五年级数学培优：包含与排除
五年级奥数 第一讲 包含于排除讲义
五年级奥数第一讲包含与排除例1：五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？解析：64人=只订少年报人数+两种都订的人数48人=只订小学生报人数+两种都订的人数64+48=只订少年报人数+只订小学生报人数+2×两种都订的人数96人=只订少年报人数+只订小学生报人数+两种都订的人数64+48-96=两种都订的人数答：两种刊物都订的有16人。
1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？解：32+35-52=15人答:两种作业都做完的有15人2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？解：65+87-122=30人答：语文、数学都得优的有30人。
3、某班有50名学生，在一次测试中有26人满分，在第二次测试中有21人满分。
如果两次测试都没有得过满分的学生有17人，那么，两次测试都获满分的有多少人？解：50-17=33人26+21-33=14人答：两次测试都获满分的有14人。
例2：某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中一种语言。
已知有35人懂英语，有34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？解析：35人懂英语=只懂英语的老师人数+两种语言都懂的老师人数34人懂日语=只懂日语的老师人数+两种语言都懂的老师人数35人+34人=只懂英语的老师人数+只懂日语的老师人数+2×两种语言都懂的老师人数因此，外语老师人数=35+34-21=45人答：这个地区有外语老师45人。
1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？解：900+850-260=1490人答：这个学校共有学生1490人。
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最新小学五年级奥数常考题型：包含于排除
难度：★★★★
阳光小学六年级有253人，学校组织了数学小组、朗读小组、舞蹈小组。
规定每人至少参加一个小组，最多参加二个小组，那么至少有几个人参加的小组完全相同?
【答案解析】
每个人有6种选择
数学小组、朗读小组、舞蹈小组
数学小组+朗读小组
朗读小组+舞蹈小组
数学小组+舞蹈小组
剩下的平均分到3组(253-6)/3=821
所以至少有82+1+1=84个人参加的小组完全相同
结尾：以上小学频道为大家提供了最新小学五年级奥数常考题型：包含于排除，你学会了吗？
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小学五年级奥数练习题及参考答案：差的变换。
五年级数学提高讲义——包含与排除
第七讲 包含与排除基础班1. 某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。
那么有多少人两个小组都不参加？2. 50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3，……，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问：现在面向老师的同学还有多少名？3. 在从1至100的自然数中，既不能被5除尽也不能被7除尽的数有多少个？4. 在前1000个自然数（不包括0）中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？5. 有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上，见下图。
三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。
问：图中阴影部分的面积之和是多少？答案1. 解析：17)101815(40=-+-人。
2. 解析：面向老师的学生包括报数既不是4的倍数也不是6的倍数、报数既是4的倍数也是6的倍数即12的倍数的同学，共计384)]4812(50[=+-+-人。
3. 解析：686)28142200(1000=-+-个。
4. 解析：前1000个自然数中，平方数有：1，4，9，16，25，36，……，900，961，共计31个；立方数有1，8，27，64，125，216，343，521，729，1000，共计10个；既是平方数又是立方数的有1，64，729，共计3个。
所以既不是平方数也不是立方数的有962)31031(1000=-+-个。
5. 解析：282836320cm =⨯--⨯。
提高班6. 某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。
那么有多少人两个小组都不参加？7. 50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3，……，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问：现在面向老师的同学还有多少名？8. 在从1至100的自然数中，既不能被5除尽也不能被7除尽的数有多少个？9. 在前1000个自然数（不包括0）中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？10. 有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上，见下图。
五年级数学拔高之包含与排除(容斥原理)含答案
第33周包含与排除（容斥原理）专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
例1 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？分析用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
练习一1，一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？答案解:(人)答:语文、数学作业都做完的有15人.解析因为每人至少做完一种作业,所以实际52人都参与了写作业,做完数学和语文作业的总人数为:(人),(人),超出了全班人数,超出的部分是两种作业都完成的人数.2，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？答案解:(人)答:两门功课都得优的有40人.解析根据“语文得优的有65人,数学得优的有87人”可得两者的总人数:人,这其中把两门功课都得优的人数多计算了一次,所以根据容斥原理可得两门功课都得优的人数是:(人),据3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。
小学五年级培优课程18-20课
数学培优 第18课“计数问题”之包含与排除有重叠部分的若干对象的计数问题.利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；处理具有一些不确定性的计数问题、重复计数问题.1、某次练习共有2道题，做对第一题的有40人，这40人中有13人第二题做错了，那么第一题和第二题全对的共有多少人？2、暑假里，小米和小文一起讨论“内江十八景点”.她们发现十八景中的每一处都有人都去过，而且有五处是两人都去过的.如果小米去过其中的十二景，那么小文去过其中的几景？3、在一群小朋友里，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过.请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？4、一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃馒头的有30人，两种都喜欢的有7人，那么喜欢吃米饭的有多少人？5、五一班45个学生参加期末考试.成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人.请问：语文成绩得满分的有多少人？