关注数学本质 发展学生思维(唐彩斌)

两位数加一位数进位加法
两位数减两位数退位减法 除数是两位数的除法
82
55 76
87
48 67
79
64 100
93
88 167
• 除了“量”更关注“质”。 • 100以内两位数加一位数进位加法共369题； • 在多位数乘法计算中，涉及两位数加一位 数进位加法的题共60题 。（如748×7， 要用到28＋5，49＋3 ）
链接：读心术
2.空间想象能力
（1）图形之间的转换； （2）比较面积和距离： （3）图形的分解和组合： （4）数立方体个数； （5）图形概括， （6）图形推理； （7）在复杂的图形中找出隐蔽的图形： （8）图形的组合判断； （9）图形的展开和折叠； （10）图形的辨认：
图形之间的转换
用长方形折出正方形，用正方形剪出一样 大的三角形等 。
• 苏联心理学家克鲁捷茨基 • 数学能力由九种成分： （1）使数学材料形式化的能力； （2）概括数学材料的能力； （3）运用数学和其他符号进行运算的能力； （4）连续而有节奏的逻辑推理能力； （5）简化推理过程的能力； （6）逆转心理过程的能力； （7）思维的灵活性——从一种心理运算转向另一种 心理运算的能力； （8）数学记忆能力，主要指对概括内容、形式化结 构和逻辑模式的记忆力； （9）形成空间概念的能力。
华东师范大学教授张奠宙 基本运算能力， 空间想象能力， 逻辑思维能力。 前两条是算术和代数能力， 以及几何能力， 属 学科范围。 只有逻辑思维能力， 属于思维品质 层面。 • 五方面的扩展 （1）问题解决能力。 （2）数学交流能力。 （3）数学联结能力。 （4）数学推理能力。 （5）数学表示能力。 • •
圆形
梯形
S＝ah÷2
三角形
S＝ah S＝ab
平行四边形
长方形
图形的分解与组合
• • • •
四连方； 五连方； 六连方。 分别有几个呢？
图形的组合：红色与绿色的面积哪个大？
•
下图中，长方形的长和宽分别为40厘米 和25厘米，一个直径为4厘米的圆沿长方 形内壁无滑动地滚动一周，求圆滚过的 部分的面积。
1.运算能力
•不仅仅是指计算技能，而且包 括在计算活 动中对数与数之间关系的思考。 •形式：推断式中的未知数、空格填数、巧 列算式、探索规律、数形结合中的计算、数 与式排列中的计算等。
运算能力比较落实
• 基础实的体现：“数量”“速度”。 • 不同版本教材题量统计表 。
A版 20以内进位加法 189 B版 174 S版 201 浙教版 209
数阵：连数求和
数形结合推理
数字谜
＋
观点与启示 在数的领域里，在提高学生运算能力 的同时，发展学生的思维，上述的这些 形式值得借鉴。
结合你的教学实践中，对于以上的内容， 你有什么经验与大家分享，还有什么问题 与大家探讨？
数字黑洞 案例1：奇妙的6147
任意给定四个互不相同的数字，将它们组成 的最大数和最小数，并用最大数减去最小数。 并对所得结果的四个数字重复上述过程，你 会发现什么呢？
2 3 4 3
5 3
•现场测试：大家都来试一试。 •要给学生一杯水，老师要有一桶水， 最好是源头活水。 •时间：10分钟；做5题。
什么是思维训练？
基本概念： 思维：是人脑对客观事物的本质属性和规律 的一种概括的、间接的反映过程。间接 性、概括性正是思维过程的重要特点。 能力：直接影响活动效率，使活动得以顺利 完成的个性特征。 数学思维能力：在一定的思维品质上形成的 分析问题和解决问题的能力。就是数学思 维能力。它从属与思维与能力的一般范 畴，但有具有一些数学学科的特殊性。 学过的知识没有做过 的题。——赵裕春
【代数范畴】 符号感的应用。
请你想好一个数记在心里，现 在将它加上5，然后乘以2，再减 去4，再除以2，再减去你想的数， 结果得到的数是什么？
想好一个数 加上5 乘以2 减去4 除以2 减去你想的数 得到的数是什么
把你想好的数用n表示。 n+5 （n+5）×2＝ 2n+10 2n+10－4＝2n+6 （2n+6 ）÷2＝n+3 n+3 －n＝3 最后的结果都是3。
