积分重要知识点总结24页

dt (t1)(t21)t
d t
6lnt 3lnt13ln(t2 1)3arc t tC an 2
例11. 求
解: 令 3 co x ssixn
A (c x o sx i) s n B (c x s ox i) s n
令 aco x ( sA bs B ix ) n cx o ( A s B ) sx in 比较同类 项A 系( c 数c x A d o B s x 3 ) i s , B 故( c n A c 1 x , B d o s 2x ) i sn
例13. 求不定积分 解: 原式
1 (2u)(u21)
2
A
u
B C
u 1 u 1
例14. 求 I six n a d )(x six n b )((a b k )
解:
I
=
sin(
1 a
b)
six n a )[ (( x b )d]x sinx(a)sinx(b)
1 sinx(a)coxs(b)coxsa ()sinx(b)d x sa i b n ) ( sx i a n ) s( x i b n ) (
例9. 设 为 的原函数, 且
求
解: 由题设 F (x)f(x),则
故
即 又
, 因此
故
二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合
1
ex e2x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
dx
exarcetxan(11e2xe)2xe2xdx
exarcetxan x1 2ln(1e2x)C
例7. 求
解: 取
x3x2 3x2 1 6x
60
e 2x
1 2
e
2
x
1 4
e
2
x
1 8
e
2
x
1 16
e
2x
原 式 e2x12(x3x2) 14(3x21) 816x1166C
coasx (b) asia n xb () a2coasx (b)
ek x
1 ek x k
1 k2
ek
x
e kx Ia 2 k 2[k co a s x b )( a sia n x b ( ) ]C
例2. 求
解: 令 ulnx,则 xeu,dxeudu
原式 e3u u 4 eu d u u4e4udu
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x(t))
(注意常见的换元积分类型)
3. 分部积分法
uvdxuvuvdx
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2) uvdx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
u4 4u3
e4u
1 4
e
4u
12 u 2 24u
1 42
e
4
u
1 43
e
4u
24
1 44
e
4
u
0
1 45
e
4u
原式 = 1 e 4 u u 4 u3 3 u 2 3 u 3
4
4 8 32
C
1 x 4 l4 n x l3 n x 3 l2 n x 3 lx n 3 C
4
使用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出. 例如 ,
1 k 2 s2 ix d n x(0 k 1 ),
例10. 求
dx
x
x
x.
1e2 e3 e6
x
解: 令 t e 6 , 则 x6lnt, dx 6t dt
原式
6
(1t3dtt2t)t6
3
分析:
d[lnx (1x2)5]
(1
2
12xx2)dx
x 1 x2
dx 1 x2
例5. 求
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2cos2 x
2 dx
2
xdtanx 2
tanx dx 2
xtanx C 2
分部积分
例6. 求
解: 原式 arctexaden x
exarcetxa nex
A B 1
∴ 原式 dx2dc(o x c x so ssiisxx n n )
x2lncox ssixnC
说明: 此技巧适用于形为 acoxsbsin xdx的积分. ccoxsdsin x
解例：12因. 求 为I1aco sx isx b n sixn dIx2 及 aco cx sox bssixn dx. a acco oxxss b bssiin n xxdx b acco oxxss a bssiin n xxdx
1
sin(a b)
csoinsx(x(bb))d
快速计算表格:
u(k)
u u u
u (n) u(n1)
(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v (n) v(n1) v
v
特别: 当 u 为 n 次多项式时, u(n1) 0,计算大为简便 .
此法特别适用于如下类型的积分:
ekx
Pn
(
x
)sin
ax
dx
cos
a
x
例1. 求
提示:
8 1 e 2 x (4 x 3 6 x 2 2 x 7 ) C
例8. 求
解:
设
x1, F(x)x1
x1
1x, x1
则
1 2x2xC 1, x1
x1 2x2C 2, x1
因 连续 , 利用
得
1 2C 11 2C2 记作 C
得
1 21C1 12 (11 21 2 x1 2 (x x x2 1 22 1 ) 1 2)x C x 2 2 C 1 2 1 2 C , ,C C ,, x x 1 1
4 8 32
例3. 求
解: 原式
2x3x 32x 22x
dx
1 ((3232))x2dxadxx axlnadx
1
ln
2 3
d(32)x 1 (32)2 x
arctan32)(x C ln2ln3
例4. 求
解:
原式 [ln x (1x2)5]1 2d[lnx (1x2)5]
2 lnx ( 1x2)523 C
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
计算格式: 列表计算
多次分部积分的 规 律
uv(n1)dxuv(n)uv(n)dx uv(n)uv(n1) uv(n1)dx
u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) uv(n2)dx
u v (n ) u v (n 1 ) u v (n 2 ) (1)n 1u(n 1)vdx