反函数的性质

g(x2 ) x2 1(x R)
小结：
互为反函数的两个函数的 性质
1、函数y=f（x）的图象和它的反函数 y f 1(x)的图象关于直线y=x对称。
2、互为反函数的两个函数在各自 的定义域内具有相同的单调性。
注意定义域；
2.分段函数求解时注意分段求解 并分别注明定义域。
例1、求函数y=3x-2（x∈R）的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：从y=3x-2，解得 x y 2 。因
此，函数y=3x-2
3
的反函数是 y x 2 , (x R)
3
函数y=3x-2（x∈R）和它的反函数
的图像如图
y
0
x
性质：
1.函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于 直线y=x对称;
2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。
3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数.
4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的 反函数就是它本身.反之也成立。
5.点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）.
6. f 1a b f b a
若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数, 求证它的反函数f-1(x)也是增函数。
证明：在f-1(x)的定义域内任取x1,x2且x1<x2 令 f-1(x1)=y1, f-1(x2)=y2
因此，得
2
ab
1 2a b
解得， a=-3，b=7
例4、若函数f（x）与g（x）的图象关于
直线y=x对称，且f（x）=Leabharlann Baidux-1）2（x≤1） 求g（x2） 解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直 线y=x对称
∴ g（x）是f（x）的反函数，
∴ g（x）=f -1（x）= x 1(x 0)
y x 2 ,x R的图象如图
3
y Y=3x-2
y x2 3
o1
x
Y=x
例2、求函数y=x3（x∈R）的反函
数，并画出原来的函数和它的反函
数的图象。
解：从y=x3，解得x 3 y ，所以函数
y=x3（x∈R）的反函是y 3 x x R。
函数y=x3（x∈R）和它的反函数 y 3 x x R
学习目的：
进一步掌握反函数的概念 掌握互为反函数的两个函数的 性质
重点难点： 重点： 反函数的概念
互为反函数的两个函数的性质
难点： 互为反函数的两个函数的性质
复习：
求函数反函数的步骤: 1 求原函数的值域 2 反解x 3 x与y互换 4 写出反函数及它的定义域
注：1.一般函数的反函数在求解时要
于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以 f(y1)<f(y2) 因为f(x)在其定义域D上是增函数，所以y1<y2 所以 f-1(x1)<f-1(x2)，所以f-1(x)也是增函数
例3：若点P（1，2）在函数 y ax b 的 图象上，又在它的反函数的图象上，求a， b的值。
解：由题意知, 点P(1,2)在函数 y ax b 的反函数的图象上，根据互为反函数的函 数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1 （2，1）也在函数 y ax b 的图象上。