6、如图，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、丙与甲重合部分的面积分别为6，8，5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2.请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？7、操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳的女生有多少名？8、在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？9、唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难.请问：师徒四人共同渡过的有多少难？甲 乙丙合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置 和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形 的对称性来简化计算.1、如图，线段AB 、BC 、CD 、DE 的长度都是3厘米.请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？2、小齐把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒.请问：(1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有箭头的小边)，剩下的图形中还有多少个三角形？3、如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.图中 包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？4、数一数，图中一共有多少个三角形？5、在如图所示的4×4的方格表中，共有多少个正方形？6、数一数，图中一共有多少条线段？多少个矩形？7、平面上有9个点，以这些点为顶点可以连出多少条线段？8、如图，AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？9、如上图2，在2×3的长方形中，每个小正方形的面积都是1.请问：以A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 为顶点且面积为1的三角形共有多少个？9、如上图3，数一数，图中共有多少个三角形？ A B C D E 3cm 3cm 3cm 3cm *C D O A B E F M N A B C涉及整数知识，包括数字或数阵图形式的计算问题.解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式.1、能同时被4,5,6整除的三位数共有多少个？2、分母是30的最简真分数共有多少个？3、从1,2,3,...,9这九个数中选出2个数，请问：(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？4、在所有由1,3,5,7,9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？5、用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？6、个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？7、一个正整数，如果从左往右看和从右往左看都是一样的，那么把这个数称为“回文数”.例如：1331,7,202,66都是回文数，而220则不是回文数.请问：从一位到六位的回文数一共有多少个？其中第1997个回文数是什么？8、一个四位数ABCD ，它与逆序数DCBA 之和的末两位为56，这样的四位数ABCD 有多少个？9、把2005、2006、2007、2008、2009这五个数分别填入图中的东、南、西、北、中五个方格内，使横、竖三个数的和相等，一共有多少种不同的填法？10、从1至7中选出六个数字填入表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数比左边大.请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？西 中 东 北 南。
五年级数学奥数讲义-包含与排除(学生版)
“包含与排除” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。
一、容斥原理公式1、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图），其中C 为重复部分，则图中的数量等于A+B-C. 即：A ∪B=A+B- A ∩B ，其中A ∩B=C.2、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分.即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.以上概念中符号解释：“∪”表示并集，“A ∪B ”表示A 并B ，通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 的元素的数量（集合），“A ∪B ∪C ” 通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 、或属于C 的元素数量.“∩”表示交集，“A ∪B ”表示A 交B ，通俗的讲表示所有即属于A 、又属于B 的元素的数量（集合），“A ∩B ∩C ”通俗的讲表示所有即属于A ，又属于B ，还属于C 的元素数量C B A C B A【试题来源】【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。
这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【试题来源】【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），它们的面积都是100cm2，并知A、B两圆重叠的面积是20cm2，A、C两圆重叠的面积为45cm2，B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2，求盖住桌子的总面积。
【试题来源】【题目】东方大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的45名，教法语的有40名，有15名教师既教英语又教日语，有10名教师既教英语又教法语，有8名教师既教日语又教法语，有4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？【试题来源】【题目】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。
五年级奥数第24讲-包含与排除(学)
学员编号：学员姓名：学科教师辅导讲义年级：五年级辅导科目：奥数课时数：3学科教师：授课主题授课类型T同步课堂第24讲——包含与排除P实战演练S归纳总结教学目标①了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容②掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用授课日期及时段T（T extbook-Based）——同步课堂知识梳理一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．1．先包含——A+B重叠部分A I B计算了2次，多加了1次；包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，1．先包含：A+B+C重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．典例分析考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？A C B例2、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？