一次函数详细讲义

1变量和函数

一、变量

1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.

2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。

注意：

（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；

（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量

二、函数

1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

注意：

①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。

②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。

③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系

④“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．

⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取

值可以相同．例如:函数

2

(3)

y x

=-中，2

x=时，1

y=；4

x=时，1

y=．

2.函数的三种表示形式

（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．

（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数解析式的步骤

（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程

（2）用汉字变量的式子表示函数

4确定自变量的取值范围

（1）分母不为0

（2）开平方时，被开方数非负性

（3）实际问题对自变量的限制。

注意：

（1）整式型：一切实数

（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0．

（4）复合型：不等式组

（5）应用型：实际有意义即可

2.函数图象

一、函数图象的概念

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 注意：函数解析式与函数图象的关系

（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； （2）函数图象上点的坐标满足函数解析式． 二、描点法画函数图象的步骤

（1）列表； （2）描点； （3）连线．

2.1 正比例函数

1、正比例函数的定义：

一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 注意：

①注意k 是常数，k≠0的条件，当k=0时，无论x 为何值，y 的值都为0，所以它不是正比例函数。 ②自变量x 的指数只能为1 2、正比例函数图象和性质

一般地，正比例函数y=kx （k 为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k ）的一条直线，我们称它为直线y=kx.①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大，y 也增大； ②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小. 注意：

①解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） ②必过点：（0，0）、（1，k ）

③走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 ④增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 ⑤倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、正比例函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k ，其基本步骤是： （1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程； （3）解方程，求出待定系数k ；

（4）将求得的待定系数的值代回解析式.

2.2 一次函数

一、一次函数的定义

一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数． 注意：

⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断 是否能化成以上形式．

⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑶一次函数的自变量取值范围是全体实数。

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 二、一次函数的图象及其画法

1、图象：一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．

2、画法：由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，

，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，，即直线与两坐标轴的交点．

注意：由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条

直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+． 三、一次函数的性质

⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小． 注意：

①一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号

一次 函数

()0k kx b k =+≠

k ，b 符号

0k >

0k <

0b >

0b <

0b =

0b >

0b <

0b =

图象

O

x y

y

x O

O

x y

y

x O

O

x y

y

x

O

性质

y 随x 的增大而增大

y 随x 的增大而减小

②字母k ，b 的作用：k 决定函数趋势，b 决定直线与y 轴交点位置，也称为截距 ③倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 ④图像的平移：

b ＞0时，将直线y ＝kx 的图象向上平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx ＋b b ＜0时，将直线y ＝kx 的图象向下平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx －b 口诀：“上＋下－”

将直线y ＝kx 的图象向左平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x ＋m ） 将直线y ＝kx 的图象向右平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x －m ） 口诀：“左＋右－”

⑤直线y=kx ＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

(1)直线y=kx 与x 轴、y 轴的交点都是(0，0)；

(2)直线y=kx ＋b 与x 轴交点坐标为(，0)与 y 轴交点坐标为(0，b)．

四、用待定系数法求一次函数的解析式

1、定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做