴露的事物中，而不是和公开的形式相排斥。

非常公开的往往蕴藏着非常机密的。

第二计围魏救赵共敌不如分敌，敌阳不如敌阴。

译:树敌不可过多，对敌要各个击破，对现在还不忙于消灭的，要隐藏我们的意图。

第三计借刀杀人敌已明，友未定，引友杀敌,不出自力，以损推演。

译:作战的对象已经确定，而朋友的态度还不稳定，要诱导朋友去消灭敌人，避免消耗自己的力量。

第四计以逸待劳困敌之势，不以战，损刚益柔。

译:控制敌方力量发展的命脉来扼杀他，而不采取进攻的形势这就是'”损刚益第五计趁火打劫敌之害大，就势取利，刚决柔也。

译:敌方的危机很大，就乘机取利，用优势力量攻击软弱的。

第六计声东击西乱志乱萃，不虞“坤下兑上”之象;利其不自主而取之。

译:敌人乱撞瞎碰，摸不清情况，这是《易经》"萃”封.上所说的“坤下兑上”的第七计无中生有译:诳也，非诳也，实其所逛也。

少阴,太阴，太阳。

无中生有是运用假象，但不是弄假到底。

而是使假象变真象，大小假象，掩护真象。

《三十六计》----第19计釜底抽薪（混战计）

《三十六计》----第19计釜底抽薪（混战计）第十九计釜底抽薪不敌其力，而消其势，兑下乾上之象。

译：力量上不能战胜敌人，可以瓦解他的气势，这就是《易经》兑下乾上的《履卦》上所说的“柔履刚”的办法。

引申：从锅底抽掉柴火。

比喻从根本上解决问题。

釜底抽薪且莫迟，大夫献美验真知。

君王沉色娇娇女，孔子周游祸及池。

釜底抽薪计。

兵不血刃的人才离间战！结句斩绝，是为愤极语。

寓愤慨于无奈之中，个性中人。

既用美人计扼至了鲁国大治，又成功的气走了眼中钉孔圣人，不的不承认齐景公用美女“抽薪”的这一把火抽的漂亮！为圣人不值，鲁君自毁长城，标准的是那扶不起的阿斗！19计釜底抽薪不敌其力，而消其势，兑下乾上之象。