会游泳的A 两项都会的B会打篮球的两项都不会的例3、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？既采A樱桃又采杏的B既没采樱桃又没采杏的例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？乙丙甲A B考点二：三量重叠问题例1、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，（1）数学成绩优秀的有几个学生？（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？考点三：图形中的重叠问题例1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？例2、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？4厘米2厘米图3例3、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？A B10C考点四：容斥原理在数论问题中的应用例1、在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A B考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？“ ” “P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练课堂狙击1、一个班有 48 人，班主任在班会上问： 谁做完语文作业？请举手！ 有 37 人举手。
【精编】五年级奥数分册第33周 包含与排除.doc
第33周包含与排除（容斥原理）专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
例1五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？分析用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
练习一1，一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？2，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。
如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？分析把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
五年级下包含排除课件
包含排除课件
包含与排除的基本概念包含与排除的数学模型包含与排除的应用场景包含与排除的注意事项练习题与解析
包含与排除的基本概念
01
包含是指一个对象被另一个对象所拥有或覆盖，即一个对象被另一个对象所包含。
02
在数学中，包含通常用于描述集合之间的关系，即一个集合完全被另一个集合所包含。
03
在日常生活中，包含的概念也广泛存在，例如在购物时，我们可能会说“这个商品包含哪些配件”。
THANKS
感谢观看
01
排除是指从一个集合中去除某些元素，使得剩下的元素构成一个新的集合。
02
在数学中，排除通常用于描述集合的差集运算，即从一个集合中去除另一个集合中的元素。
在日常生活中，排除的概念也广泛存在，例如在制定计划时，我们可能会说“排除某些人参加”。
02
包含与排除的数学模型
“word”见面. “word”他说.模拟. “word”模拟的 “word”许多. 模拟.模拟. 见面. 许多 of course“word“word该怎样 “word”见面. 许多. 3] [b. word- 10, however, however, however, however, “word”见面. “word”见面. word] 起来. 模拟. [word]“word”见面. “word”见面, however, however, however, “没有 about how to create a word- it is a good word- it is a good word- it is a good word- it is a good word- it is a good word- it is a good word- “word”见面. 其次: “word”起来. “word”见面. “word”见面. 其次: “word” about how to create a word- it is a good word- it is a good word- “word”见面. 其次: “word” about how to create a word- it is a good words- it is a good word- “word” word- it is a 2008咬文嚼 (noun) the and so onward: “word” the and so
小学五年级-包含与排除
包含与排除（容斥原理）例1五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？分析用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
练习一1，一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？2，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。
如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？分析把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
练习二1，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。
已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？2，某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。
第一小组共有多少人？例3：学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
小学五年级数学培优(6) ：计数问题
小学五年级培优数学6-1“计数问题”之包含与排除有重叠部分的若干对象的计数问题.利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；处理具有一些不确定性的计数问题、重复计数问题.1、某次练习共有2道题，做对第一题的有40人，这40人中有13人第二题做错了，那么第一题和第二题全对的共有多少人？2、暑假里，小米和小文一起讨论“内江十八景点”.她们发现十八景中的每一处都有人都去过，而且有五处是两人都去过的.如果小米去过其中的十二景，那么小文去过其中的几景？3、在一群小朋友里，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过.请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？4、一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃馒头的有30人，两种都喜欢的有7人，那么喜欢吃米饭的有多少人？5、五一班45个学生参加期末考试.成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人.请问：语文成绩得满分的有多少人？6、如图，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、丙与甲重合部分的面积分别为6，8，5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2.请问：甲(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？乙丙7、操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳的女生有多少名？