人教版初中数学《第25章染色问题》竞赛专题复习含答案

(a)
(b)
解析 如图 ( b )涂色．
若有一种剪法能剪出七个相邻两个小正方形组成的矩形，
则每个矩形一定由一个涂色小正方
形和一个不涂色小正方形构成．因此，应该有七个涂色小正方形和七个不涂色的小正方形．
但图中有八个涂色小正方形，六个不涂色小正方形，因此适合题意的剪法不存在．
25.1.9★★★在 8× 8 的国际象棋棋盘中的每个方格都填上一个整数， 现任挑选 3× 3 或 4× 4 的正方形，将其中每个数加 1，称为一次操作，问是否能经过有限次操作，一定可以让方格 中的所有整数均被 10 整除 ?
6 个相
邻的球其标数之和为 0 ．记从第 i 个球起的 6 个数字和为 Si ，于是 i 可取 1，2， , ， 19．
易知 S1 的全部取值为 6 、 4 、 2 、0、2、4、6，且 Si 1 Si 0 或 2(可以认为以 2 或 2 、
0 的步长“连续”变化 )．由 S1 S7 S13 S19 0 ，知若四数中有 0，则结论成立，否则必有 正有负．不妨设 Si 0 ， Sj 0 ， i ， j {1 ，7，13，19} ，于是必存在一个 k ， k 在 i 与 j 之
线段 Ak Ak 1 ，所以， A 和 B 之间的标准线段的个数是奇数．
25． 1． 4★★能否用面积为 1 4的一些长方块将 10 10 的棋盘覆盖 ? 解析 如图中标上 1～ 4 这些数，显然每个 1× 4 的长方块各占 1、 2、 3、4 一个，于是如 果可以覆盖，则 1、2、 3、 4 应一样多，但 1 有 25 个， 2 则有 26 个，矛盾 ! 因此不能覆盖．
A、 B 不同色，则 A0 必与 Ak 同色，不妨设 A0 与 Ak 均为红色，那么在 A0 和 Ak 之间若有一红 蓝的标准
线段，必有一蓝红的标准线段与之对应；否则
Ak 不能为红色，所以在 A0 和 Ak 之间，红蓝和
蓝红的标准线段就成对出现，即 A0 和 Ak 之间的标准线段的个数是偶数，加上最后一个标准
由染色规则知，其中至多有 9 个黑点．
如果黑点不多于 8 个，则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色．如果黑点恰有
9 个，
那么由
染色规则知， 它们只能是一黑两白相间排列， 其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白
色．
25． 1．2★★某班有 50 位学生，男女各占一半，他们围成一圈席地而坐开营火晚会．求证： 必能找到一位两旁都是女生的学生．
1234123512 2341234123 3412341234 4123412341 1234123412 2341234123 3412341234
4123412341 1234123412 2341234123
25.1.5★★ 12 个红球和 12 个蓝球排成一行，证明：必有相邻的 6 个球三红三蓝． 解析 将这些球标上数字，红球标 1，而蓝球则标上 1，于是问题变为：必定有
体表示一问房间 ) ，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相
邻的小正方体染上不同的颜色．显然，在 27 个小正方体中， 14 个是黑的， 13 个是白的．甲
虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色．故它走
26 步，应该经过
14 个白色的小正方体、 13 个黑色的小正方体． 因此在 26 步中至少有一个小正方体， 甲虫进 去过两次． 由此可见， 如果要求甲虫到每一个小房间只去一次， 那么甲虫不能走遍所有的小
间，Hale Waihona Puke BaiduSk 0 ．
25． 1． 6★如图，把正方体形的房子分割成 27 个相等的小房间，每相邻 (即有公共面 )两个 房间都有门相通， 在中心的那个小正方体中有一只甲虫， 甲虫能从每个小房问走到与它相邻
的小房间中的任何一问去． 如果要求甲虫只能走到每个小房间一次， 那么甲虫能走遍所有的
小房间吗 ?
解析 甲虫不能走遍所有的小房间． 我们如右图将正方体分割成 27 个小正方体 (每个小正方
盾．故命题得证．
25.1.3★在线段 AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色，在线段中间插入 在各个分
n 个分点，
点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为
n 1 个不重叠的小线段，这些小线段的
两端颜色不同者叫做标准线段．求证：标准线段的个数是奇数．
设最后一个标准线段为 Ak Ak 1 ．若 Ak A0 ，则仅有一个标准线段， 命题显然成立； 若 An Ak ， 由
第 25 章 染色问题
25.1.1★★圆周上等间距地分布着 27 个点，它们被分别染为黑色或白色．今知其中任何
2
个黑点之间
至少间隔 2 个点．证明：从中可以找到 3 个白点，它们形成等边三角形的 3 个顶点．
解析 我们将 27 个点依次编号，易知它们一共可以形成 9 个正三角形
(1 ， 10， 19)， (2，11，20)， , ， (9， 18， 27)．
房间．
25.1.7★★ 3 行 9 列共 27 个小方格，将每个小方格涂上红色或蓝色．试证：无论如何涂法， 其中至少有两列，它们的涂色方式完全一样．
解析 第一行的 9 个方格中必有 5 格同色 (抽屉原理 )，不妨设这 5 个方格位于前五个位置，
且都为红色．
下面考虑前五列构成的 3× 5 小矩形．第二行的五格中必有 3 格是同色的，不妨设这三格位
于前三个位置．
接着考虑前三列构成的 3× 3 方阵，该方阵前两行的每列完全一样．对第三行，用两种颜色
染色时，三列中必有两列同色，不妨设是前两列．此时前两列的涂色方式完全一样．
红
红
红
红
红
A
A
A
b
b
25.1.8★★如图 ( a )，是由 14 个大小相同的正方形组成的图形，证明：不论如何用剪刀沿着 图中直线进行剪裁，总剪不出七个由相邻两个小正方形组成的矩形来．
解析 将 50 个座位相间地涂成黑白两色，假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生
的学生， 那么 25 个涂有黑色记号的座位至多坐 12 个女生． 否则一定存在两相邻的涂有黑色
标记的座位，其上面都坐着女生，其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾．同理，
25 个涂
有白色标记的座位至多只能坐 12 个女生，因此全部入座的女生不超过 24 人，与题设相矛