釜底抽薪：从锅底抽掉柴火。

比喻从根本上解决问题。

釜度抽薪孙膑告诉田忌，只要揭穿假郊师的真实的身分，就如釜底抽薪一亲，马陵这股逆火不扑自灭。

田忌回到齐都，将马陵的情况上奏齐宣王，齐宣王请太后出面，揭穿假郊师。

太后一口咬定郊师不会有假。

钟离春微服来到魏国，找到钟离秋，请她打听假郊师的真实身份，并说她请齐王下旨，让孙膑娶钟离秋为妻，钟离秋同意帮助姐姐。

太后来到马陵城下，向城头的假郊师询问郊师儿时之事，假郊师无法回答，太后方知这个郊师是假。

假郊师见事败，射伤太后。

马陵的叛党，得知郊师是假，纷纷逃离马陵。

第十九计：釜底抽薪【原文】不敌其力①，而消其势②，兑下乾上之象③。

【注释】①不敌其力：敌，动词，攻打。

力，最坚强的部位。

②而消其势：势，气势—。

③兑下乾上之象：《易经》六十四卦中，《履》卦为“兑下乾上”，上卦为乾为天.下卦为兑为泽。

又，兑为阴卦，为柔;乾为阳卦，为刚。

兑在下，从循环关系和规律上说，下必冲上，于是出现“柔克刚”之象。

此计正是运用此象推理衍之，喻我取此计可胜强敌。

【按语】古人按语说：水沸者，力也，火之力也，阳中之阳也，锐不可当;薪者，火之魄也，即力之势也，阴中之阴也，近而无害;故力不可当而势犹可消。

尉缭子曰：“气实则斗，气夺则走。

记忆宫殿：利用数字密码巧背《三十六计》目录

记忆宫殿：利用数字密码巧背《三十六计》目录记忆宫殿：圆周率小数点后100位数字，你能背下来吗？前几天背下了圆周率小数点后100位数字，今天复习了一遍，一字不错，给自己点个赞今天还是利用上次使用的数字密码，背一下《三十六计》的目录吧先看一下都有哪些：1 瞒天过海10 笑里藏刀19 釜底抽薪28 上屋抽梯2 围魏救赵11 李代桃僵20 浑水摸鱼29 树上开花3 借刀杀人12 顺手牵羊21 金蝉脱壳30 反客为主4 以逸待劳13 打草惊蛇22 关门捉贼31 美人计5 趁火打劫14 借尸还魂23 远交近攻32 空城计6 声东击西15 调虎离山24 假道伐虢33 反间计7 无中生有16 欲擒故纵25 偷梁换柱34 苦肉计8 暗度陈仓17 抛砖引玉26 指桑骂槐35 连环计9 隔岸观火18 擒贼擒王27 假痴不癜36 走为上利用好数字能量密码利用数字编故事：1.海面上飘荡着无数支蜡烛（1），瞒着天游过了大海。

瞒天过海2.鹅（2）围着围裙去救赵本山。

围魏救赵3.从耳朵（3）里拿出一把刀把别人杀了。

借刀杀人4.海上飘着帆船（4），海边的我倚在椅子上面代替了劳动。

以逸待劳5.有钩子（5）的海盗，趁着火了来打劫。

趁火打劫6.有人拿钓子（6）不断地敲来敲去，声音从东边传来，实际上敲击的是西边。

声东击西7.原本没有的东西，用镰刀（7）不断的刨，刨出来了东西。

无中生有8.戴着眼镜（8）夜晚渡过了粮仓。

暗渡陈仓9.正吹着哨子（9），看到对面着火了。

隔岸观火10.打棒球⚾️（10）打到了一个正在大笑的人，牙齿都变成了刀。

笑里藏刀11.爬梯子（11）去摘桃子，却摘到了李子。

李代桃僵12.坐在椅儿（12）上顺手牵了一只羊。

13.医生（13）在草地里给蛇打针。

打草惊蛇14.拿着钥匙（14）开棺材⚾️，里面的尸体一下就活过来了。

借尸还魂。

15.鹦鹉（15）叨着一只大老虎离开了山⚾️。

调虎离山16.石榴（16）姐戴着玉佩、弹着琴敲着鼓，纵身一跃。

三十六计：釜底抽薪（第十九计）原文注解及翻译【古文典籍】

三十六计：釜底抽薪(第十九计)原文注解及翻译【古文典籍】
从锅底抽掉柴火。

比喻从根本上解决问题。

【原典】
不敌其力①，而消其势②，兑下乾上之象③。

【注释】
①不敌其力：敌，动词，攻打。

力，最坚强的部位。

②而消其势：势，气势。

③兑下乾上之象：《易经》六十四卦中，《履》卦为“兑下乾上”，上卦为乾为天．下卦为兑为泽。

又，兑为阴卦，为柔；乾为阳卦，为刚。

兑在下，从循环关系和规律上说，下必冲上，于是出现“柔克刚”之象。

此计正是运用此象推理衍之，喻我取此计可胜强敌。

【按语】
水沸者，力也，火之力也，阳中之阳也，锐不可当；薪者，火之魄也，即力之势也，阴中之阴也，近而无害；故力不可当而势犹可消。

尉缭子曰：“气实则斗，气夺则走。

”面夺气之法，则在攻心，昔吴汉为大司马，有寇夜攻汉营，军中惊扰，汉坚卧不动，军中闻汉不动，有倾乃定。

乃选精兵反击，大破之：此即不直当其力而扑消其势也。

宋薛长儒为汉、湖、滑三州通判，驻汉州。

州兵数百叛，开营门，谋杀知州、兵马监押，烧营以为乱。

有来告者，知州、监押皆不敢出。

长儒挺身徒步，自坏垣入其营中，以福祸语乱卒日：“汝辈皆有父母妻子，何故作此？叛者立于左，胁从者立于右！”于是，不与谋者数百人立于右；独主谋者十三人突门而出，散于诸村野，寻捕获。