• 训练的时间：口算训练的老传统贵在坚持。 • “搞改革千万不能背山起楼，焚琴煮鹤， 糟蹋原来美好的东西，更不能把许多好的 民族传统的内容弄得支离破碎。” （顾汝 佐） • 学用结合，组块计算。 • 将125×8=1000，作为基本的模块：
128×8=（125+3）×8 ＝1000＋24＝1024
•
问题解决能力：从数学的角度提出问题， 分析问题，并综合运用所学的数学知识和 方法解决问题的能力；能够根据问题情境 灵活选择适当的问题解决策略的能力；对 问题解决的过程进行反思和监控的能力等。
•
模式能力：模式的识别、模式的扩展、模 式的转换、模式的比较、模式的表征、模 式的描述、模式的交流等；
思维训练的内容有哪些？
案例3：奇妙的回文数 回文数：从左读从右读，结果一样的。 如：121，26162，3993，487784。 （1）按入一个指定的数，如：367； （2）加上这个数的翻转数，如：763； （3）再加上和的翻转数，如:1130+0311; （4）结果就是一个回文数。1441 “客上天然居，居然天上客。” “斗鸡山上山鸡斗，龙隐洞中洞隐 龙”。
与小学数学骨干教师交流研讨 关注数学本质 发展学生思维
2009版
作者信息：
ZUOZHEXINXI
姓名：唐彩斌 职称：中学高级教师 职务：副院长，主任 单位：杭州现代小学数学教育研究中心 杭州上城区教育学院 邮箱: tangcaibin @ hz.cn 网站：http://www.xdsx.cn. 代表作：浙教版《新思维小学数学》； 个人专著《思想改变课堂》。
七巧板拼平行四边形
七巧板拼正方形
用七巧板拼寓言《自相矛盾》
观点与启示
具有中国特色的素材应该更多出现 在中国数学教育的课堂上。
结合你的教学实践中，对于以上的内容， 你有什么经验与大家分享，还有什么问题 与大家探讨？
图形之间的转换
推导面积公式。
面积公式之间的关系
S＝c×r÷2
S＝（a＋b）h÷2
• •
•
•
北京师范大学心理学教授林崇德 第一，数学能力结构应当包括传统的三种基本 数学能力（运算能力、逻辑思维能力、空间想 像能力）以及五种数学思维品质（思维的深刻 性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性）； 第二，关于思维能力的其他一些提法与五种思 维品质的提法，意思是接近的，可以纳入思维 品质去考虑； 第三，三种基本能力与五种思维品质（包括与 思维品质相应的一些思维能力）的关系不是并 列的关系，而是交叉的关系。
•
第 2 题，哪一行与其他三行的规律不同。 除了显而易见的一种，还需要倾听学生不 同意见，是否有合理的成份。
如：1，2，4，6哪 个数与众不同？
数阵图
如将5、10、15、25、30，35这六个数分别 填入下图中，使每行数的和相等，同时使每 列三个数的和相等。
参考答案： 这六个数的和： （10+30）×3=120 每行两个数的和：120÷3=40 每列三个数的和：120÷2=60 考虑这六个数搭配，共有12种填法
1×1＝1 11×11＝121 111×111＝12321 1111×1111＝1234321 11111×11111＝123454321 11Baidu Nhomakorabea111×11111＝1234565421 11……11×11……11＝？
10个1
数字宝塔
数字宝塔
案例6： 9×9＝81 99×99＝9801 999×999＝998001 9999×9999＝99980001 99999×99999＝999980001 999999×999999＝99999800001
(3 x)(5 x)(8 x)(n x) (2 x)(5 x)(8 x)(n x) 3* (3 2)(5 2)(8 2)(n 2) (2 3)(5 3)(8 3)(n 3) (2 x)(3 x)(8 x)(n x) (2 x)(3 x)(5 x)(n x) 5* 8* (2 5)(3 5)(8 5)(n 5) (2 8)(3 8)(5 8)(n 8) (2 x)(3 x)(5 x)(8 x) n * (2 n)(3 n)(5 n)(8 n) 2*