8、在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？9、唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难.请问：师徒四人共同渡过的有多少难？小学五年级培优数学6-2“计数问题”之几何计数合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算.1、如图，线段AB 、BC 、CD 、DE 的长度都是3厘米.请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？2、小齐把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒.请问：(1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有箭头的小边)，剩下的图形中还有多少个三角形？A B C D E 3cm 3cm 3cm 3cm3、如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.图中 包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？4、数一数，图中一共有多少个三角形？5、在如图所示的4×4的方格表中，共有多少个正方形？6、数一数，图中一共有多少条线段？多少个矩形？7、平面上有9个点，以这些点为顶点可以连出多少条线段？8、如图，AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？9、如上图2，在2×3的长方形中，每个小正方形的面积都是1.请问：以A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 为顶点且面积为1的三角形共有多少个？9、如上图3，数一数，图中共有多少个三角形？*C D O A BE F MN小学五年级培优数学6-2“计数问题”之计数综合二涉及整数知识，包括数字或数阵图形式的计算问题.解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式.1、能同时被4,5,6整除的三位数共有多少个？2、分母是30的最简真分数共有多少个？3、从1,2,3,...,9这九个数中选出2个数，请问：(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？4、在所有由1,3,5,7,9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？5、用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？6、个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？7、一个正整数，如果从左往右看和从右往左看都是一样的，那么把这个数称为“回文数”.例如：1331,7,202,66都是回文数，而220则不是回文数.请问：从一位到六位的回文数一共有多少个？其中第1997个回文数是什么？8、一个四位数ABCD ，它与逆序数DCBA 之和的末两位为56，这样的四位数ABCD 有多少个？9、把2005、2006、2007、2008、2009这五个数分别填入图中的东、南、西、北、中五个方格内，使横、竖三个数的和相等，一共有多少种不同的填法？ 10、从1至7中选出六个数字填入表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数比左边大.请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？西 中 东 北 南。
五年级思维专项训练9 包含与排除(原卷+解析版)全国通用
五年级思维训练9 包含与排除1、某山区的村落有人口2476人，全村落的人都会说普通话或广东话，调查所得，会说普通话的有1765人，会说广东话的有987人，问：会说普通话和广东话两种语言的有多少人？2、从1到100的正整数中，不含数字1的数有多少个？3、为了做科展，小丁观察一段期间里的天气，共写出4个数据：（1）上午和下午共下雨7次；（2）有5天下午未下雨；（3）有6天上午未下雨；（4）下午下雨的那几天，上午都未下雨。
请问在这段期间里有多少天全天未下雨？4、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：求这个班的学生数。
5、在1～209这209个自然数中，与209互质的自然数共有多少个？6、在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有多少个？7、体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3， (60)然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学身后转，然后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？8、甲、乙、丙三个共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题，现将其中只有一人能解出的题叫做难题，三人都能解出的题叫做容易题，容易题与难题相差多少题？9、有100种食品，其中含钙的有68种，含铁的有43种，含锌的有15种，那么，其中既含钙又含铁的食品最少有种？同时含钙、铁、锌的食品最多有种？10、某公司针对A,B,C三种岗位招聘了35人，其中只能上B岗位的人数等于只能上C岗位人数的2倍，而只能上A岗位的人数比能兼职别的岗位的多1人，在只能上一个岗位的人群中，有一半不能上A岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有多少人？11、2010盏灯排成一排，开始都亮着，第一次从左边第一盏灯开始，每隔一盏灯拉一下开关（即拉左数第1，3，5，…，2009盏），第二次从右边第一盏灯开始，每隔两盏拉一下开关，第三次又从左边第一盏灯开始，每隔3盏灯拉一下开关，三次都拉到的灯有多少盏？亮着的还有多少盏？12、某玩具城有一楼梯，大约有几十级，但肯定不到一百级。
小学数学 包含与排除 非常完整版题型训练+答案解析
包含与排除例题讲解：板块一：基础题型：1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？答案：冬冬去的景有18+5-12=11处2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？答案：至少看过一部的小朋友有12+21-8=25人3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？答案：至少有一科得满分的人数是：45-29=16人，这样语文得满分的人数是：16+3-10=9人4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？答案：至少有一人吃过的菜有13+7-2=18道，这样两人都没吃过的菜有27-18=9道。
5．如图，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？答案：只被甲覆盖的部分有30-6-5+2=21，只被乙覆盖的部分有30-6-8+2=18，这样只被甲或乙覆盖的部分有21+18=39甲、乙、丙三个圆覆盖的总面积为30×3-6-8-5+2=73，73-6-8-5+2×2=586．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？答案：因为A+D+G+F=10，B+E=12，且一共是30人，所以只喝花茶的人是C在的部分，有30-10-12=8人7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？答案：光明小学参加课外活动的人有54+46+36-4-7-10+2=117人8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？答案：（1）至少含有一种维生素的食物有62+90+68-48-36-50+25=111种，所以都不含的食物有120-111=9种。
最新五年级第九讲包含与排除上课讲义