时谓非长儒，则一城涂炭矣！此即攻心夺气之用也。

或日：敌与敌对，捣强敌之虚以败其将成之功也。

【故事】
曹操奇兵袭乌巢。

三十六计

当你想到的时候，就想到树，想到ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的时候，会想到你用树瞒着天上的敌机，安全度过大海，就会想到“瞒天过海”。
数字1代表树。你要渡过一片大海，打算坐船过去，但天上有很多敌方的飞机在监视你，如果你的船在海上被发现，敌人就会用炮弹来轰炸你。这时你想了一个好办法，砍了很多树装饰在你的船上，让船看起来像一棵大树。趁着敌机以为你是一棵大树的时候，偷偷地度过了大海。
第五计趁火打劫数字5代表钩子。想象有一间珠宝店失火了，一个贼趁着别人的不注意的时候,用一只系着长绳的钩子.小心喽,有人拿着钩子”趁火打劫”！
第六计声东击西数字6代表勺子．想象你两只手上各拿着一把大勺子，大声朝东边喊叫，手上的勺子还在敲着一大碗稀饭．当你想到6 的时候，你会想到勺子，你拿着勺子”声东击西（稀）”．
第四计以逸待劳指作战时不首先出击，养精蓄锐，以对付从远道来的疲劳的敌人。
三国时，吴国杀了关羽，刘备怒不可遏，亲自率领七十万大军伐吴。蜀军从长江上游顺流进击，居高临下，势如破竹。举兵东下，连胜十余阵，锐气正盛，直至彝陵，哮亭一带，深入吴国腹地五六百里。孙权命青年将领陆逊为大都督，率五万人迎战。陆逊深谙兵法，正确地分析了形势，认为刘备锐气始盛，并且居高临下，吴军难以进攻。于是决定实行战略退却，以观其变。吴军完全撤出山地，这样，蜀军在五六百里的山地一带难以展开，反而处于被动地位，欲战不能，兵疲意阻。相持半年，蜀军斗志松懈。陆逊看到蜀军战线绵延数百里，首尾难顾，在山林安营扎寨，犯了兵家之忌。时机成熟，陆逊下令全面反攻，打得蜀军措手不及。陆逊—把火，烧毁蜀军七百里连营，蜀军大乱，伤亡惨重，慌忙撤退。陆逊创造了战争史上以少胜多、后发制人的著名战例。
第十计笑里藏刀数字10是棒球。当你的对手邀请你打棒球的时候，他拿着球棒站在你的对面，朝着你阴森森地笑。你要小心了，他很可能打过来的不是棒球，而是一把飞刀。当你想到10的时候，会想到棒球。小心喽，有人借着打棒球——笑里藏刀！

《三十六计》完整版精解（下），活学活用，人生不再难

《三十六计》完整版精解（下），活学活用，人生不再难一、《三十六计》简介“三十六计”一语，先于著书之年，语源可考自南朝宋将檀道济（？—公元436年），据《南齐书·王敬则传》：“檀公三十六策，走为上计，汝父子唯应走耳。

”意为败局已定，无可挽回，唯有退却，方是上策。

此语后人赓相沿用，宋代惠洪《冷斋夜话》：“三十六计，走为上计。

”。

及明末清初，引用此语的人更多。

于是有心人采集群书，编撰成《三十六计》。

但此书为何时何人所撰已难确考。

原书按计名排列，共分六套，即胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计。

前三套是处于优势所用之计，后三套是处于劣势所用之计。

每套各包含六计，总共三十六计。

其中每计名称后的解说，均系依据《易经》中的阴阳变化之理及古代兵家刚柔、奇正、攻防、彼己、虚实、主客等对立关系相互转化的思想推演而成，含有朴素的军事辩证法的因素。

解说后的按语，多引证宋代以前的战例和孙武、吴起、尉缭子等兵家的精辟语句。

全书还有总说和跋。

三十六计是我国古代兵家计谋的总结和军事谋略学的宝贵遗产，为便于人们熟记这三十六条妙计，有位学者在三十六计中每取一字，依序组成一首诗：金玉檀公策，借以擒劫贼，鱼蛇海间笑，羊虎桃桑隔，树暗走痴故，釜空苦远客，屋梁有美尸，击魏连伐虢。