相应观点:
• • • • • • • • 学“1”的时候，说说“1个圆有1个圆心”； 学“2”的时候，说说“一条线段有两个端点。” 学“3”的时候，说说“三角形有3条边、3个顶点”； 学“4”的时候，说说“正方形有4条边、4个顶点”； 学“5”的时候，可以画个五角星； …… 学“90”的时候，说说正方形的角是90度 先记一记，再慢慢理解，可否？ 从小我们就会叫“妈妈”， 可她的含义你理解了吗？ 即使是现在……
如果9个9乘9个9结果 是多少呢？
案例7： 9×？＋7＝88 9×？＋6＝888 9×？＋5＝8888 9×？＋4＝88888 9×？＋3＝888888 9×？＋2＝8888888 9×？＋1＝88888888 9 98 987 9876 98765 987654 9876543
观点与启示
计算器是学习的工具，可是学生能自 由地应用吗？ 它除了进行繁难的计算，更重要的是 发现计算中的规律。
•
信息处理能力主要表现在：选择适当的方 法收集、整理数据的能力，对数据进行科 学描述和分析的能力；准确报告数据分析 结果的能力；根据数据分析结果对事物发 展做出合理预测或决策的能力等；
•
逻辑思维能力：从具体情境中抽象概括出 数量关系和变化规律的能力；演绎推理能 力；通过对事物的观察、比较、分析、综 合、归纳、类比等进行合情推理的能力； 选择和运用不同推理方法的能力；清晰准 确地表达逻辑思维过程的能力等；
数感好不好？ 数学家的案例
3+123=93+103 =1 1729
身边的案例
A商场 八折优惠 B商场 九折酬宾
• 找数列规律。
•
规律的开放性是建立在小学生学习数学 的基础上的，虽然从理论上讲填任何数 都符合规律，但在小学阶段研究的范围： 就是在呈现的几个数之间存在同样的关 系，就认定是一种规律。
车轮是圆的吗？
图形推理。
• • • • 引导提问。 它是怎么组成的？ 有多少条线？ 怎么研究？
•
图形的组合与推理：
•
图形的辨认：
•
图形的辨认：
•
比较面积和距离：
•
图形的展开与折叠
对折一次
对折两次
数形结合
数形结合。
数一数某块积木有几 个尖（顶点）、几个 棱、几个面，就在学 生头脑中播下形与数 有联系的种子。
案例4：奇妙的142857
142857×1＝142857 142857×2＝285714 142857×3＝428571 142857×4＝571428 142857×5＝714285 142857×6＝857142 142857×7＝999999 142857×8＝1142856 142857×9＝1285713
• 中央教科所华国栋 • 第一层次：运算能力、空间想象 能力、信息处理能力； • 第二层次：逻辑思维能力和问题 解决能力； • 模式能力在这两个层次之间非常 重要的桥梁作用。
•
中央教科所华国栋
逻辑思维能力
问题解决能力 模式能力
运算能力 空间想象能力 信息处理能力
数与代数
图形与几何
统计与概率
运算能力 空间想象能力 信息处理能力
•
运算能力：主要表现在使用数字和符号进 行运算，对形式化结构进行变换的能力， 选择适当运算方法的能力，对运算结果进 行合理估计的能力等；
•
空间想象能力：采用适当方式描述物体间 的位置关系的能力，采用适当方法确定物 体位置的能力，利用直观形象描述和分析 问题的能力；图形变换能力；在二维和三 维图形和它们的表征之间进行转换的能力； 采用适当的方法进行空间测量的能力；对 空间形式及其符号进行想象、形成空间概 念及空间关系的能力等。
面对课程改革，您是否越来越觉得……
1
2
3
宏观指导思 想是正确的
中观教学理 念是认同的
微观教学操 作是困难的
数学教学 A重点教学 机械技能
C思维有序训练 E教师告诉 怎么做 B重点教学 灵活思维 D思维需大量训练
F学生自主 思考
提纲
1
什么是数学思维？ 思维训练的内容有哪些？ 如何形成序列？ 怎样开展教学？ 有哪些小课题值得研究？