求椭圆离心率范围的常见题型及解析

求椭圆离心率范围的常见题型解析

解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式.

一、利用曲线的范围，建立不等关系

例1已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂

直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围.

例2

已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在

一点P 使

1221

sin sin a c

PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为

(

)

21,1-.

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足

的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心

率的取值范围是（ ）

Ａ．(0,1) Ｂ．

1(0,]2

Ｃ．2

(0,

)2 Ｄ．2[,1)2

x

y O

F 1

F 2

三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系

例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在

椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.

四、利用函数的值域，建立不等关系

例5椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA （O

为原点），若椭圆长轴长的取值范围为

[]6,5，求椭圆离心率的范围.

五、利用均值不等式，建立不等关系.

例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；

解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a.

在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝

⎛⎭

⎪⎫m ＋n 22

＝4a 2－3a 2＝a 2 x

y O

A B

F M

C

(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥1

2.

又0

12，1.

例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使

︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围.

解析1：令

n PF m pF ==21,，则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥

2

2

2

4c n m

=+∴ ()2

2

222

22

4a n

m n m c

=+≥

+=∴ 即21

222

≥=a

c e

又12

2

10<≤∴

<

解析2：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2

1

b b S PF

F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22

1

21

b ⇒≤

c 2

b ⇒≤2

c 2

2

c a -⇒≤2c 222

a

c e =⇒≥21

故

2

2

≤e ＜1 七、利用实数性质，建立不等关系

解析3：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得

1-=-⋅+c

x y c x y ，即222x c y -=，代入12

222=+b

y a x 得()22222

c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥

即222

c a c

-≥，2

2

≥=

∴a c e 又1

解析4：21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上，

2

2

2

c y x P =+∴为圆 与 122

22=+b

y a x 的公共点.由图可知

222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2

222a c c a <≤-12

2

<≤∴

e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.

九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系

解析4：椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大

无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <0

90

2

245sin sin 001=<∠=<

∴OPF a c 又10<

2

<≤e .