全诗除了檀公策外，每字包含了三十六计中的一计，依序为：金蝉脱壳、抛砖引玉、借刀杀人、以逸待劳、擒贼擒王、趁火打劫、关门捉贼、浑水摸鱼、打草惊蛇、瞒天过海、反间计、笑里藏刀、顺手牵羊、调虎离山、李代桃僵、指桑骂槐、隔岸观火、树上开花、暗渡陈仓、走为上、假痴不癫、欲擒故纵、釜底抽薪、空城计、苦肉计、远交近攻、反客为主、上屋抽梯、偷梁换柱、无中生有、美人计、借尸还魂、声东击西、围魏救赵、连环计、假道伐虢。

二、《三十六计》总说【原典】六六三十六，数中有术①，术中有数。

阴阳燮理②，机在其中。

机不可设，设则不中③。

【注释】①数中有术：数目里包含着谋略。

②阴阳燮理：阴阳相互协调的道理。

《三十六计》全文

《三十六计》全文《三十六计》或称三十六策，是指中国古代三十六个兵法策略，语源于南北朝，成书于明清。

它是根据中国古代军事思想和丰富的斗争经验总结而成的兵书，是中华民族悠久非物质文化遗产之一。

'三十六计'一语，先于著书之年，语源可考自南朝宋将檀道济(?-公元436年)，据《南齐书·王敬则传》:'檀公三十六策，走为上计，汝父子唯应走耳。

'意为败局已定，无可挽回，唯有退却，方是上策。

此语后人赓相沿用，宋代惠洪《冷斋夜话》:'三十六计，走为上计。

'。

及明末清初，引用此语的人更多。

于是有心人采集群书，编撰成《三十六计》。

但此书为何时何人所撰已难确考。

原书按计名排列，共分六套，即胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计。

前三套是处于优势所用之计，后三套是处于劣势所用之计。

每套各包含六计，总共三十六计。

其中每计名称后的解说，均系依据《易经》中的阴阳变化之理及古代兵家刚柔、奇正、攻防、彼己、虚实、主客等对立关系相互转化的思想推演而成，含有朴素的军事辩证法的因素。

解说后的按语，多引证宋代以前的战例和孙武、吴起、尉缭子等兵家的精辟语句。

全书还有总说和跋。

三十六计是中国古代兵家计谋的总结和军事谋略学的宝贵遗产，为便于人们熟记这三十六条妙计，有位学者在三十六计中每取一字，依序组成一首诗:金玉檀公策，借以擒劫贼，鱼蛇海间笑，羊虎桃桑隔，树暗走痴故，釜空苦远客，屋梁有美尸，击魏连伐虢。

全诗除了檀公策外，每字包含了三十六计中的一计，依序为:金蝉脱壳、抛砖引玉、借刀杀人、以逸待劳、擒贼擒王、趁火打劫、关门捉贼、浑水摸鱼、打草惊蛇、瞒天过海、反间计、笑里藏刀、顺手牵羊、调虎离山、李代桃僵、指桑骂槐、隔岸观火、树上开花、暗渡陈仓、走为上、假痴不癫、欲擒故纵、釜底抽薪、空城计、苦肉计、远交近攻、反客为主、上屋抽梯、偷梁换柱、无中生有、美人计、借尸还魂、声东击西、围魏救赵、连环计、假道伐虢。