包含与排除例1．某校同学参加全市的数学和语文学科竞赛，结果有23人获得数学竞赛优胜奖，有15人获得语文竞赛优胜奖，其中有8人两门学科都获优胜奖。
问这所学校有多少名学生获奖？例2．1-500这500个自然数中，是5的倍数或是7的倍数有多少个？例3．求分母为105的最简真分数有多少个？例4．某班参加升学考试，得满分人数如下：数学20人、语文20人、英语20人，数学、语文两科满分8人，数学、英语两科满分7人，语文、英语两科满分9人，三科都没得满分3人。
这个班最多多少人？最少多少人？例5．100名学生中，有音乐爱好者53人，体育爱好者72人，那么音乐、体育都爱好的学生至少有几人？最多有几人？练习1．某校艺术团的小演奏家们，每人至少会演奏小提琴和钢琴的一钟，他们中有32人会拉小提琴，27人会弹钢琴，两样都会演奏的有11人。
这个艺术团有多少名小演奏家？2．某班有学生42名，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且全班每人至少参加一个队。
问这个班两队都参加的有多少人？3．在1-100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？4．有一根长的木棍上有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成10等分，第二种刻度线将木棍分成15等分，第三种刻度线将木棍分成15等分。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍共锯成多少段？分母是1001的最简真分数有多少个？48个国际音标表元音12个单元音长元音[i:] [] [] [u:] [a:]短元音[i] [] [] [u] [] [e] [] 8个双元音[ai] [ei] [i] [i] [] [] [u] [au]辅音10对清辅音[p] [t] [k] [f] [s] [] [ ∫ ][] [tr] [ts] 浊辅音[b] [d] [g] [v] [z] [] [ ][] [dr] [dz] 3个鼻音[m] [n] []3个似拼音[h] [r] [l]2个半元音[w] [j]一.前元音/i：/疯狂外号：穿针引线长衣音，简称“长衣音”.发音要领的是：舌尖抵下齿，舌前部抬高，舌两侧抵上齿两侧，口形偏平。
五年级第二学期包含与排除
涉及互相重复的两类或三类对象的计数问题．解题可利用计算所有对象总个数的容斥原理，以及图示包含与排除关系．1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?【分析与解】至少参加一个小组的同学有15+18-10=23人，所以有40-23=17人两个小组都不参加．满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?【分析与解】数学、语文至少有一门得满分的学生有45-29=16人．所以语文成绩得满分的有16-10+3=9人．3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?【分析与解】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．150之间，4的倍数有504⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12,6的倍数有506⎡⎤⎢⎥⎣⎦=8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有5012⎡⎤⎢⎥⎣⎦=4．于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师．4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?【分析与解】 1～100，2的倍数有1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=50，3的倍数有1003⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有1006⎡⎤⎢⎥⎣⎦=16个．于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支.5.有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?【分析与解】只需先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数．从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．有1～180，3的倍数有1803⎡⎤⎢⎥⎣⎦=60个，4的倍数有1804⎡⎤⎢⎥⎣⎦=45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有18012⎡⎤⎢⎥⎣⎦=15个．注意到180厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以绳子被剪成89+1=90段．6.东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?【分析与解】将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15-25)÷2=3幅．7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占23，标有4的倍数的卡片占34，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?【分析与解】设这些卡片的总数为“1”，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数．所以有"2""3"15"1"34+-=，解得“1”对应36张．即这些卡片一共有36张．8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【分析与解】 l～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【分析与解】设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C．A=25，B=35，C=27，B C=12，A B =8，A C=9，A B C=4.A B C=A B C A B A C B C A B C++---+.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．10．如图8-1，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【分析与解】设甲圆组成集合A，乙圆组成集合B，丙圆组成集合C．A B C===30，A B=6，B C=8，A C=5，A B C=73，而A B C=A B C--+.+--A B B C A C A B C有73=30×3-6-8-5+A B C，即A B C=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【分析与解】设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合G．三者都参加的学生有z人．有A B C=46，A=24，B=20，C=3.5，A C=7A B C，B C=2A B C，A B=10．=++---+，所以因为A B C A B C A B A C B C A B C46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3⨯7=21人．12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?【分析与解】设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．A=33, B=44，C=55，A B=29，A C=25，B C=36．本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．=++---+,当A B C最大时，A B C A B C A B A C B C A B CA B C有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多．而A B C最大不超过A、B、C、A B、B C、A C 6个数中的最小值，所以A B C最大为25．此时A B C=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．13．如图8-2，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【分析与解】如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．14．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?【分析与解】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端。