数字密码快速记忆三十六计

数字密码快速记忆三十六计数字密码快速记忆三十六计1、瞒天过海：数字密码1代表树。

你要度过一片大海，打算坐船过往，但天上有很多敌方的飞机在监视你，假如你的船在海上被发现，敌人就会用炮弹来轰炸你。

这时你想了一个好办法，砍了很多树装饰在你的船上，让船看起来像一棵大树。

趁着敌机以为你是一棵大树的时候，偷偷地度过了大海。

当你想到的时候，就想到树，想到树的时候，会想到你用树瞒着天上的敌机，安全度过大海，就会想到“瞒天过海”。

2、围魏救赵：数字密码2代表的是什么?是鸭子。

请想象一下，有一大群鸭子，并且都是白色的鸭子，里三层，外三层地团团围住一座城堡。

这座城堡叫做魏国，由于魏国把赵国公主给抢走了，赵国那些勇敢的鸭子为了救公主，把魏国给围了起来，要求他们放出公主。

当你想到2的时候，会想到鸭子，鸭子在做什么呢?它们在“围魏救赵”。

3、借刀杀人：数字密码3代表耳朵。

在战场上，有一个英雄借来了一把刀，去砍他的敌人。

但没想到，他只把对方的耳光砍掉了。

有人借刀杀人却只砍了耳朵。

想到3的时候会想到耳朵，耳朵和借刀杀人有何联系呢?你一定能想到。

4、以逸待劳：数字密码4是红旗。

你拿了一面红旗，站在一座山的山顶上，大声对山脚下的朋友喊道：“你们谁先到山顶，我这面红旗就奖给谁!”说完后，你很悠闲地坐在山顶，等着他们喘着粗气跑上来。

当你想到4的时候就会想到红旗，你拿着红旗“以逸待劳”。

5、趁火打劫：数字密码5代表钩子。

想象有一间珠宝店失火了，一个贼趁着别人都在救火的时候，用一只系着长绳的钩子。

小心喽,有人拿着钩子"趁火打劫"!6、声东击西：数字密码6代表勺子。

想象你手上拿着一把很有魔力的大勺子，当你在西边敲的时候，竟然在东边发出了声音。

当你想到6的时候，你会想到有着魔力的勺子，你拿着勺子"声东击西"。

7、无中生有：数字密码7代表拐杖。

有个魔术师，忽然在空荡荡的手中变出了一根拐杖，这真是"无中生有"呀。

孙子兵法三十六计全文和解释

孙子兵法三十六计全文和解释第一套胜战计第一计瞒天过海第二计围魏救赵第三计借刀杀人第四计以逸待劳第五计趁火打劫第六计声东击西第二套敌战计第七计无中生有第八计暗度陈仓第九计隔岸观火第十计笑里藏刀第十一计李代桃僵第十二计顺手牵羊第三套攻战计第十三计打草惊蛇第十四计借尸还魂第十五计调虎离山第十六计欲擒故纵第十七计抛砖引玉第十八计擒贼擒王第四套混战计第十九计釜底抽薪第二十计混水摸鱼第二十一计金蝉脱壳第二十二计关门捉贼第二十三计远交近攻第二十四计假途伐虢第五套并战计第二十五计偷梁换柱第二十六计指桑骂槐第二十七计假痴不颠第二十八计上屋抽梯第二十九计树上开花第三十计反客为主第六套败战计第三十一计美人计第三十二计空城计第三十三计反间计第三十四计苦肉计第三十五计连环计第三十六计走为上三十六计是我国古代兵家计谋的总结和军事谋略学的宝贵遗产，为便于人们熟记这三十六条妙计，有位学者在三十六计中每取一字，依序组成一首诗：金玉檀公策，借以擒劫贼，鱼蛇海间笑，羊虎桃桑隔，树暗走痴故，釜空苦远客，屋梁有美尸，击魏连伐虢。

全诗除了檀公策外，每字包含了三十六计中的一计，依序为：金蝉脱壳、抛砖引玉、借刀杀人、以逸待劳、擒贼擒王、趁火打劫、关门捉贼、浑水摸鱼、打草惊蛇、瞒天过海、反间计、笑里藏刀、顺手牵羊、调虎离山、李代桃僵、指桑骂槐、隔岸观火、树上开花、暗渡陈仓、走为上、假痴不癫、欲擒故纵、釜底抽薪、空城计、苦肉计、远交近攻、反客为主、上屋抽梯、偷梁换柱、无中生有、美人计、借尸还魂、声东击西、围魏救赵、连环计、假道伐虢。

【原典】六六三十六，数中有术，术中有数。

阴阳燮理，机在其中。

机不可设，设则不中。

【按语】解语重数不重理。

盖里，术语自明；而数，则在言外。

若徒知术之术，原在事理之中，人情之内。

倘事出不经，则诡异立见，诧事惑俗，而机谋泄矣。

第一套胜战计处于绝对优势地位之计谋。

君御臣、大国御小国之术也。

亢龙有悔。

第一计瞒天过海本指光天化日之下不让天知道就过了大海。

第19计模式开门请君入瓮

第19计模式开门请君入瓮●计名释义数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力.数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.● 典例示范【例1】实数x ，y 满足x 2+(y -1)2=1，则使不等式x+y+c ≥0恒成立的实数c 的取值范围是（） A .［-12-，2-1］ B .［2-1，+∞) C .( 2-+1，2-1) D .(-∞，2--1)【分析】容易看出：x 2+(y -1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c ≥0表示直线y=-x-c 即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x ，y ）既在直线y=-x-c 上方，又在圆x 2+(y -1)2=1上运动时，实数c 应满足什么条件？【解答】如图，斜率为-1的直线 y=-x-c 切圆x 2+(y -1)2=1于A ，B ，交y 轴于M ，N .连AB ，则AB 过圆心C （1，0）.等腰直角三角形MCB 中，∣CB ∣=1， ∴∣CM ∣=2，设M （0，-c ），必-c =1-2，得M （0，1-2）.当且仅当-c ≤1-2时，圆x 2+(y -1)2=1 例1题解图上的点在直线y=-x-c 上或其上方.于是c ≥2-1，选 B .【例2】正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++2222222224331531x zx z z y y xy x ，则xy +2yz +3xz 的值是 .【分析】从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.【解答】将原方程组改写如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=︒∙-+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=︒∙∙-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222222224120cos 23315150cos 31231xz z x z y y x y x ，构造如图的直角三角形ABC ，使AB =5， AC =4，BC =3.又在△ABC 内取一点P ，使∠APB =150°，∠APC =120°， ∠BPC =90°.显然符合题设条件. ∵S △APB +S △BPC +S △CPA =S △ABC ，而S △APB =21x ·31y ·sin150=341xy ，S △APC =21xz ·sin120°=43xz ，例2题解图S △BPC =21z ·31y =321yz ，S △ABC =6. ∴341xy +43xz +321yz =6，∴xy +2yz +3xz =24.3.【例3】某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a 个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x 个标段的新路和n 个道路交叉口，n 与x 满足关系n=ax+b ，其中b 为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k 万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n 越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=)1(21β+.(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式；（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的 25％，求新建的x 个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p 的取值范围.(Ⅲ)当b =4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p 最高时，问原有道路标段为多少个？【解答】（Ⅰ）新建x 个标段，则应建n=ax+b 个道口，建x 个标段需kx 万元，建（ax+b ）个道口需y=k β(ax+b )(万元). (Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］, ∴0.05≤)1(21β+≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,又p =ykx =)4()41(41)(2b a ab a a a b ax x+=+∙=+βββ.∵p >0,β>0，∴ba a42+>0，当β∈［4,9］时，β1∈［91，41］，所求p 的范围是：)4(4)4(922b a a p b a a +≤≤+.(Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大，故β=9，又b =4. ∴p =721162911691)16(92=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a a a a ，当且仅当a =a16. a >0，即a =4时，造价比p =721为最高.∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.【点评】本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n 、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.【例4】你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小? 【思考】此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来. 【解答】设扇形OAB 的半径为R ，中心角为2α. (1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，则S □CDEF ＝DE ·EF =Rsin θ·ααθα2sin 22sin )2sin(2RR =-·［cos2(α-θ)-cos2α］当2(α-θ)=0，即θ=α时，S □CDEF 有最大值22Rtan α.（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF ＝OE ＝R cos θ，则S □CDEO =DE · EF =R sin θ·R cos θ=22Rsin2θ，当2θ=2π即θ=4π=α，S □CDEO 有最大值22R.(3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF 为扇形的内接矩形，取B A的中点M ，连结OM ，则∠BOM =α,∠DEO =π-α，令∠DOM =θ，则矩形面积S=CD ·DE =2R ·sin θααθαθαθαsin sin )sin(sin 2sin )sin(22RR R =-=-［cos (2θ-α)-cos α］，当cos(2θ-α)=1.