小学五年级培优第六章第6课：计数问题之包含与排除(部分)
小五.第六部分
计数问题
“一分耕耘一分收获。”
第6讲
包. 利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏 图中每部分的含义；结合文氏图理解 两个对象和三个对象的容斥原理； 处理具有一些不确定性的计数问题、 重复计数问题.
典型问题
1、某次练习共有2道题，做对第一题的 有40人，这40人中有13人第二题做错了， 那么第一题和第二题全对的共有多少人？
典型问题
2、暑假里，小又和小文一起讨论“内江 十八景点”.她们发现十八景中的每一处都 有人都去过，而且有五处是两人都去过 的.如果小又去过其中的十二景，那么小 文去过其中的几景？
典型问题
3、在一群小朋友里，有12人看过动画片 《黑猫警长》，有21人看过动画片《大 闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过. 请问：至少看过其中一部的小朋友有多 少人？
典型问题
4、一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃 馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢 吃馒头的有30人，两种都喜欢的有7人， 那么喜欢吃米饭的有多少人？
典型问题
5、五年级一班45个学生参加期末考试.成 绩公布后，数学得满分的有10人，数学 及语文均得满分的有3人，这两科都没有 得满分的有29人.请问：语文成绩得满分 的有多少人？
五年级奥数专题：包含与排除
包含与排除【专题导引】两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A+B-AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清楚数量关系和逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
【典型例题】【例1】五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？【试一试】1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？【例2】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？【试一试】1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？【例3】在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问：只懂英语的老师有多少人？【试一试】1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问：只做对第一题的有多少人？2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
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五年级数学培优：包含与排除
【专题导引】
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看做一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A+B-AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清楚数量关系和逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
【典型例题】
【例1】五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？
【试一试】
1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？
2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
【例2】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
【试一试】
1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？
【例3】在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既
懂英语又懂日语的老师，问：只懂英语的老师有多少人？
【试一试】
1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问：只做对第一题的有多少人？
2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
【例4】学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
【试一试】
1、在100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？
2、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90
分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？
【﹡例5】实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。
该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
【﹡试一试】
1、五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，五、六年级和中低年级运动员各有几名？
2、少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？
课外作业
家长签名：
1、同学们进行队列练习，向前走时，小芳前面有4人，老师喊“向后转”的口
令后，小芳数了数，他前面还是有4人，这行同学有多少人？
2、刘老师、夏老师和胡老师共有书90本，其中刘老师和夏老师一共有70本，夏老师和胡老师共有50本，三位老师各有书多少本？
3、某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。
如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都获满分的有多少人？
4、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？
5、全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少？
6、老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中有一科在90分以上的有38人，问：两样都得90分以上的有多少人？
﹡7、六一儿童节同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？。