即θ=2α时，S max =2tansin )cos 1(22αθαR R =- .此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF ，再沿其周界切开即可.例4题解图●对应训练1.已知a<b<c ，求证：a 2b +b 2c+c 2a <ab 2+bc 2+ca 2. 2.已知a ，b ，c ，d 为实数，求证：.)()(222222d b c a d c b a ++±≥+++3.设n 是大于1的自然数，求证：.2121211511311+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n4.若a ，b ≠0，且a 2+b 2=1，求证：.91122≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a5.α,β,γ均为锐角，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，求证：tan αtan βtan γ≤.426.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x -221x (万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（百台）.(1)把利润l 表示为产量x 的函数L (x); (2)年产量为多少时，企业所得利润得大？（3）年产量为多少时，企业才不会亏本？7.在边长为5cm ，6cm ，7cm 的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm 2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论 ●参考答案1．原题即证：a 2b +b 2c +c 2a -ab 2-bc 2-ca 2<0或a 2(b-c )+a (c 2-b 2)+bc (b-c )<0.设f (a )=a 2(b-c )+a (c 2-b 2)+bc (b-c ) (a<b<c ),这里b-c <0，且Δ=(b+c )2(b-c )2-4bc (b-c )2=(b-c )4>0. ∴f (a )的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x =2c b +，而2c b +>b>a ，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-2,c b •上递增， ∴f (a )<f (b )，但f (b )=0, ∴f (a )<0，故a 2b +b 2c +c 2a <ab 2+bc 2+ca 2.2 如图所示，在直角坐标系中, 设有A (a ,b )，B (c ,d )两点，连接AO ，OB ，显然|OA |+|OB |≥|AB |(当A 、O 、B 共线时等式成立). ∴222222)()(d b c a dc b a -+-≥+++若将点B 的坐标改为 (-c ,-d )，则有：222222)()(d b c a dc ba +++≥+++. 第2题解图3 设⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1211511311111n A , 即122563412-∙∙=n n A, 则nn A 212674523+∙∙∙∙>.两式相乘：A 2>2n +1，∴A =121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 2.即2121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n .4.在坐标平面内设有两点A (a ，b ), B ⎪⎭⎫⎝⎛--b •a1,1，则|AB |=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a设过A 的直线l ：ax+by -1=0.∵a ·a +b ·b -1=a 2+b 2-1=0, ∴点A (a ，b )符合条件a 2+b 2=1. 作BC ⊥l 于C ，则|AB |≥|BC | （当直线l ⊥AB 时等式成立）.∵|BC |=,3|111|22=+-⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ba b b a a 第4题解图∴2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥3. 即2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥9.5 如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，连接BD 1，设∠BD 1B 1=α, ∠BD 1A =β，∠BD 1C =γ.∵BD 1=222c b a ++，B 1D 1=22b a +, AD 1=22c b +, CD 1=22a c +，∴满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，且α,β,γ均为锐角. 第5题解图于是 tan α·tan β·tan γ=222222ca b cb a ba c +∙+∙+≤221222=∙∙acbc ab abc故 tan α·tan β·tan γ≤.426.（1）年产量在500台以内（即0≤x ≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x >5）.只能售出500台，x (百台)的生产成本为C (x )=0.25x +0.5(万元). 故利润函数L (x )=R (x )-C (x ). 当0≤x ≤5时，L (x )=(5x -21x 2)-(0.25x +0.5)= -21x 2+4.75x -0.5.当x >5时，由于只能售出500台，∴L (x )=(5×5-21×52)-(0.5+0.25x )=12-0.25x .于是⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-≤≤⋅-⋅+=)5(25012)50(50754211)(2x x •x x x x L .(2)为使利润最大，须求L (x )的最大值，显然x >5时不可取（会造成积压）.当0≤x ≤5时，∵L ′(x )=-x +4.75，命L ′(x )=0，得x =4.75，L (x )的图像为开口向下的抛物线，∴当x =4.75时，［L (x )］max =3234521419212=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯ =10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大.(3)为使企业不亏本，必须L (x )≥0.显然，0≤x ≤5时，应使-21x 2+4.75x -0.5≥0.即2x 2-19x +2≤0，解得0.11≤x ≤14，综合得：0.11≤x ≤5.x >5时，应使12-0.25x ≥0，得5<x ≤48.于是，为使企业不亏本，产量应在11台至4800台之间. 7.可以办到.如图所示，证明如下：设△ABC 内切圆半径为r ，则 S △ABC =21(5+6+7)r=9r ①∵cos B =51652493625=∙∙-+∴sin B =6522511=-∴S △ABC =21·5·6·652=66（cm 2） ② 第7题解图比较①，②：9r =66得r =632（cm ），于是 S ⊙O =338383622⨯>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=8（cm ）2.。

三十六计第十九计釜底抽薪原文注释按语译文原典解读

三十六计第十九计釜底抽薪西汉·刘安《淮南子·精神训》:“故以汤止沸，沸乃不止，诚知其本，则去火而已矣。

”北齐·魏收《为侯景叛移梁朝文》:“抽薪止沸，剪草除根。

"清·吴敬梓《儒林外史》:“如今有个道理，是釜底抽薪之法。

”原文不敌其力，而消其势，兑下乾上之象。

注释①不敌其力:敌，攻打。

力，力量全盛的时期。

②而消其势:消，根除。

势，势头。

③兑下乾上之象:本句出自《易经》“履”卦，履卦为“兑下乾上”，上卦为卦乾代表天，下卦为兑卦代表泽。

正是以柔克刚之象。

按语水沸者，力也，火之力也，阳中之阳也，锐不可当;薪者，火之魄也，即力之势也，阴中之阴也，近而无害;故力不可当而势犹可消。

尉缭子曰:“气实则斗，气夺则走。

”而夺气之法，则在攻心。

昔吴汉为大司马，尝有寇夜攻汉营，军中惊扰，汉坚卧不动，军中闻汉不动，有顷乃定。

乃选精兵反击，大破之。

此即不直当其力，而扑消其势也。

宋薛长儒为汉、湖、滑三州通判，驻汉州。

州兵数百叛，开营门，谋杀知州、兵马监押烧营以为乱。

有来告者，知州、监押皆不敢出。

长儒挺身出营，谕之曰:“汝辈皆有父母妻子，何故作此?叛者立于左，胁从者立于右。

”于是，不与谋者数百人立于右，独主谋者十三人突门而出，散于诸村野，寻捕获。

时谓非长儒，则一城涂炭矣。

此即攻心夺气之用也。

或曰:敌与敌对，捣强敌之虚，以败其将成之功也。

译文不要主动迎击敌人的锋芒，要找到办法彻底浇灭对手的胜势，这就是以柔克刚的办法。

锅里水沸腾靠的是火的力量。

火的力量是阳中之阳，可以说是锐不可当。

薪柴是火的来源，沸水和烈火是不可靠近的，而薪柴却是可以靠近的。

因此说，尽管敌人势大不好阻挡，但是只要避其锋芒，总有办法消灭他的气焰。

尉缭子说:“士气旺盛时就投入战斗;士气消退就应该退避三舍。

”削弱敌人最好方法是攻心战。

东汉初年，吴汉任大司马，曾有贼寇夜袭汉营，营中一片混乱，而吴汉却安然躺在床上不为所动，士兵们听闻主帅镇定不动，很快也就安定下来。

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